Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan Penundaan Pembayaran

MODEL INVENTORI DETERMINISTIK DENGAN DISKON,
BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN

FITRIA

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Model Inventori
Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan Penundaan Pembayaran adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Fitria
NIM G54090014

ABSTRAK
FITRIA. Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backoder, dan
Penundaan Pemmbayaran. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan TONI
BAKHTIAR.
Persediaan barang mempunyai fungsi yang sangat penting bagi perusahaan.
Perusahaan menyimpan berbagai barang di antaranya bahan baku, barang untuk
proses industri, dan barang jadi. Penyimpanan barang diperlukan untuk memenuhi
permintaan pembeli dalam waktu cepat. Karya ilmiah ini membahas model
persediaan deterministik. Jika barang dalam persediaan lebih kecil dari
permintaan, maka ada permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini akan menunda
permintaan barang dari pembeli, dan manajer perusahaan akan menawarkan
diskon kepada pembeli yang bersedia menunggu pesanan terpenuhi. Dengan
waktu penundaan pembayaran, perusahaan dapat mengetahui waktu habisnya
persediaan serta waktu untuk pemesanan kembali sehingga total biaya persediaan
minimum. Kebijakan pemesanan yang optimal dan diskon yang ditawarkan

optimal dapat menentukan total biaya persediaan minimum.
Kata kunci: Diskon, Inventori, Model deterministik, Penundaan pembayaran

ABSTRACT
FITRIA. A Deteministic Inventory Model with Price Discount, Backorder, and
Delay in Payment. Supervised by FARIDA HANUM and TONI BAKHTIAR.
Inventory has a very important function for companies. The companies store
variety of goods such as raw materials, goods for industrial processes, and other
goods. The storages are required to keep the goods fulfill and buyers demand in a
quick time. This paper discussed a deterministic inventory model. If the amount
goods in the inventory is less than the buyers’ demand, then there is shortage of
inventory. This would delay the demand for goods from the buyer to be fulfilled
and the managers of the company would offer discounts to consumers for such a
delay. By the delay time of payment, the company will know when the inventory
ending time and reorder time so the total inventory cost would be minimized. The
optimum ordering policy and the offered discount for the optimum shortage of
inventory can be used to determine the minimum total inventory cost.
Keywords: Delay in payment, Deterministic model, Inventory, Price discount.

MODEL INVENTORI DETERMINISTIK DENGAN DISKON,

BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN

FITRIA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder, dan
Penundaan Pembayaran
Nama
: Fitria

NIM
: G54090014

Disetujui oleh

Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing I

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul dari
karya ilmiah ini adalah Model Inventori Deterministik dengan Diskon, Backorder,
dan Penundaan Pembayaran.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, MSi dan
Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing, serta Bapak Ruhiyat, MSi
selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran, motivasi dan bimbingan
dalam penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan
kepada Bapak, Mama, Kak Sepri, Ari serta seluruh keluarga, atas segala doa dan
kasih sayangnya. Ucapan terima kasih juga penulis berikan kepada seluruh dosen,
tenaga kependidikan, semua teman-teman Matematika 46, Evy, Dedew, Randita,
Nur Lasmini, Fenny, Nurul, Eka Prety yang sudah menjadi sahabat terbaik dan
banyak membantu dalam proses belajar, Ermi, Nisa, Sonia, Sevir yang sudah
menjadi teman seperjuangan yang baik dalam menyelesaikan skripsi, temanteman Matematika angkatan 45, 47, Keluarga Wisma Shinta serta teman-teman di
Institut Pertanian Bogor.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Mei 2014
Fitria

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL

vii

DAFTAR GAMBAR

vii

DAFTAR LAMPIRAN

viii

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan

1

TINJAUAN PUSTAKA

2

Sistem Persediaan

2

Model EOQ Dasar

2

Model EOQ dengan Backorder

5

ANALISIS MODEL PERSEDIAAN BARANG EOQ DENGAN DISKON,
BACKORDER DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN
Analisis Hubungan Antarvariabel

7
14

IMPLEMENTASI

19

SIMPULAN

24

DAFTAR PUSTAKA

25

LAMPIRAN

26

RIWAYAT HIDUP

41

DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

Total biaya persediaan minimum Ilustrasi 1
Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 2 (M ≥ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 2 (M ≥ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 1 (M ≤ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 3 Kasus 2 (M ≥ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 1 (M ≤ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 4a Kasus 2 (M ≥ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 1 (M ≤ T1)
Hasil perhitungan Ilustrasi 4b Kasus 2 (M ≥ T1)

19
34
34
35
36
37
38
39

39
40
40

DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

Tingkat persediaan model EOQ dasar
Kurva biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total
Model EOQ dengan Backorder
Model persediaan dengan kondisi kekurangan persediaan dan
penundaan pembayaran pada waktu M
Kasus 1 : M ≤ T1
Kasus 2 : M ≥ T1
Hubungan antara biaya kekurangan persediaan (s1) dengan biaya
persediaan total (C1) Kasus 1
Hubungan antara biaya penjualan yang hilang (s2) dengan biaya
persediaan total (C1) Kasus 1
Hubungan anatra biaya penyimpanan (h) dengan biaya persediaan total
(C1) kasus 1
Hubungan antara periode penundaan pembayaran (M) dengan biaya
persediaan total (C1) Kasus 1
Hubungan anatra biaya kekurangan persediaan (s1) dengan biaya
persediaan total (C2) Kasus 2
Hubungan antara biaya penjualan yang hilang (s2) dengan biaya
persediaan total (C2) kasus 2
Hubungan antara biaya penyimpanan (h) dengan biaya persediaan total
(C2) Kasus 2
Hubungan antara periode penundaan pembayaran (M) dengan biaya
persediaan total (C2) kasus 2
Ilustrasi 1
Ilustrasi 2
Ilustrasi 3
Ilustrasi 4a
Ilustrasi 4b

3
4
6
8
10
12
14
15
15
16
17
17
18
18
20
21
22
23
24

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Penurunan persamaan (8) dan (9)
Penurunan persamaan (13)
Penurunan persamaan (14)
Penurunan persamaan (15), (16), dan (17)
Penurunan persamaan (18), (19), dan (20)
Penurunan persamaan (22)
Penurunan persamaan (23), (24), dan (25)
Penurunan persamaan (26), (27), dan (28)
Proses perhitungan Ilustrasi 1
Proses perhitungan Ilustrasi 2
Proses perhitungan Ilustrasi 3
Proses perhitungan Ilustrasi 4a
Proses perhitungan Ilustrasi 4b

26
26
27
27
29
29
30
31
34
35
37
39
40

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Masalah persediaan merupakan salah satu masalah penting yang dihadapi
berbagai perusahaan baik perusahaan manufaktur atau nonmanufaktur. Masalah
yang dihadapi antara lain bagaimana pihak manajemen perusahaan menentukan
banyaknya barang yang dipesan setiap kali pemesanan dan kapan barang tersebut
dipesan untuk memenuhi kebutuhan produksinya sehingga dapat meminimumkan
biaya persediaan totalnya.
Persediaan barang mempunyai fungsi yang sangat penting bagi perusahaan.
Dari berbagai barang yang ada seperti bahan baku, barang dalam proses, dan
barang jadi, perusahaan menyimpannya karena berbagai alasan. Penyimpanan
barang diperlukan untuk memenuhi permintaan pembeli dalam waktu cepat. Jika
tidak memiliki persediaan barang dan tidak memenuhi permintaan pembeli pada
waktu yang tepat, kemungkinan pembeli akan berpindah ke perusahaan lain.
Demi kelancaran proses produksi, pihak manajemen perusahaan harus
menentukan jumlah persediaan yang cukup. Jika terlalu banyak barang yang
disimpan, biaya penyimpanan menjadi tinggi, tetapi persediaan yang terlalu
sedikit mengakibatkan terganggunya proses produksi.
Berdasarkan dua karakteristik utama parameter-parameter persediaan, yaitu
tingkat permintaan dan periode kedatangan pesanan, model-model persediaan
dibedakan menjadi model deterministik dan model probabilistik. Model
deterministik ditandai oleh karakteristik tingkat permintaan dan periode
kedatangan pesanan yang bisa diketahui sebelumnya secara pasti. Sebaliknya,
model probabilistik ditandai dengan adanya salah satu atau kedua parameter yang
tidak dapat diketahui secara pasti sebelumnya. Dalam karya ilmiah ini, masalah
persediaan yang dibahas adalah model deterministik.
Dalam suatu kasus, perusahaan sebagai pihak pembeli diperbolehkan
melakukan penundaan pembayaran pembelian barang selama periode waktu
tertentu. Ini berarti perusahaan tidak harus langsung melunasi pembayaran ketika
pesanan datang. Jika pembayaran pembelian dilakukan masih dalam periode
penundaan, maka pembeli tidak harus membayar bunga. Tetapi jika pembayaran
melewati periode penundaan, maka pembeli harus membayar bunga kepada
supplier. Oleh karena itu, kondisi ini dapat menguntungkan pihak manajer
perusahaan sebagai pembeli yang boleh menunda pembayaran karena pembayaran
dapat ditunda sampai akhir periode penundaan. Selama periode penundaan tersebut,
perusahaan sebagai pembeli bebas menjual produk dan mengumpulkan pendapatan
dari penjualan. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas model inventori dengan diskon,
backorder, dan penundaan pembayaran yang bersumber dari artikel A deterministic
inventory model with permissible delay payment and price discount on backorders
karangan Manisha Pal dan Sujan Chandra pada tahun 2012.
Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah:
1 menentukan model inventori dengan diskon, backorder, dan penundaan
pembayaran pembelian,

2
2 menentukan jumlah persediaan pada setiap awal siklus persediaan, jumlah
barang yang dipesan tetapi belum dapat dipenuhi, waktu periode kehabisan
persediaan, periode pemesanan, dan periode penundaan pembayaran sehingga
biaya persediaan total yang dikeluarkan minimum.

TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persediaan
Prawirosentono (2005) menyatakan berdasarkan jenis operasi perusahaan,
arti persediaan dapat diklasifikasikan menjadi dua.
1 Pada perusahaan manufaktur yang memproses input menjadi output, persediaan
adalah simpanan baku dan barang setengah jadi (work in process) untuk
diproses menjadi barang jadi (finished goods) yang mempunyai nilai tambah
lebih besar secara ekonomis, untuk selanjutnya dijual kepada pihak ketiga
(konsumen).
2 Pada perusahaan dagang, persediaan adalah simpanan sejumlah barang jadi
yang siap dijual kepada pihak ketiga (konsumen).
Tujuan dalam penyelesaian masalah persediaan ialah meminimumkan biaya
persediaan total. Menurut Siswanto (2007), biaya-biaya yang digunakan dalam
masalah persediaan antara lain
1 Biaya pesan (ordering cost), yaitu biaya yang timbul pada saat terjadi proses
pemesanan suatu barang. Contohnya biaya-biaya pembuatan surat, telepon,
faksimili.
2 Biaya simpan (carrying cost), yaitu biaya yang timbul pada saat terjadi proses
penyimpanan suatu barang. Yang termasuk ke dalam biaya simpan antara lain
sewa gudang, premi asuransi, biaya keamanan.
3 Biaya kehabisan persediaan (stocking out cost), yaitu biaya yang timbul akibat
persediaan telah habis atau tidak tersedia. Termasuk dalam kategori ini adalah
kerugian karena mesin berhenti, karyawan tidak bekerja, atau peluang yang
hilang untuk memperoleh keuntungan. Biaya ini meliputi:
 Lost sale cost, yaitu biaya yang terjadi apabila pesanan konsumen yang
diterima perusahaan tidak dapat dipenuhi karena jumlah persediaan tidak
cukup, dan konsumen tidak bersedia menunggu sehingga pesanan
dibatalkan.
 Backorder cost, yaitu biaya yang terjadi apabila pesanan konsumen yang
diterima perusahaan tidak dapat dipenuhi karena jumlah persediaan habis,
dan konsumen bersedia menunggu sampai pesanan dipenuhi sehingga
perusahaan tidak kehilangan keuntungan.
4 Biaya pembelian (purchasing cost), yaitu biaya yang timbul pada saat
pembelian suatu barang.
Model EOQ Dasar
Model EOQ (Economic Order Quantity) dasar adalah model inventori
(persediaan) deterministik yang pertama kali dikembangkan tahun 1915 secara

3
terpisah oleh Ford Harris dan R.H.Wilson (Siswanto 2007). Asumsi yang
digunakan pada model ini ialah
1 Model untuk satu produk yang sama.
2 Biaya yang relevan adalah biaya pesan dan biaya simpan. Biaya pesanan untuk
setiap kali pesan barang jumlahnya ialah tetap, sedangkan biaya penyimpanan
dihitung dari nilai rata-rata persediaan barang.
3 Pemesanan tepat datang secara serentak pada saat persediaan sebelumnya habis.
4 Permintaan barang diketahui dengan tingkat pemakaian persediaan konstan.
5 Waktu tunggu (lead time), yaitu lamanya waktu antara menyampaikan pesanan
sampai diterima barangnya, juga diketahui.
6 Shortage (kekurangan persediaan) tidak diperbolehkan, artinya persediaan
selalu dapat memenuhi permintaan konsumen.
Tujuan dari model ini ialah menentukan jumlah pesanan optimal sehingga
biaya persediaan total minimum.
Misalkan banyaknya kebutuhan suatu barang dalam satu periode adalah D,
biaya yang dikeluarkan setiap kali pesanan dibuat adalah K, biaya yang harus
dikeluarkan untuk menyimpan setiap unit persediaan adalah h, dan jumlah barang
yang dipesan setiap kali pesanan dibuat adalah Q unit. Tingkat persediaan barang
model ini dapat dilihat pada grafik sebagai berikut.
Tingkat persediaan
Q
Satu
siklus
pesanan
waktu
t1

t2

t3

Gambar 1 Tingkat persediaan model EOQ dasar
Gambar 1 memperlihatkan bahwa persediaan sebesar Q yang datang di t1
akan habis dipakai tepat pada t2. Pada saat di t2 penambahan persediaan sebesar Q
tepat datang. Siklus ini berulang sebanyak D/Q. Hal ini membuat penambahan
persediaan selalu sama, yaitu sebesar Q.
Model inventori deterministik memperhitungkan dua macam biaya yaitu
biaya pesan dan biaya simpan. Biaya pesan adalah biaya yang harus dikeluarkan
karena pemesanan suatu barang, sehingga besarnya biaya pesan selama satu
periode adalah hasil kali antara frekuensi pemesanan dalam satu periode dengan
biaya sekali pemesanan, yaitu
. Biaya simpan harus dikeluarkan karena
berkaitan dengan penyimpanan persediaan. Karena siklus persediaan adalah
datang-digunakan-habis maka volume persediaan didasarkan pada persediaan
rata-rata, yaitu (persediaan awal + persediaan akhir)/2. Karena persediaan tepat
datang sebesar Q, maka persediaan awal adalah Q dan persediaan akhir adalah nol

4
ersediaan rata-rata

sehingga

selama satu siklus ialah

Ini berarti, besarnya biaya simpan
. Karena terdapat

siklus dalam satu periode,

maka biaya simpan selama satu periode adalah
. Jadi biaya persediaan total
(C) ialah:
Biaya persediaan total (C) = Biaya pesan + Biaya simpan

Hubungan antara biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total dapat
dilihat dalam grafik pada Gambar 2. Biaya persediaan total (C) akan naik jika
semakin banyak unit (Q) yang dipesan maupun semakin sedikit unit yang dipesan.
Ketika biaya pesan sama dengan biaya simpan, maka

(

Biaya

)

⁄

C
Biaya simpan

O

Q*

Biaya pesan
Q

Gambar 2 Kurva biaya pesan, biaya simpan dan biaya persediaan total
Gambar 2 memperlihatkan bahwa biaya pemesanan semakin mengecil apabila
semakin besar jumlah barang yang dipesan (lihat garis melengkung yang semakin
menurun) dan biaya penyimpanan semakin meningkat apabila jumlah barang yang
dipesan semakin meningkat (lihat garis lurus yang ditarik dari titik asal). Misalkan
nilai Q pada saat biaya pesan = biaya simpan dinyatakan dengan Q*. Akan
ditunjukkan bahwa biaya persediaan total akan minimum pada saat Q = Q*.
Selanjutnya untuk mencari nilai Q* sehingga diperoleh biaya persediaan total
yang minimum, maka haruslah
, akibatnya diperoleh

5

Akan

(

)

⁄

ditunjukkan Q* meminimumkan fungsi biaya C.
Karena nilai D, K, dan Q selalu positif, maka

Selanjutnya,
untuk

setiap Q. Dengan demikian C adalah fungsi konveks sehingga C mencapai
minimum mutlak di Q*. Biaya persediaan total mencapai minimum di Q*
dengan nilai

⁄

(

)

⁄

⁄

⁄

⁄
⁄
⁄

⁄

Dengan demikian terlihat bahwa nilai Q* yang meminimumkan biaya
persediaan total terjadi tepat ketika biaya pesan sama dengan biaya simpan. Nilai
Q* tersebut biasa dikenal dengan EOQ (Economic Order Quantity).

Model EOQ dengan Backorder
Pada model EOQ dasar, diasumsikan bahwa pesanan akan datang tepat pada
saat persediaan habis sehingga masalah kekurangan persediaan tidak pernah
terjadi. Model EOQ dengan backorder, memungkinkan terjadinya kekurangan
persediaan yang dapat diduga sebelumnya dan konsumen bersedia menunggu
sampai pesanan datang.
Model EOQ dengan backorder dapat digambarkan pada Gambar 3 sebagai
berikut.
Misalkan t1 adalah periode waktu ketika persediaan tersedia, t2 adalah periode
waktu ketika persediaan tidak tersedia, T1 adalah waktu pada saat persediaan tepat
habis dan T adalah waktu pemesanan persediaan.

6
Tingkat Persediaan

S
Q
T

T1
0

Waktu
s

t1
t2

Gambar 3 Model EOQ dengan backorder
Misalkan S ialah tingkat persediaan barang di awal periode pemesanan dan Q
adalah jumlah barang yang dipesan setiap kali pesanan. Selama periode waktu [0,
T1] persediaan S masih ada dan habis digunakan tepat di T. Selama periode waktu
[T1, T] terjadi kekurangan persediaan sebesar s akibat ada permintaan konsumen
yang belum dapat dipenuhi tetapi dapat dipenuhi pada periode berikutnya
(Gambar 3). Dari Gambar 3 diperoleh hubungan kesebangunan segitiga sebagai
berikut

Pada model ini, biaya persediaan total (C) adalah jumlah biaya pemesanan, biaya
penyimpanan dan biaya kekurangan persediaan. Biaya pesan pada model ini
bergantung pada frekuensi pesanan (D/Q) dan biaya sekali pemesanan (K), yaitu
iaya esan
Persediaan rata-rata selama periode t1 sebesar
sehingga
ersediaan
ro orsi a tu
rata rata biaya enyim anan
(
)
)
( rata rata ) (
ting at ersediaan
selama eriode t
selama
(

(

)( )
)(

)

Persediaan rata-rata yang habis selama periode t2 sebesar s/2. Jika s1 ialah biaya
kekurangan persediaan maka
ro orsi a tu
rata rata biaya
ersediaan
rata rata
ada saat
( ehabisan ersediaan )
(
)(
)
yang habis selama
selama eriode
ersediaan

7
( )

Dengan demikian biaya persediaan total adalah

dengan
C : Biaya persediaan total
D : Jumlah permintaan dalam satu periode
K : Biaya pesan setiap kali pemesanan dibuat
h
: Biaya penyimpanan persediaan per unit per periode
Q : Jumlah pesanan ekonomis tiap periode
s
: Jumlah kekurangan persediaan pada setiap siklus persediaan
s1 : Biaya kekurangan persediaan tiap unit per satuan waktu

ANALISIS MODEL PERSEDIAAN BARANG EOQ DENGAN
DISKON, BACKORDER, DAN PENUNDAAN PEMBAYARAN
Pada umumnya, perusahaan sebagai pihak pembeli harus melunasi
pembayaran pembelian segera setelah pesanan datang. Dalam berbagai situasi,
perusahaan diperbolehkan melakukan penundaan pembayaran pembelian selama
periode waktu tertentu sebelum melunasinya kepada supplier. Artinya, perusahaan
tidak harus langsung melunasi pembayaran ketika pesanan datang. Jika
pembayaran pembelian dilakukan masih dalam periode penundaan, maka
perusahaan tidak harus membayar bunga. Tetapi jika pembayaran melewati
periode penundaan, maka perusahaan sebagai pembeli harus membayar bunga
kepada supplier. Selama periode penundaan tersebut, perusahaan bebas menjual
produk, mengumpulkan pendapatan, dan mendapatkan bunga dari hasil penjualan.
Model yang digunakan dalam karya ilmiah ini ialah model persediaan barang dengan
mempertimbangkan diskon pada kondisi backorder dan adanya penundaan
pembayaran.
Asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model persediaan ini ialah:
1 Model hanya untuk satu produk yang sama.
2 Persediaan yang dipesan akan datang secara serentak pada saat persediaan
periode sebelumnya tepat habis (lead time = 0).
3 Shortage (kekurangan persediaan) diperbolehkan selama konsumen bersedia
menunggu pesanannya datang.
Menunda permintaan barang dari pembeli untuk dipenuhi disebut sebagai
backlogging.
4 Tingkat permintaan konstan pada waktu t , yaitu D(t) = α, untuk 0 < t < T.

8
5 Misalkan b0 ialah batas atas rasio backorder. Selama periode kekurangan
persediaan, terdapat proporsi terhadap permintaan yang tidak dapat dipenuhi
(b), yaitu batas atas rasio permintaan yang tidak dapat dipenuhi (b0) dengan
euntungan marjinal er unit π0), yang bergantung pada jumlah kekurangan
persediaan dan potongan harga (π) pada kondisi backorder yang diberikan
oleh manajer persediaan.
Jadi tingkat backorder didefinisikan sebagai berikut

Misalkan a

π, ≤
≤ , ≤ ≤
π
, ma a
a , dengan ≤

≤ .

Model persediaan dengan diskon pada kondisi backorder dan penundaan
pembayaran M dapat digambarkan pada Gambar 4 berikut.
Tingkat persediaan I(t)

S
Q
M

T1 M

0

T

Waktu
s

Gambar 4 Model persediaan dengan kondisi kekurangan persediaan dan
penundaan pembayaran pada waktu M
Misalkan periode penundaan pembayaran sebesar M dengan 0 < M < T dan
jumlah barang yang dipesan untuk setiap kali pemesanan sebesar Q unit. Tingkat
persediaan pada awal periode ialah S unit. T1 adalah waktu pada saat persediaan
tepat habis, T adalah waktu pemesanan dan α adalah jumlah permintaan dalam
satu periode. Persediaan sebanyak S unit ini akan habis digunakan selama [0, T1].
Selama periode [T1, T] terjadi kekurangan persediaan sebesar s unit sehingga ada
permintaan konsumen yang belum dapat dipenuhi, tetapi dapat dipenuhi pada
periode berikutnya. Jumlah persediaan pada setiap awal siklus persediaan selama
periode [0, T1] ialah
sehingga waktu ketika persediaan habis (T1) ialah
Jumlah persediaan yang dipesan oleh konsumen tetapi belum dapat dipenuhi (s)
selama periode [T1, T] ialah

sehingga

9

Jadi waktu pemesanan persediaan (T) ialah
Dari Gambar 4 terlihat bahwa pada periode (0, T) tingkat persediaan I(t)
akan berubah setiap bertambahnya waktu. Karena permintaan diasumsikan
diketahui dan konstan maka setiap bertambahnya t, jumlah persediaan I(t) akan
berkurang sebesar α pada periode (0, T1) dan berkurang sebesar α pada periode
(T1, T). Jadi laju perubahan persediaan terhadap waktu ialah konstan dan
dipengaruhi oleh tingkat permintaan dan tingkat kekurangan persediaan. Laju
perubahan persediaan dapat dirumuskan sebagai
{

Untuk periode (0, T1) diperoleh

∫

Karena I(T1) = 0, maka
α T1 – t), untuk t (0, T1).
Untuk periode (T1, T) diperoleh

, sehingga

∫

Karena I(T1) = 0, maka
, sehingga
bαT1 = bα T1 – t), untuk t (T1, T).
Jadi tingkat persediaan barang di setiap waktu t ialah

Jadi I(t) = –αt

αT1 =

Jadi, I(t) = –bαt +

{

Dari Gambar 4 terlihat bahwa pada periode (0, T1) persediaan barang masih
ada tetapi dengan bertambahnya waktu, persediaan semakin berkurang. Pada
periode ini perusahaan mengeluarkan biaya penyimpanan. Total jumlah
persediaan H selama periode (0, T1) ialah
∫

Penurunan Persamaan (8) diberikan di Lampiran 1.
Di Gambar 4 juga terlihat bahwa pada periode (T1, T) persediaan barang
telah habis dan perusahaan mengalami kekurangan persediaan. Pada periode ini
perusahaan mengeluarkan biaya karena kekurangan persediaan. Backorder adalah
permintaan yang belum dapat dipenuhi, tetapi kemudian dapat dipenuhi pada
periode berikutnya. Dalam kondisi backorder, perusahaan tidak mengalami
kehilangan penjualan ketika persediaan habis karena konsumen bersedia
menunggu pesanannya sampai terpenuhi pada tahap produksi selanjutnya, tetapi
perusahaan harus mengeluarkan biaya untuk kekurangan persediaan. Total jumlah
persediaan yang belum terpenuhi A selama periode (T1, T) ialah
∫

Penurunan Persamaan (9) diberikan di Lampiran 1.

10
Jika konsumen tidak bersedia menunggu, maka perusahaan akan mengalami
kehilangan penjualan (lost sale). Total jumlah penjualan yang hilang E dalam
satu siklus persediaan yaitu

Total barang yang dipesan (Q) selama periode pemesanan harus dapat
memenuhi permintaan selama periode (0, T1) dan kekurangan persediaan selama
periode (T1, T). Jadi
Q = α 1 + α(T – T1)
= S+s.
Pada periode 0 sampai T, terdapat dua kondisi penundaan pembayaran
pembelian yang mungkin terjadi, yaitu
1 jika penundaan pembayaran pembelian dilakukan sebelum persediaan habis
(M ≤ T1),
2 jika penundaan pembayaran pembelian dilakukan sesudah persediaan habis
(M ≥ T1).
Kasus 1 :
Model persediaan dengan penundaan pembayaran (M) dilakukan sebelum
persediaan habis diilustrasikan pada Gambar 5.
Tingkat persediaan I(t)

S
Q
M

T1

0

T

Waktu

Gambar 5 Kasus 1 : M ≤ T1
Pada Kasus 1 (lihat Gambar 5) penundaan pembayaran pembelian dilakukan
pada saat persediaan masih ada, sehingga perusahaan mendapatkan bunga sebesar
Ie yang diperoleh dari hasil penjualan pada periode (0, T1). Total bunga yang
diperoleh perusahaan I1 adalah hasil kali antara biaya pembelian per unit sebesar
P dengan bunga yang diterima per unit dan tingkat persediaan barang pada
periode (0, T1).
∫

∫

11

∫

(

(

)

)|

( )

Karena pembayaran dilakukan setelah waktu periode penundaan
pembayaran maka perusahaan dikenakan bunga sebesar Ir sehingga total bunga
yang harus dibayar R1 adalah hasil kali antara biaya pembelian per unit sebesar P
dengan bunga persediaan per unit dan tingkat persediaan barang pada periode (M,
T1)
∫

Penurunan persamaan (13) diberikan di Lampiran 2.
Dengan memperhatikan persamaan (8), (9), (10), (12), dan (13), maka biaya
persediaan total (C1) selama satu periode pada kasus M ≤ T1 adalah (biaya
pemesanan + biaya penyimpanan periode (0, T1) + biaya kekurangan persediaan
periode (T1, T) + biaya penjualan yang hilang + bunga yang harus dibayar – bunga
yang diterima) per satu periode. Jadi
, ,

{

}

, ,
a

dengan
α

, ,

α

a

αε

a
a

Penurunan persamaan (14) diberikan di Lampiran 3.
Nilai S, s, yang meminimumkan C1(S, s, ) diperoleh bila
, ,
sehingga diperoleh
αε
α
α

,

, ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

Penurunan persamaan (15), (16), (17) diberikan di Lampiran 4.
Dari persamaan (15) dan (16) diperoleh

12
Dari persamaan (16) dan (17) diperoleh

Nilai s pada persamaan (19) merupakan jumlah kekurangan persediaan yang
optimal yang mengakibatkan biaya persediaan total minimum, jika penundaan
pembayaran dilakukan saat persediaan masih ada. Jumlah persediaan pada awal
periode yang optimal sehingga biaya persediaan total minimum pada kondisi ini,
dapat dicari dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18) sehingga
akan diperoleh

Penurunan persamaan (18), (19), (20) diberikan di Lampiran 5.
Kasus 2 :
Model persediaan dengan penundaan pembayaran (M) dilakukan sesudah
persediaan habis diilustrasikan pada Gambar 6.
Tingkat persediaan I(t)

S
Q
T1 M

T

Waktu
s

Gambar 6 Kasus 2 : M ≥ T1
Pada Kasus 2 (lihat Gambar 6) penundaan pembayaran pembelian dilakukan
pada saat persediaan telah habis. Dalam kondisi ini, perusahaan tetap
mendapatkan bunga sebesar Ie yang diperoleh dari hasil penjualan pada periode (0,
M) sehingga besar bunga yang diperoleh perusahaan I2 adalah hasil kali antara
biaya pembelian per unit sebesar P dengan bunga pendapatan per unit dan jumlah
persediaan pada periode (0, M).

∫
(

]

∫

[∫

)

∫

13
[

[

]

(

[

]

) ]

Dengan memperhatikan persamaan (7), (8), (9), dan (20) maka biaya persediaan
total (C2) selama satu periode pada kasus M ≥ T1 adalah (biaya pemesanan + biaya
penyimpanan selama periode (0, T1) + biaya kehabisan persediaan selama periode
(T1, T) – bunga yang diterima) per satu periode. Jadi
, ,

{

}

, ,
a

dengan
α

, ,

α

a

a

e

a

a

[

αε

]

Penurunan persamaan (22) diberikan di Lampiran 6.
Nilai S, s, yang meminimumkan C2(S, s, ) diperoleh bila
, ,
sehingga diperoleh
[
a ]
e
α
e a
α

,

, ,

ea

αε

αε
, ,

,

, ,

, ,
, ,

Penurunan persamaan (23), (24), (25) diberikan di Lampiran 7.
Dari persamaan (23) dan (24) diperoleh

Dari persamaan (24) dan (25) diperoleh
dengan
[[

[

Jika s ≥ , ma a

{

[[

]

]
]

]

[

}

[

]

]

]

⁄

Penurunan persamaan (26), (27), (28) diberikan di Lampiran 8.
Nilai S pada persamaan (26) merupakan jumlah persediaan pada awal
periode yang optimal sehingga biaya persediaan total minimum jika pembayaran
dilakukan pada saat persediaan habis, sedangkan nilai s pada persamaan (28)

14
merupakan jumlah kekurangan persediaan yang optimal sehingga biaya
persediaan total minimum pada kondisi ini.
Analisis Hubungan Antarvariabel
Kasus 1 : M ≤ T1
1 Hubungan antara C1 dan s1
Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
, dengan γ, konstanta, γ > dan
diperoleh

a

a

a

a

α

{α

a

αε

}

a

Nilai S, s, α, K, h, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika > 0, maka hubungan antara C1 dan s1 dapat dilihat pada grafik
berikut. Semakin besar biaya kekurangan persediaan maka semakin besar juga
biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C1

- /γ

s1
0

Gambar 7 Hubungan antara biaya e urangan
ersediaan total
Kasus

ersediaan

dengan biaya

2 Hubungan antara C1 dan s2
Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
diperoleh
, dengan , θ konstanta, ≥ 0 dan
a
a
α
α
a
a
a

a

{α

αε

}

Nilai S, s, α, K, h, s1, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika θ > 0, maka hubungan antara C1 dan s2 dapat dilihat pada grafik
berikut. Semakin besar biaya penjualan yang hilang maka semakin besar juga
biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.

15
C1

θ
-θ/ε

s2
0

Gambar 8 Hubungan antara biaya enjualan yang hilang
ersediaan total
Kasus

dengan biaya

3 Hubungan antara C1 dan h
Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
diperoleh
, dengan μ, ρ konstanta, μ > 0, dan

a

a

α

{α

a

αε

}

a

Nilai S, s, α, K, s1, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika ρ > 0, maka hubungan antara C1 dan h dapat dilihat pada grafik
berikut. Semakin besar biaya penyimpanan maka semakin besar juga biaya
persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C1

ρ
-ρ/μ

h
0

Gambar 9 Hubungan antara biaya enyim anan
ersediaan total
Kasus

er unit

dengan biaya

4 Hubungan antara C1 dan M
Dari persamaan (14) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
, dengan σ, ω konstanta, σ > 0 dan
diperoleh
ε
a

16
α

{α

a

a

}

a

a
..
Nilai S, s, α, K, h, s1, s2, a , P, Ir, Ie, selalu bernilai positif dengan
Jika ω < 0, maka hubungan antara C1 dan M dapat dilihat pada grafik berikut.
Semakin besar waktu penundaan pembayaran maka semakin kecil biaya
persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C1

, σ S2 ω

( (S - (-ω/σ

1/2

/α,
M

0
Gambar 10 Hubungan antara eriode enundaan embayaran ε dengan biaya
ersediaan total
Kasus
Kasus 2 : M ≥ T1
1 Hubungan antara C2 dan s1
Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
diperoleh
, dengan γ, 1 konstanta, γ > 0 dan
a

a

a

{α

a
α

a
a

e

[

a

αε

]}

Nilai S, s, α, K, h, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika 1 > 0, maka hubungan antara C1 dan s1 dapat dilihat pada grafik
berikut. Semakin besar biaya kekurangan persediaan maka semakin besar juga
biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.

17
C2

1

- 1/γ

s1

0
Gambar 11 Hubungan antara biaya e urangan
persediaan total (C2) Kasus 2

ersediaan

dengan biaya

2 Hubungan antara C2 dan s2
Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
diperoleh
, dengan , θ1 konstanta, ≥ 0 dan
a
a
α
α
a
a
a

e

{α

a

[

a

αε

]}

Nilai S, s, α, K, h, s1, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika θ1 > 0, maka hubungan antara C1 dan s2 dapat dilihat pada
grafik berikut. Semakin besar biaya penjualan yang hilang maka semakin besar
juga biaya persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C2

θ1
-θ1/ε

s2
0

Gambar 12 Hubungan antara biaya enjualan yang hilang
persediaan total (C2) Kasus 2

2

dengan biaya

3 Hubungan antara C2 dan h
Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
diperoleh
, dengan μ, ρ1 konstanta, μ > 0 dan

a

18
α

{α

a

a

e

a

[

a

αε

]}

Nilai S, s, α, K, s1, s2, a , P, Ir, Ie, dan M selalu bernilai positif dengan
a
. Jika ρ1 > 0, maka hubungan antara C1 dan h dapat dilihat pada grafik
berikut. Semakin besar biaya penyimpanan maka semakin besar juga biaya
persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C2

ρ1
-ρ1/γ

h

0
Gambar 13 Hubungan antara biaya enyim anan
persediaan total (C2) Kasus 2

er unit

dengan biaya

4 Hubungan antara C2 dan M
Dari persamaan (22) dan dengan membuat variabel lain bernilai tetap akan
, dengan σ1, ω konstanta, σ1 ≥ 0 dan
ε
diperoleh
a
e
a

a

α

{α

a

}

a

a
.
Nilai S, s, α, K, h, s1, s2, a , P, Ir, Ie, selalu bernilai positif dengan
Jika ω > 0 maka hubungan antara C1 dan M dapat dilihat pada grafik berikut.
Semakin besar waktu penundaan pembayaran maka semakin kecil biaya
persediaan total yang dikeluarkan oleh perusahaan.
C2
(0, -σ1S2 ω

( (S
0

ω/σ1)1/2 / α,
M

Gambar 14 Hubungan antara eriode enundaan embayaran ε dengan biaya
ersediaan total
Kasus

19

IMPLEMENTASI
Pada karya ilmiah ini dibahas empat ilustrasi. Setiap ilustrasi menunjukkan
biaya persediaan total yang minimum dengan memperhatikan proporsi permintaan
yang tidak dapat terpenuhi, biaya kekurangan persediaan (s1), biaya karena
penjualan yang hilang (s2), waktu penundaan pembayaran yang diperbolehkan (M)
dan biaya penyimpanan (h).
Ilustrasi 1 meminimumkan biaya persediaan dengan biaya kekurangan
persediaan (s1) yang berbeda - beda. Ilustrasi 2 meminimumkan biaya persediaan
dengan biaya karena adanya penjualan hilang (s2) yang berbeda - beda. Ilustrasi 3
meminimumkan biaya persediaan dengan biaya penyimpanan (h) yang berbedabeda, sedangkan Ilustrasi 4 meminimumkan biaya persediaan dengan waktu
penundaan pembayaran (M) yang berbeda-beda.
Diberikan data untuk Ilustrasi 1, 2, dan 3 sebagai berikut:
Biaya pemesanan : K = $50
Biaya pembelian : P = $100/kg
Bunga yang dikenakan pada persediaan : Ir = 0.15
Bunga yang diperoleh perusahaan dari hasil penjualan : Ie = 0.13,
Jumlah permintaan persediaan : α = 12 kg/hari
Waktu penundaan pembayaran pembelian : M = 0.3 hari.
Ilustrasi 1
Data yang digunakan yaitu
Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.3/hari
Biaya penyimpanan : h = $0.6 /kg/hari
Proporsi backorder : b = a0 = 0.2336.
Variabel yang akan diubah nilainya yaitu biaya kekurangan persediaan :
s1 = $0.15/hari hingga s1 = $1.5/hari.
Hasil dari Ilustrasi 1 dapat dilihat di Tabel 1.
Tabel 1 Total biaya persediaan minimum
Kasus s (unit) S (unit) T (hari) T1(hari) C ($)
1
11.21
22.48
5.87
1.87
4.44
2
14.56
0.39
5.23
0.032
13.13
Proses perhitungannya dapat dilihat di Lampiran 9.
Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $4.44/hari dan kasus 2 diperoleh C2(S, s,
) = $13.33/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 11.21 kg,
S = 22.48 kg, T1 = 1.87 hari dan T = 5.87 hari dengan biaya persediaan total
minimumnya sebesar $4.44/hari.
Tingkat persediaannya adalah
{

Model dari Ilustrasi 1 dapat dilihat pada gambar berikut.

20
Tingkat persediaan I(t)

Q = 33.69 kg

S = 22.48
kg

M
0

T1

1.87
hari

T

Waktu (t)
s = 11.21 kg

4 hari
5.87 hari

Gambar 15 Ilustrasi 1
Gambar 15 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan
dapat memesan barang sebesar 33.69 kg secara bertahap selama 5.87 hari dengan
persediaan awalnya sebesar 22.48 kg dengan waktu persediaan habis selama 1.87
hari dan kekurangan persediaan sebesar 11.21 kg serta biaya persediaan total
$4.44/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat
persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1).
Proses perhitungan nilai s1 selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 2 untuk
Kasus 1 dan Tabel 3 untuk Kasus 2 di Lampiran 9. Dari hasil perhitungan tersebut
diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai s1.
Ilustrasi 2
Data yang digunakan yaitu
Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.35/hari
Biaya penyimpanan : h = $0.6/kg/hari
Proporsi backorder : b = a0 = 1.0000.
Variabel yang akan diubah nilainya yaitu biaya penjualan yang hilang : s2 =
$0.15/hari hingga s2 = $1.5/hari.
Proses perhitungannya dapat dilihat di Lampiran 10.
Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $4.85/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S,
s, ) = $30.84/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 10.29 kg,
S = 22.15 kg, T1 = 1.85 hari dan T = 2.70 hari dengan total biaya persediaan
minimum sebesar $4.85/hari.
Tingkat persediaannya adalah
{

Model dari Ilustrasi 2 dapat dilihat pada gambar berikut.

21
Tingkat persediaan I(t)

Q = 32.44 kg

S = 22.15
kg

M
0

T1

1.85
hari

T

Waktu (t)
s = 10.29 kg

0.85
hari

2.70 hari
Gambar 16 Ilustrasi 2
Gambar 16 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan
dapat memesan barang sebesar 32.44 kg secara bertahap selama 2.70 hari dengan
persediaan awal sebesar 22.15 kg dengan waktu persediaan habis 1.85 hari dan
kekurangan persediaan sebesar 10.29 kg serta biaya persediaan total minimumnya
$4.85/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat
persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1).
Proses perhitungan nilai s2 selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 4 untuk
Kasus 1 dan Tabel 5 untuk Kasus 2 di Lampiran 10. Dari hasil perhitungan
tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai s2.
Ilustrasi 3
Data yang digunakan ialah
Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.35/hari
Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.3/hari
Proporsi backorder : b = a0 = 0.00040.
Variabel yang akan diubah nilainya adalah biaya penyimpanan : h = $0.15
/kg/hari hingga h = $1.5 /kg/hari.
Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 11.
Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $2.03/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S,
s, ) = $20.38/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 0.00823 kg,
S = 26.79 kg, T1 = 2.2325 hari dan T = 3.95 hari dengan total biaya persediaan
minimum sebesar $2.03/hari.
Tingkat persediaannya adalah
{

Model dari Ilustrasi 3 dapat dilihat pada gambar berikut.

22
Tingkat persediaan I(t)

Q = 26.80 kg

S = 26.79
kg

M
0

T1

2.23
hari
3.95 hari

T

Waktu (t)
s = 0.00823 kg

1.72
hari

Gambar 17 Ilustrasi 3
Gambar 17 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan
dapat memesan barang sebesar 26.80 kg secara bertahap selama 3.95 hari dengan
persediaan awalnya sebesar 26.79 kg dengan waktu persediaan habis 2.23 hari dan
kekurangan persediaan sebesar 0.00823 kg serta biaya persediaan total
minimumnya $2.03/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian
dilakukan pada saat persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1).
Proses perhitungan nilai h selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 6 untuk
Kasus 1 dan Tabel 7 untuk Kasus 2 di Lampiran 11. Dari hasil perhitungan
tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk semua nilai h.
Ilustrasi 4
Diberikan data sebagai berikut:
Biaya pemesanan : K = $500
Biaya pembelian : P = $120/kg
Bunga yang dikenakan pada persediaan : Ir = 0.4
Bunga yang diperoleh perusahaan dari hasil penjualan : Ie = 0.1
Jumlah permintaan persediaan : α = 20 kg/hari
Biaya penyimpanan : h = $0.6/unit/hari
Biaya kekurangan persediaan : s1 = $0.4/hari
Biaya penjualan yang hilang : s2 = $0.2/hari.
Ilustrasi 4a
Data yang digunakan ialah proporsi backorder : b = a0 = 0.1044.
Variabel yang akan diubah nilainya ialah waktu penundaan pembayaran
pembelian : M = 0.2 hari hingga M = 1.4 hari.
Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 12.
Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $392.67/hari dan Kasus 2 diperoleh
C2(S, s, ) = $297.41/hari. Karena C2(S, s, ) < C1(S, s, ) maka diambil s = 3.56
kg, S = 0, T1 = 0.000022 hari dan T = 1.70 hari dengan total biaya persediaan
minimum sebesar $297.41/hari.
Tingkat persediaannya adalah
{

23
Model dari Ilustrasi 4a dapat dilihat pada gambar berikut.
Tingkat persediaan I(t)

Q = 3.56 kg

S=0

M

T1
0
0.000022
hari

T

Waktu (t)
s = 3.56 kg

1.69
hari

1.70 hari
Gambar 18 Ilustrasi 4a
Gambar 18 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan
dapat memesan barang sebesar 3.56 kg secara bertahap selama 1.70 hari dengan
waktu persediaan habis 0.000022 hari dan kekurangan persediaan sebesar 3.56 kg
serta biaya persediaan total minimumnya $297.41/hari pada kondisi penundaan
pembayaran ketika persediaan habis (M ≥ T1).
Proses perhitungan nilai M selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 8 untuk
Kasus 1 dan Tabel 9 untuk Kasus 2 di Lampiran 12. Dari hasil perhitungan
tersebut diperoleh C2(S, s, ) < C1(S, s, ) untuk nilai M dari 0.2 sampai 1.4.
Ilustrasi 4b
Data yang digunakan ialah proporsi backorder : b = a0 = 1.0000.
Variabel yang akan diubah nilainya ialah waktu penundaan pembayaran
pembelian : M = 1.6 hari hingga M = 2 hari.
Proses perhitungan dapat dilihat di Lampiran 13.
Dari Kasus 1 diperoleh C1(S, s, ) = $39.01/hari dan Kasus 2 diperoleh C2(S,
s, ) = $76.47/hari. Karena C1(S, s, ) < C2(S, s, ) maka diambil s = 20 kg, S =
42.19 kg, T1 = 2.11 hari dan T = 3.11 hari dengan biaya total persediaan
minimum sebesar $39.01/hari.
Tingkat persediaannya adalah
{

Model dari Ilustrasi 4b dapat dilihat pada gambar berikut.

24
Tingkat persediaan I(t)

Q = 62.19 kg

S = 42.19
kg

M
0

T1

2.11
hari

T

Waktu (t)
s = 20 kg

1 hari

3.11 hari

Gambar 19 Ilustrasi 4b
Gambar 19 memperlihatkan bahwa dalam satu siklus persediaan perusahaan
dapat memesan barang sebesar 62.19 kg secara bertahap selama 3.11 hari dengan
persediaan awalnya sebesar 42.19 kg dengan waktu persediaan habis 2.11 hari dan
kekurangan persediaan sebesar 20 kg serta biaya persediaan total minimumnya
$39.01/hari pada kondisi penundaan pembayaran pembelian dilakukan pada saat
persediaan mulai berkurang ( M ≤ T1).
Proses perhitungan nilai M selanjutnya dapat dilihat pada Tabel 10 untuk
Kasus 1 dan Tabel 11 untuk Kasus 2 pada Lampiran 11. Dari hasil perhitungan
tersebut diperoleh C1(S, s, ) < C2(S, s, ) untuk nilai M dari 1.6 sampai 2.

SIMPULAN
Dari keempat ilustrasi pada model inventori dengan diskon, backorder, dan
penundaan pembayaran untuk diperoleh biaya persediaan total minimum maka
kebijakan untuk jumlah kekurangan persediaan harus yang lebih tinggi, biaya
kehilangan penjualan yang tinggi dan waktu penundaan pembayaran yang diijinkan
lebih lama. Selain itu, untuk biaya kekurangan persediaan yang tinggi diberikan
diskon yang lebih tinggi untuk persediaan yang kurang.
Karya ilmiah ini membahas model persediaan deterministik dengan kondisi
kekurangan persediaan dimungkinkan terjadi. Jika barang dalam persediaan lebih
kecil dari permintaan, maka ada permintaan yang tidak terpenuhi. Hal ini
memungkinkan untuk menunda permintaan barang dari pembeli untuk dipenuhi
dan manajer perusahaan akan menawarkan diskon kepada konsumen yang
bersedia menunggu pesanannya sampai terpenuhi. Manajer perusahaan sebagai
pihak pembeli diperbolehkan melakukan penundaan pembayaran pembelian
barang selama periode waktu tertentu. Jika pembayaran pembelian dilakukan
masih dalam periode penundaan maka pembeli tidak harus membayar bunga,
tetapi jika pembayaran melewati periode penundaan, maka pembeli harus
membayar bunga kepada supplier. Oleh karena itu, kondisi ini dapat
menguntungkan pihak manajer perusahaan sebagai pembeli yang boleh menunda
pembayaran karena pembayaran dapat ditunda sampai akhir periode penundaan.

25
Dengan waktu penundaan pembayaran yang tepat perusahaan dapat mengetahui
waktu habisnya persediaan serta pemesanan kembali sehingga total biaya
persediaan yang dikeluarkan minimum. Kebijakan pemesanan yang optimal dan
diskon yang ditawarkan untuk kekurangan persediaan yang optimal dapat
menentukan minimum total biaya persediaan setiap pemesanan.

DAFTAR PUSTAKA
Pal M, Chandra S. 2012. A deterministic inventory model with permissible delay
in payment and price discount on backorders. Operational Research Society of
India. 49(3):271-279. doi:10.1007/s12597-012-0076-3.
Prawirosentono S. 2005. Riset Operasi dan Ekonofisika. Jakarta (ID): Bumi
Aksara.
Siswanto. 2007. Operations Research. Jakarta (ID): Erlangga.

26
Lampiran 1 Penurunan persamaan (8) dan (9)
∫

∫

∫

(

)|

( )

∫

∫
)|

(

∫
[

]
(

)

Lampiran 2 Penurunan persamaan (13)
∫

∫
∫

[(

)

(

(

Karena

)|

(

)

)]

, maka

27
(

)

(

)

Lampiran 3 Penurunan persamaan (14)
, ,

{

α

{

a

α

α
{α

a

}

α

}

}

αε
α

a

α

a

αε

a

, ,

a

dengan
sehingga

Lampiran 4 Penurunan persamaan (15), (16), dan (17)
, ,

[

dengan

, ,
a

α

, ,

]
a

αε

a

α

a

maka
αε

, ,

a
a

a

[

, ,

αε

[

a

αε
αε

, ,
a

, ,

]

]

28
αε
, ,

, ,
, ,

[

dengan

a

α

, ,
maka

]
a

α

a

αε

a

α

, ,

a
a

α

(

)

, ,

a

a

a

α

, ,
a

α

, ,

α

, ,

, ,

, ,

[

dengan

a

α

, ,

]
a

α

a

a

maka
s

, ,

a
a
a

α

[

a

, ,

a

α

, ,
a

α
α

, ,
, ,

]

αε

29
Lampiran 5 Penurunan persamaan (18), (19), dan (20)
Dari persamaan 15 dan 16 diperoleh
]

[

Dari Persamaan 16 dan 17 diperoleh
s
s
s
s

Substitusi persamaan (19) ke persamaan (18) akan menghasilkan

Lampiran 6 Penurunan persamaan (22)
, ,
α

{

a

{α

a

{

α

α
a

, ,

}

α
α

e

α
a

a

[

a
e

[

a

dengan
sehingga

αε
a

αε

]}

]}

30
Lampiran 7 Penurunan persamaan (23), (24), dan (25)
, ,

, ,

[

dengan

a

α

, ,

]
a

α

a

e

a

maka
ea

e

αε

, ,

a

a

[

αε

]

a

[

a

[

ea

, ,

αε

e
e

, ,

, ,

[

dengan

a
a

a

a

α

α

a

a

a
, ,

a

(

α

)

a

a

, ,
a

α

, ,

a

α
α

, ,

]

a

α

, ,

, ,
, ,

]

]

a

αε
ea
αε
ea
a ]
e a αε

e

[

, ,

αε

a

e

maka

ea

e

, ,
, ,

e

[

a

αε

]

31
, ,

, ,

[

dengan
α

, ,

]

a

a

α

a

e

a

maka
s

a

[

αε

, ,

a
a

a αε

2

2

, ,

a
a

[

a
a

a

α
α

e

a

αε
αε

, ,

Lampiran 8 Penurunan persamaan (26), (27), dan (28)
Dari Persamaan 23 dan 24 diperoleh
]
[
Dari persamaan (24) dan (25) diperoleh
α

e

a

αε

]

]

32
e

α
e

a
e
e

a

αε

αε
a

αε

a

αε

untuk memudahkan penyelesaian, maka persamaan (26.1) disederhanakan dengan
memperhatikan αε – S terlebih dahulu.
α [

[

]

α [

α [

α [

{

[

[

]}

[

]

[

]

[

]

{

(

{

[

]

]

[
[

[

][
]

[

)

{

]

[

[

]

[
[

]

[

]

]

[

[

[

[

[

e

[

]

[

(

e

[

]
(

{

]

]
[

{

{

]

]
)}

]

]

]

substitusi persamaan (26.2) ke persamaan (26.1)

e

]

]

(

]

]

[

)}

[

]

[

] }

)}

[

[

]

]

[

]

[

]

] }

(

]

]

]

)}

33

[

a

[

[[
[[

]

]

]

]

[[

[

[

] ]

[
]

[
[

]

[[

]

]

[

]

[

]

]

}

]

sehingga diperoleh persamaan

[

]

]

]

]

[

]

[ [
{

]

[

]

]

(27)
dengan
[[

[

Ji a s ≥ , ma a

{

[[

]

]
]

]

[

[

}

[

]

⁄

]

]

⁄

]

34

Lampiran 9 Proses perhitungan Ilustrasi 1
Tabel 2 Hasil perhitungan Ilustrasi 1 Kasus 1 (M ≤ T1)
s1
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
1.00
1.15
1.20
1.50

b=
a0.

s

S

T

1/T

H

0.2336 11.21 22.48 5.87 0.17 21.05
0.2816 10.14 22.54 4.88 0.20 21.18
0.3212 9.25 22.60 4.28 0.23 21.28
0.3544 8.51 22.64 3.89 0.26 21.37
0.3824 7.87 22.68 3.60 0.28 21.44
0.4064 7.32 22.72 3.39 0.29 21.50
0.4276 6.84 22.75 3.23 0.31 21.56
0.4460 6.42 22.77 3.10 0.32 21.61
0.5528 3.98 22.92 2.51 0.40 21.89
0.5704 3.57 22.94 2.43 0.41 21.93
0.5756 3.45 22.95 2.41 0.41 21.95
0.6004 2.88 22.99 2.32 0.43 22.01

C1
(S,s, )

A

E

I1

R1

22.43
15.21
11.10
8.51
6.74
5.49
4.56
3.85
1.19
0.93
0.86
0.58

36.79
25.86
19.55
15.49
12.70
10.68
9.16
7.98
3.22
2.69
2.55
1.92

222.72
224.29
225.59
226.68
227.61
228.40
229.10
229.71
233.27
233.86
234.03
234.87

273.67
275.29
276.63
277.75
278.71
279.52
280.25
280.87
284.53
285.14
285.32
286.17

4.44
4.61
4.76
4.88
4.98
5.06
5.14
5.21
5.59
5.65
5.67
5.76

Q

T1

33.69
32.68
31.85
31.15
30.55
30.03
29.59
29.19
26.90
26.51
26.40
25.87

1.87
1.88
1.88
1.89
1.89
1.89
1.90
1.90
1.91
1.91
1.91
1.92

Tabel 3 Hasil perhitungan Ilustrasi 1 Kasus 2 (M ≥ T1)
s1

b=
a0.

0.15 0.2336
0.20 0.2816

k1

k2

k3

35.73
51.55

-410.88
-542.47

-1593.78
-2299.19

s

S

T

1/T

14.56 0.39 5.23 0.19
13.76 0.49 4.11 0.24

H

A

0.01
0.01

37.83
28.03

E
47.78
35.11

I2
1.39
1.61

C2
(S, s, )

Q

T1

13.13
15.69

14.95
14.25

0.032
0.041

2
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
1.00
1.15
1.20
1.50

0.3212
0.3544
0.3824
0.4064
0.4276
0.4460
0.5528
0.5704
0.5756
0.6004

68.60
86.63
105.38
124.73
144.65
164.94
379.65
445.94
468.19
601.83

-666.97
-784.07
-893.19
-995.32
-1092.85
-1184.04
-1894.37
-2061.84
-2115.60
-2412.62

-2973.28
-3601.34
-4174.90
-4698.02
-5183.99
-5623.75
-8497.70
-9022.64
-9180.45
-9949.99

13.04
12.40
11.83
11.31
10.86
10.44
7.84
7.37
7.23
6.54

0.56
0.62
0.66
0.70
0.73
0.75
0.84
0.84
0.84
0.83

3.43
2.97
2.63
2.38
2.18
2.01
1.25
1.15
1.12
0.98

0.29
0.34
0.38
0.42
0.46
0.50
0.80
0.87
0.90
1.02

0.01
0.02
0.02
0.02
0.02
0.02
0.03
0.03
0.03
0.03

22.07
18.09
15.24
13.11
11.48
10.19
4.64
3.97
3.78
2.97

27.57
22.59
19.10
16.52
14.53
12.97
6.35
5.55
5.33
4.35

1.78
1.91
2.02
2.12
2.20
2.27
2.66
2.73
2.76
2.86

18.08
20.32
22.43
24.44
26.35
28.17
43.04
46.66
47.81
54.16

13.61
13.02
12.49
12.01
11.58
11.19
8.68
8.21
8.07
7.37

0.047
0.052
0.055
0.058
0.061
0.063
0.070
0.070
0.070
0.070

Lampiran 10 Proses perhitungan Ilustrasi 2
Tabel 4 Hasil perhitungan Ilustrasi 2 Kasus 1 (M ≤ T1)

s2
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45

b=
a0.

s

S

1.0000 10.29 22.15
0.9932 13.62 22.61
0.6120 10.49 22.63
0.3824 7.87 22.68
0.2340 5.62 22.76
0.1340 3.68 22.86
0.0644 1.99 22.98

T

1/T

H

A

2.70
3.03
3.31
3.60
3.90
4.19
4.49

0.37
0.33
0.30
0,28
0,26
0,24
0,22

20.45
21.30
21.34
21.44
21.59
21.78
22.00

4.41
7.78
7.49
6.74
5.62
4.20
2.55

E
0.00
0.09
6.65
12.70
18.38
23.75
28.87

I1

R1

215.15
225.84
226.32
227.61
229.50
231.91
234.74

265.85
276.88
277.38
278.71
280.66
283.13
286.04

C1
(S,s, )
4.85
4.78
4.8