Materi Matematika Wajib Kelas XII KK13

B. Invers Perkalian Matriks ordo (2 x 2)

Matriks identitas perkalian (dilambangkan dengan I) adalah sebuah matriks persegi yang memenuhi sifat: Jika A adalah matriks persegi yang berordo sama dengan I, maka berlaku

1 0 Untuk matriks identitas ordo (2 x 2) dapat dinyatakan sebagai I =    0 1 

Bukti :

 1 0   a  0 0  b a Misalkan A = b maka A x I = x =  =   = A

Jika A sebuah matriks persegi maka terdapat invers perkalian dari matriks A yang dilambangkan dengan A  1 dan memenuhi sifat:

 a Untuk matriks ordo (2 x 2), invers dari matriks A = b  dapat ditentukan sebagai  c d 

berikut :

 Misalkan 1 A = maka A x A = I

Sehingga : ap + br = 1 ........................................................................................... (1) cp + dr = 0 ........................................................................................... (2) aq + bs = 0 ............................................................................................ (3) cq + ds = 1 ............................................................................................ (4)

Dari (1)(2) ap + br = 1 (d) adp + bdr = d cp + dr = 0 (b) bcp + bdr = 0

adp – bcp = d

d (ad – bc) p = d jadi p = ad  bc

Matriks 3 1

Dari (1)(2) ap + br = 1 (c) acp + bcr = c cp + dr = 0 (a) acp + adr = 0

bcr – adr = c adr – bcr = –c

 c (ad – bc) r = –c jadi r =

ad  bc Dari (3)(4) aq + bs = 0 (d) adq + bds = 0 cq + ds = 1 (b) bcq + bds = b

adq – bcq = –b

 b (ad – bc) q = –b jadi q =

ad  bc Dari (3)(4) aq + bs = 0 (c) acq + bcs = 0 cq + ds = 1 (a) acq + ads = a

bcs – ads = –a ads – bcs = a

a (ad – bc) s = a jadi s = ad  bc

ad 1 = b  bc ad  bc     =

Jadi : A  1

 ad  bc ad  bc   1 1  d  b maka invers dari A dirumuskan  A =

ad  bc   c a 

dimana ad – bc dinamakan determinan. Jika matriks A mempunyai determinan 0 maka A dikatakan matriks singular, yaitu matriks yang tidak mempunyai invers.

Terdapat beberapa sifat yang berkenaan dengan invers matriks, yaitu :

Sifat 1

Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) dan k adalah bilangan real, maka  1 1  ( 1 k . A )  A

Bukti

 a b  ka kb Misalkan A =  , maka k.A = k  =

 1 1  kd  k ( b k . A ) Sehingga  = (ka)(kd)  ( kb )( k c)   k c ka 

  c a 

k 2 (ad  bc)

k (ad  bc)   c a 

Matriks 3 2

Sifat 2

( A Jika A adalah transpose matriks A maka berlaku t )  1 ( A  1 )  t

Bukti  a b 

t  1 1  d  c  Jika A =

c d 

, maka A =

sehingga ( A )

 b d =

….....(1)  ad  bc   b a 

sehingga ( A  )

ad  bc   c a  = ad  bc   b a 

 1 Dari (1) dan (2) terbukti bahwa 1 ( A t )  ( A  ) t

Sifat 2

 1 Jika A adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku 1 ( A )  = A

Bukti  1  Misalkan : 1 ( A ) = B .......................................................................................... (1)

 Maka 1 A ( A ) = A . B (kedua ruas dikalikan dengan A dari kiri)

 A 1 .B I =

A x I = A x 1 A  . B (Kedua ruas dikalikan dengan A)

A = B .......................................................................................... (2)

 1  Dari (1) dan (2) terbukti bahwa 1 ( A ) = A

Sifat 3

Jika A dan B adalah matriks berordo (2 x 2) maka berlaku : 1 ( )   1 Ax 1 B  B x A  Bukti

Misalkan 1 ( Ax B )  = C ………………………………………………………………(1)

maka

( ( Ax B )  1 1 ) 1  = C 

(kedua ruas di inverskan)

AxB = 1 C 

 1  A 1 x A x B = A x C  1  (Kedua ruas dikalikan dengan 1 A dari kiri)

x C  x C (Kedua ruas dikalikan dengan C dari kanan)

(Kedua ruas dikalikan dengan B  dari kiri)

B C =  1 x 1 A  ……………………………………………..………….. (2)

1 1 Dari (1) dan (2) diperoleh : 1 ( Ax B )   

Matriks 3 3

Sifat 4

Jika A, B dan C adalah matriks-matriks berordo (2 x 2) maka : (1) Tidak berlaku sifat komutatif perkalian, sehingga A x B ≠ B x A

(2) Berlaku sifat asosiatif perkalian, sehingga : (A x B) x C = A x (B x C) (3) Berlaku sifat distributif, sehingga A(B + C) = AB + AC

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut ini

01. Jika A =  2 5 

dan B = 

 maka buktikanlah bahwa matriks A dan B saling

 - 1 2 

invers Jawab Jika A dan B saling invers, maka akan berlaku A x B = I

Tinjau : A x B =  2 5  x  3 - 5 

= I Jadi terbukti bahwa A dan B saling invers

02. Tentukan invers setiap matriks berikut ini :

 1 1 1   3 4 maka  B = .

16 ( 2 )(  3 )  (  4 )( 1 )   1 2   1 1 1   3 4 B  = .

Matriks 3 4

 3 03. Jika A = 2  dan B = 1 , maka tentukanalah hasil dari ( A x B )   xA

04. Jika matriks A =  merupakan matriks singular maka tentukanlah nilai x

3 x  2 

Jawab Jika A matriks singular maka det (A) = 0 Sehingga : det(A) = (x – 4)(x – 2) – (6 – x)3 = 0

x 2 – 2x – 4x + 8 – 18 + 3x = 0 x 2 – 3x – 10 = 0 (x – 5)(x + 2) = 0

Jadi x = –2 dan x = 5

Matriks 3 5

  1 x  05. Jika matriks A = y adalah invers dari matriks B =  maka

 2 x  1 5 / 2  tentukanlah nilai x dan y Jawab

Maka : 2x + 1 = –3

x+y=1

2x = –4

–2 + y = 1

x= –2

Matriks 3 6

MATRIKS 3

B. Invers Perkalian Matriks ordo (3 x 3)

Seperti yang telah diuraikan di atas, bahwa setiap matriks persegi mempunyai identitas perkalian (dilambangkan dengan I ) dan invers perkalian, sehingga berlaku :

 1  Jika 1 A adalah invers dari matriks A, maka A x A = A x A = I

Selanjutnya akan dibahas tentang matriks identitas dan invers perkalian matriks persegi ordo (3 x 3).

 1 0 0  Matriks identitas perkalian ordo (3 x 3) adalah I =  0 1 0  Sedangkan untuk

menentukan invers perkalian matriks (3 x 3) dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu :

(1) Dengan metoda mereduksi elemen baris.

Untuk menentukan invers matriks dengan metoda ini, dilakukan dengan cara :

Jika A =  d e f  maka invers matriks A didapat dengan cara mereduksi elemen 

baris matriks A, sehingga :

d e f 0 1 0 diubah menjadi

dalam hal ini A =  s t u 

Terdapat beberapa aturan dalam reduksi elemen baris, yaitu : (1) Setiap elemen baris dapat dikali (atau dibagi) dengan bilangan real (2) Setiap elemen baris dapat ditambah (atau dikurang) dengan elemen baris yang

lain (3) Setiap elemen baris dapat ditukar posisi dengan baris lain

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

Matriks 3 1

01. Tentukanlah invers matriks A =  2  3 2 

Jawab

1 –2 1 1 0 0 b 1 x2

2 –3 2 0 1 0 b 2 – b 1

–2 1 0 b 2 x5

0 5 0 –10 5 0 b 2 x5

1 –2 1 1 0 0 b 1 :2

b 2 :5

1 –2 0 11 –5 –1 b 1 – b 3

Matriks 3 2

 7  3  1  maka A  1 =  c d 0  =   2 1 0 

   10 e f  

02. Tentukanlah invers matriks A =  2 1 0 

Jawab

b 1 x5

b 3 x3

b 2 x4

Matriks 3 3

1 b x4

b 3 :3

0 –2 5 20 –16 13 b 3 + b 1

–2 0 0 10 –8 6 b 1 :2

b 2 :4

b 2 x2

–5 4 –3 b 1 :( –2)

b 2 :2

b 3 :5

Matriks 3 4 Matriks 3 4

=  c d 6  =  10 7 6 

(2) Dengan menggunakan Minor-Kofaktor

Menentukan invers matriks dengan Minor-kofaktor ini, dilakukan dengan menggunakan konsep determinan (dilambangkan dengan det) dan konsep adjoint (dilambangkan dengan adj).

 a 1 b 1 c 1  Misalkan A =  a 2 b 2 c 2  maka langkah-langkah menentukan invers matriks

dengan metoda ini adalah sebagai berikut :

1. Menentukan minor matriks A untuk baris p dan kolom q (M pq )

2. Menentukan kofaktor matriks A Kofaktor matriks A baris ke-p kolam ke-q dilambangkan C pq ditentukan dengan rumus :

M pq

pq

Sehingga diperoleh matriks kofaktor C sebagai berikut :

 C 11 C 12 C 13 

23    C

C= C 22 C 22 C

 31 C 32 C 33

Matriks 3 5

3. Menentukan determinan matriks A Determinan matriks A ditulis det(A) atau │A│ ditentukan dengan rumus:

det(A) = a 2 b 2 c 2 = a 1 .b 2 .c 3 + b 1 .c 2 .a 3 +c 1 .a 2 .b 3 –c 1 .b 2 .a 3 –a 1 .c 2 .b 3 –b 1 .a 2 .c 3

a 3 b 3 c 3 atau dengan menggunakan kofaktor C pq dengan rumus : det(A) = a 1 C 11 –b 1 C 12 +c 1 C 13 det(A) = a 2 C 21 –b 2 C 22 +c 2 C 23 det(A) = a 3 C 31 –b 3 C 32 +c 3 C 33

4. Menentukan matriks adjoint A, yakni transpose dari kofaktor matriks A, atau dirumuskan :

Adj A = t C

5. Menentukan invers matriks A dengan rumus :

adj A

det(A)

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :

03. Tentukanlah Determinan matriks A =   1 2 3 

04. Dengan menggunakan kofaktor, tentukanlah invers matriks A =  2 3 1   

Jawab Langkah 1 (menentukan minor matriks)

Matriks 3 6

Langkah 2 (menentukan kofaktor matriks)

11 = (  1 )  M 11 = (1)( –8) = –8

C 12 = (  1 )

M 12 = ( –1)(5) = –5

M 13 = (1)(1) = 1

C 21 = (  1 )

M 21 = ( –1)(–10) = 10

M 23 = ( –1)(1) = –1

31 = (  1 )  M 31 = (1)(1) = 1

M 32 = ( –1)(3) = –3

33 = (  1 )  M 33 = (1)( 1) = 1

Matriks 3 7

  8  5 1  Matriks kofaktornya : C =  10 6  1 

Langkah 3 (menentukan Determinan matriks) Menggunakan ekspansi baris pertama

det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = (3)( –8) + (–5)(–5) + (0)(1) = 1

Langkah 4 (menentukan Adjoint matriks)

  8 10 1  Matiks kofaktor C =  10 6  1  adjoin nya adj(A) =   5 6  3 

Langkah 4 (menentukan Invers matriks)

adj(A)

det(A)

  8 10 1   1 A 1 =   5 6  3 

  8 10 1 

05. Dengan menggunakan kofaktor, tentukanlah invers matriks A =  2 3 1   

Jawab

Langkah 1 (menentukan minor matriks)

2 1 M 11 =

= (2)(1) – (1)(3) = 2 – 3 = –1

1 1 M 12 =

= (1)(1) – (1)( 1) = 1 – 1 = 0

Matriks 3 8

Langkah 2 (menentukan kofaktor matriks)

  1 0 1  Matriks kofaktornya : C =  6 2 0 

Matriks 3 9

Langkah 3 (menentukan Determinan matriks) Menggunakan ekspansi baris pertama

det(A) = a 11 11 C + a 12 C 12 + a 13 13 C = (1)( –1) + (3)(0) + (3)(1) = –1 + 0 + 3 = 2

Langkah 4 (menentukan Adjoint matriks)

  1 6  3  Matiks kofaktor C =  6 2 0  adjoin nya adj(A) =  0 2 2 

Langkah 4 (menentukan Invers matriks)

adj(A)

det(A)

Matriks 3 10

MATRIKS 4

A. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Salah satu diantara penggunaan invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Tentu saja teknik penyelesaiannya dengan aturan persamaan matriks, yaitu :

a 1 x+b 1 y=c 1

Jika maka 

Selain dengan persamaan matriks, teknik menyelesaikan sistem persamaan linier juga dapat dilakukan dengan determinan matriks. Aturan dengan cara ini adalah :

 a b Jika matriks A = a  b maka det(A) = = ad  – bc. sehingga

c d 

a 1 x+b 1 y=c 1 a 1 b 1

Jika maka D = a 2 x+b 2 y=c 2 = a 1 b 2  b

Maka x =

dan y =

Untuk lebih jelanya, ikutolah contoh soal berikut ini:

01. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x – 3y = 8 dan x + 2y = –3 dengan metoda:

(a) Invers matriks

(b) Determinan

Jawab 2x – 3y = 8

(a) Dengan metoda invers matriks diperoleh  2  3   x 

1 2   y 

Matriks 4 1

Jadi x = 1 dan y = –2 (b) Dengan metoda determinan matriks diperoleh

Maka x =

02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan y = x + 5 dan x + 6 = y 2 3

dengan metoda: (a) Invers matriks

(b) Determinan

2 x+6= 2 y (3)

3x – 2y = –18 Maka

D = =( –1)(–2) – (2)(3) = 2 – 6 = –4 3  2

Matriks 4 2

Maka x =

03. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan 2y – 3x = –4 dan 2x + y = 5 dengan metoda:

(a) Invers matriks (b) Determinan

Jawab 2y – 3x = –4 3x – 2y = 4

 x + 2y = –3 2x + y = 5

 5  (b) Dengan metoda invers matriks diperoleh

Jadi x = 2 dan y = 1 (b) Dengan metoda determinan matriks diperoleh

Matriks 4 3

Maka x =

Matriks 4 4

MATRIKS 4

B. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel

Salah satu diantara penggunaan matriks adalah untuk menyelesaikan sistim persamaan linier. Sepeti halnya pada sistem persamaan linier dua variabel, menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan matriks juga terdiri dari dua cara, yakni dengan menggunakan determinan matriks dan dengan menggunakan aturan invers perkalian matriks. Berikut ini akan diuraikan masing masing cara tersebut.

(1) Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan determinan matriks Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara ini adalah dengan

menentukan terlebih dahulu matriks koefisien dari sistem persamaan itu. Selanjutnya ditentukan empat nilai determinan sebagai berikut: (1) D yakni determinan matriks koefisien (2) D x yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien x diganti konstanta (3) D y yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien y diganti konstanta (4) D z yakni determinan matriks koefisien dengan koefisien z diganti konstanta

Rumus masing-masingnya adalah sebagai berikut :

1 a x+b 1 y+c 1 z=d 1 Jika a 2 x+b 2 y+c 2 z =d 2 diperoleh nilai determinan :

Sehingga nilai x =

, y=

dan z =

Matriks 4 1

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier 2x – 3y + 2z = –3 x + 2y + z = 2 dengan menggunakan metoda determinan 2x – y + 3z = 1

D x = ( –3)(2)(3) + (–3)(1)(1) + (2)(2)(–1) – (2)(2)(1) – (–3)(1)(–1) – (–3)(2)(3)

D x = –18 – 3 – 4 – 4 – 3 + 18

D x = –14

D y = (2)(2)(3) + ( –3)(1)(2) + (2)(1)(1) – (2)(2)(2) – (2)(1)(1) – (–3)(1)(3)

D y = 12 –6+2–8–2+9

D z = (2)(2)(1) + ( –3)(2)(2) + (–3)(1)(–1) – (–3)(2)(2) – (2)(2)(–1) – (–3)(1)(1)

Jadi x =

y=

z=

Matriks 4 2

02. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier x + 2y + z = 2 x – y – 2z = –1 dengan menggunakan metoda determinan x+ y – z = 3

D x = (2)( –1)(–1) + (2)(–2)(3) + (1)(–1)(1) – (1)( –1)(3) – (2)(–2)(1) – (2)(–1)(–1)

D x = 2 – 12 – 1 + 3 + 4 – 2

D x = –6

D y = (1)( –1)(–1) + (2)(–2)(1) + (1)(1)(3) – (1)(–1)(1) – (1)(–2)(3) – (2)(1)(–1)

D y = 1 –4+3+1+6+2

D z = (1)( –1)(3) + (2)(–1)(1) + (2)(1)(1) – (2)(–1)(1) – (1)(–1)(1) – (2)(1)(3)

D z = –3 – 2 + 2 + 2 + 1 – 6

D z = –6

Jadi x =

y=

z=

Matriks 4 3

03. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier x – 2y = –3 y + z = 1 dengan menggunakan metoda determinan 2x + z = 1

D x = ( –3)(1)(1) + (–2)(1)(1) + (0)(1)(0) – (0)(1)(1) – (–3)(1)(0) – (–2)(1)(1)

D x = ( –3) + (–2) + (0) – (0) – (0) – (–2)

D x = –3 – 2 + 0 – 0 – 0 + 2

D x = –3

D y = (1)(1)(1) + ( –3)(1)(2) + (0)(0)(1) – (0)(1)(2) – (1)(1)(1) – (–3)(0)(1)

D y = ( 1) + ( –6) + (0) – (0) – (1) – (0)

D y = 1 –6+0+0–1–0

D y = –6

D z = (1)(1)(1) + ( –2)(1)(2) + (–3)(0)(0) – (–3)(1)(2) – (1)(1)(0) – (–2)(0)(1)

D z = (1) + ( –4) + (0) – (–6) – (0) – (0)

D z = 1 –4+0+6–0–0

D x  3 Jadi x =

D y  6 y=

3 z=

Matriks 4 4

(2) Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan invers matriks

Aturan menyelesaikan sistem persamaan linier dengan cara ini adalah dengan menentukan invers matriks koefisien melalui tahapan berikut ini :

1 a x+b 1 y+c 1 z=d 1 Jika a 2 x+b 2 y+c 2 z =d 2 diperoleh persamaan matriks

3 x+b a 3 y+c 3 z =d 3  a 1 b 1 c 1   x   d 1 

A 1  B = . C Karena A adalah matriks koefisien berordo (3 x 3) maka 1 A 

adalah invers perkalian matriks berordo (3 x 3). Berikut ini tatacara menentukan invers matriks ordo (3 x 3)

 a 1 b 1 c 1  Misalkan A =  a 2 b 2 c 2  maka langkah-langkah menentukan invers matriks

adalah sebagai berikut :

1. Menentukan minor matriks A untuk baris p dan kolom q (M pq )

2. Menentukan kofaktor matriks A Kofaktor matriks A baris ke-p kolam ke-q dilambangkan C pq ditentukan dengan rumus :

pq = (  1 )  M pq

Matriks 4 5

Sehingga diperoleh matriks kofaktor C sebagai berikut :

 C 11 C 12 C 13  C=  C 

 22 C 22 C 23    C 31 C 32 C 33  

3. Menentukan determinan matriks A Determinan matriks A ditulis ditentukan dengan menggunakan kofaktor C pq

dengan rumus : det(A) = a 1 C 11 –b 1 C 12 +c 1 C 13 det(A) = a 2 C 21 –b 2 C 22 +c 2 C 23 det(A) = a 3 C 31 –b 3 C 32 +c 3 C 33

4. Menentukan matriks adjoint A, yakni transpose dari kofaktor matriks A, atau dirumuskan :

Adj A = t C

5. Menentukan invers matriks A dengan rumus :

adj A

det(A)

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

04. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier x+ y

– 2z = 2 x – 3y + z = –3 dengan menggunakan metoda inver matriks

x – y+ z = 1 Jawab

Matriks koefisien untuk sistem persamaan linier diataas adalah :

 1 1  2  A=  1  3 1  sehingga

Pertama akan ditentukan minor matriks, yaitu

M 11 =

M 12 =

M 13 =

M 21 =

Matriks 4 6

Kemudian menentukan kofaktor matriks

  2 0 2  Matriks kofaktornya : C =  1 3 2 

Setelah itu menentukan Determinan matriks menggunakan ekspansi baris pertama

det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = ( –2)(1) + (0)(1) + (2)(–2) = –6

Matriks 4 7

Berikutnya menentukan Adjoint matriks dari matriks kofaktor

  2 1  5  Jika kofaktor C =  1 3 2  maka adjoinnya adj(A) =  0 3  3 

  2 2  4   Akhirnya dimasukkan kedalam rumus invers matriks:

 1 A 1 = adj(A) diperoleh

det(A)

Setelah mendapatkan invers matriks, maka system persamaan linier diatas dielesaikan dengan persamaan matriks sebagai berikut :

  12 

  12 

Jadi diperoleh nilai x = 2, y = 2 dan z = –1

05. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier 2x + 2y + 3z = 4

–x + y + 3z = 1 dengan menggunakan metoda inver matriks –2x + y + 2z = –3

Jawab Matriks koefisien untuk sistem persamaan linier diataas adalah :

 2 2 3  A=  1 1 3   sehingga

Pertama akan ditentukan minor matriks, yaitu

1 3 M 11 =

= (1)(2) – (1)(3) = 2 – 3 = –1

Matriks 4 8

Kemudian menentukan kofaktor matriks

12 = (  1 )  M 12 = ( –1)(4) = –4

22 = (  1 )  M 22 = (1)(10) = 10

M 23 = ( –1)(6) = –6

M 31 = (1)(3) = 3

C 32 = (  1 )

M 32 = ( –1)(9) = –9

M 33 = (1)(4) = 4

Matriks 4 9

Matriks kofaktornya : C = 

Setelah itu menentukan Determinan matriks menggunakan ekspansi baris pertama

det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = (2)( –1) + (2)(–4) + (3)(1) = –7

Berikutnya menentukan Adjoint matriks dari matriks kofaktor

Jika kofaktor C =  1 10 6 

maka adjoinnya adj(A) =  4 10    9

  1  6 4   Akhirnya dimasukkan kedalam rumus invers matriks:

adj(A) diperoleh

det(A)

Setelah mendapatkan invers matriks, maka system persamaan linier diatas dielesaikan dengan persamaan matriks sebagai berikut :

Jadi diperoleh nilai x = 2, y = –3 dan z = 2

Matriks 4 10

06. Tentukanlah himpunan penyelesaian sistem persamaan linier 2x

– 2y – z = 3

3x + y + 2z = 7 dengan menggunakan metoda inver matriks 2x + 3y + 4z = 8

Jawab Matriks koefisien untuk sistem persamaan linier diataas adalah :

 2  2  1  A=  3 1 2  sehingga

Pertama akan ditentukan minor matriks, yaitu

Kemudian menentukan kofaktor matriks

11 = (  1 )  M 11 = (1)( –2) = –2

M 13 = (1)(7) = 7

Matriks 4 11

  2  8 7  Matriks kofaktornya : C =  5 10  10 

Setelah itu menentukan Determinan matriks menggunakan ekspansi baris pertama

det(A) = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = ( –2)(2) + (–8)(–2) + (7)(–1) = 5

Berikutnya menentukan Adjoint matriks dari matriks kofaktor

  2 5  3  Jika kofaktor C =  5 10  10  maka adjoinnya adj(A) =   8 10  7 

  7  10 8   Akhirnya dimasukkan kedalam rumus invers matriks:

  2 5  3   1 1 1 A 1 = adj(A) diperoleh A  =   8 10  7 

det(A)

Setelah mendapatkan invers matriks, maka system persamaan linier diatas dielesaikan dengan persamaan matriks sebagai berikut :

Matriks 4 12

Jadi diperoleh nilai x = 1, y = –2 dan z = 3

Matriks 4 13

MATRIKS 4

C. Penerapan Matriks pada Transformasi

1. Transformasi Pergeseran (Translasi)

C' Segitiga ABC pada gambar di

samping digeser menjadi segitiga

A’B’C’. Artinya setiap titik pada A'

B' segitiga ABC tersebut digeser

dengan jarak dan arah yang tetap sehingga diperoleh segitiga

B x A’B’C’.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan pergeseran atau translasi. Sebuah titik P(x,y) digeser sejauh T =  a  maka akan diperoleh bayangan P’(x’,y’),

b  

dan dirumuskan

x’ = x + a y’ = y + b

x ' Atau :

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Diketahui dua titik A( –2, 3) dan B(5, 1). Tentukanlah bayangan ruas garis AB

jika ditranslasikan sejauh T =

dan gambarkan

Jawab A( –2, 3)

A’(1, 7) B(5, 1)

A’(–2 + 3, 3 + 4)

B’(8, 5) Atau dengan matriks

B’(5 + 3, 1 + 4)

 5   3  Titik A :

Titik B :

Translasi diatas dapat digambarkan sebagai berikut :

Transformasi 1 Transformasi 1

A(  2,3)

B( 5 ,1) x O

02. Diketahui titik A(3, - 5) digeser sehingga diperoleh bayangan A’(7, 2). Dengan

translasi yang sama titik B(-4, - 8) akan bergeser menjadi B’. Tentukan koordinat B’

Jawab  7 

Titik A :

Titik B :

Jadi koordinat titik B’(0, –1)

2. Transformasi Perputaran (Rotasi)

C'

Segitiga ABC pada gambar berikut ini diputar dengan pusat putaran di O(0, 0) dan sudut putar sejauh α ,

B' sehingga menjadi segitiga A’B’C’.

A'

Artinya setiap titik pada segitiga ABC

C tersebut diputar denganpusat dan

sudut putar yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.

B Transformasi yang berciri demikian dinamakan perputaran atau rotasi.

Transformasi 2

Untuk α positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Sedangkan untuk α negatif, maka perputarannya searah jarum jam

Sebuah titik P(x,y) diputar dengan pusat O(0, 0) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana : x’ = x.cos α – y.sin α

y’ = x.sin α + y.cos α  x '   cos   sin    x 

Atau :

=  y '   sin  cos    y  Bukti:

P' (x' , y' )

D P(x, y)

Didalam segitiga OAP diperoleh hubungan : OA = OP cos  atau x = r.cos 

atau y = r.sin  Di dalam segitiga OBP diperoleh hubungan

AP = OP sin 

(i) OB = OP cos (  + α) x' = r. cos (  + α) x' = r cos  . cos α – r sin  . sin α x' = x cos α – y sinα

(ii) BP = OP sin (  + α) y' = r. sin (  + α) y' = r sin  . cos α + r cos  . sin α y' = y cos α + x sin α

Walaupun rumus di atas diturunkan dengan mengambil α sudut positip, tetapi dapat ditunjukkan bahwa berlaku untuk semua α (α positip atau α negatif)

Jika pusat putaran di A(h, k) dan sudut putaran sejauh α , maka rumus menentukan  h 

bayangannya dapat diturunkan dengan menggeser titik pusat O(0, 0) sejauh  k 

Sehingga jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(h, k) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana : x’– h = (x – h)cos α – (y – k)sin α

y’– k = (x – h) sin α + (y – k)cos α

 x '   cos   sin    x h   h Atau :  = +

 y '   sin  cos  

Transformasi 3

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

03. Diketahui segitiga ABC dimana titik A(6, 2), B(1, 3) dan C(4, 6) diputar sejauh 90 0 dengan pusat O(0, 0). Tentukanlah koordinat titik bayangan segitiga tersebut

Jawab  x ' A x ' B x '

y ' A y ' B y ' C  6 1  4   Jadi titiknya A’(–2, 6) , B’(–3, 1) dan C’(–6, 4) Gambarnya

04. Sebuah titik A(x, y) dirotasikan dengan pusat O(0, 0) sejauh 45 0 , sehingga diperoleh

bayangan A’(2 2 ,6 2 ). Tentukanlah koordinat titik A

Jawab

Bayangan titik A(x, y) adalah A’(2 0 2 ,6 2 ) dengan α = 45

12   1 1   y  Transformasi 4

 Jadi A(8, 4)

4   y 

05. Tentukan bayangan titik P(4, –6 3 ) jika diputara sejauh 1/3 putaran berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0) …. Jawab

α Bernilai positip karena perputaran berlawanan arah jarum jam

0 Maka x’ = x.cos 120 0

– y.sin 120

x’ = (4).cos 120 0

0 y’ = x.sin 120 0

+ y.cos 120

0 y’ = (4).sin 120 0

y’ = 3 2 + 3 3 y’ = 3 5 Jadi titiknya P’(–7, 3 5 )

06. Jika titik P(5,-7) dirotasikan sejauh 180 0 dengan pusat A(3, 1) sehingga diperoleh bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’

Jawab Diketahui P(5, –7)

Pusat A(3, 1) α = 180 0

0 Maka x’– h = (x – h)cos 180 0

– (y – k)sin 180

0 x’– 3 = (5 – 3)cos 180 0

x’ = 1 Transformasi 5 x’ = 1 Transformasi 5

Jadi titiknya P’(1, 9)

3. Transformasi Pencerminan (Refleksi)

Segitiga ABC pada gambar di

C C' samping dicerminkan terhadap garis tertentu menjadi segitiga A’B’C’.

Pada pencerminan ini segitiga asal ABC akan berhadapan dengan

B B'

segitiga bayangan A’B’C’.

A A' Transformasi yang berciri demikian

dinamakan pencerminan atau

garis cermin

tranformasi.

Terdapat beberapa macam jenis pencerminan, tergantung pada posisi garis cerminnya, yaitu:

a. Pencerminan terhadap sumbu x Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap

sumbu X, maka dirumuskan : x’ = x

. y’ = –y P(5, 2)

  x   y '   0 1   y 

Atau :

Misalkan titik P(5, 2) dicerminkan

. terhadap sumbu X, maka bayangannya P ’(5, -2) adalah P’(5, -2)

b. Pencerminan terhadap sumbu Y Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap

sumbu Y, maka dirumuskan : x’ = –x y’ = y

P(-4, 3)

P’(4, 3)

Misalkan titik P(-4, 3) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah P’(4, 3)

Transformasi 6 Transformasi 6

y’ = x

Atau :   = 

. P ’(2, 4)

   y=x

 y '   1 0   y 

Misalkan titik P(4, 2) dicerminkan P(4, 2) .

terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah P’(2, 5)

d. Pencerminan terhadap garis y = –x Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = –x, maka dirumuskan : x’ = –y

y’ = –x P ’(-3, 6) y = -x 

  0  1 = x     y '    1 0   y 

Atau :

Misalkan titik P(-6, 3) dicerminkan P(-6, 3)

terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah P’(-3, 6)

i. Pencerminan terhadap titik asal Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap

titik O(0, 0) maka dirumuskan : x’ = –x

y’ = –y P(-5, 3) .

atau = 

y '   0  1   y 

. P ’(5, -

Misalkan titik P( –5, 3) dicerminkan 3) terhadap y = x + 4, maka

bayangannya adalah P’(5, –3)

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Diketahui titik A( –5, 1) dan B(–2, 6). Tentukanlah bayangan ruas garis AB oleh

refleksi terhadap sumbu-Y dan gambarkan Jawab A( –5, 1) bayangannya A’(5, 1) B( –2, 6) bayangannya B’(2, 6)

 x ' A x ' B   1 0    5  2 

Dengan matriks : 

Transformasi 7

Jadi bayangannya adalah A’(5, 1) dan B’(2, 6) Gambarnya :

B B'

A A' x

4. Transformasi Perkalian (Dilatasi)

A'

Sebuah garis AB seperti pada gambar di samping didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala 2 sehingga

didapat bayangan garis A’B’. Pada dilatasi ini garis A’B’, panjangnya B'

menjadi dua kali panjang garis AB.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan perkalian atau dilatasi. Sebuah titik P(x, y) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala k akan menghasilkan

bayangan P’(x’, y’) dimana : x’ = k.x y’ = k.y

 x Atau : '   k 0  = x 

   y '   0 k   y 

Sedangkan jika titik P(x, y) didilatasi dengan pusat A(m, n) dan skala k akan menghasilkan bayangan P’(x’, y’) dimana : x’ = k(x – m) + m

y’ = k(y – n) + n

 x '   k 0   x  m   m atau  = y '

Rumus di atas didapat dengan melakukan pergeseran titik pusat dari titik A(m, n) ke titik O(0, 0) dan kembali ke A(m, n)

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini Transformasi 8

04. Tentukanlah bayangan garis AB jika titik A(2, 5) dan B(6, 1) diperbesar dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 2 serta gambarkan

Jawab

A( 2, 5) bayangannya A’(4, 10) B( 6, 1) bayangannya B’(12, 2)

A'

Dengan matriks :

x Jadi bayangannya adalah A’(4, 10) dan B’(12, 1) O

05. Tentukanlah bayangan segitiga ABC jika titik A( –1, 4), B(4, 2) dan C(2, 5) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala –2 serta gambarkan

Jawab A( –1, 4) bayangannya A’(2, –8) B(4 , 2) bayangannya B’(–8, –4) C(2, 5) bayangannya C’(–4, –10)

Dengan matriks :

Jadi bayangannya adalah A’(2, –8) dan B’(–8, –4), C’(–4, –10)

Gambarnya:

Transformasi 9

06. Jika titik P(9, –6) didilatasi dengan skala k dan pusat O(0, 0) sehingga diperoleh bayangan P’(a, 4) maka tentukanlah nilai a

Jawab Misalkan P’(a, 4) adalah bayangan titik P(9, –6) oleh dilatasi dengan pusat O(0, 0)

dan skala k Maka : x’ = kx

y’ = ky

4 = k( –6) k= –2/3 ……………………………… (2) Dari (1) dan (2) diperoleh : a = 9( –2/3)

a = 9k………………… (1)

a = –6

07. Titik P(2, -5) diperbesar dengan skala -3 dan pusat A(1, 3) sehingga didapat

bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’ Jawab Misalkan P’(x’, y’) adalah bayangan titik P(2, –5) oleh dilatasi dengan pusat A(1, 3) dan skala –3 dimana : x’ = k(x – m) + m

Jadi titik bayangannya P’(–2, 27)

Transformasi 10

BARISAN DAN DERET 3

B. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk

Salah satu apliksai barisan dan deret pada bidang ekonomi adalah pada perhitungan bunga pada simpanan uang di bank atau koperasi atau lembaga lain sejenisnya. Terdapat dua macam jenis bunga pada simpanan, yaitu :

(1) Bunga Tunggal (Barisan Aritmatika) Yaitu metoda pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan modal pokok pinjaman atau modal awal simpanan saja. Rumus bunga tunggal : M n =M o (1 + in) Dimana : M n = Nilai modal simpanan periode ke-n

M o = Nilai modal awal simpanan

i = Persentase bunga simpanan n = Periode pembungaan (2) Bunga Majemuk (Barisan geometri) Yaitu metoda pemberian imbalan jasa bunga simpanan yang dihitung berdasarkan besar modal atau simpanan pada periode bunga berjalan Rumus bunga majemukl : M n

n =M o (1  i)

Dimana : M n = Nilai modal simpanan setelah periode ke-n M o = Nilai modal awal simpanan

i = Persentase bunga simpanan n = Periode pembungaan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Pak Ahmad memerlukan tambahan modal untuk usahanya berdagang makanan, sehingga ia meminjam uang dikoperasi “Maju Jaya” sebesar Rp. 4.000.000

dengan imbalan jasa berupa bunga sebesar 2% dari pokok pinjaman per bulan. Jika pak Ahmad akan melunasi pinjaman itu beserta bunganya setelah 6 bulan, maka tentukanlah total pengembalian pak Ahmad Jawab Diketahui : M o = 40.000.000

i = 2% = 0,02 n=6

maka M n =M o (1 + in)

M 6 = 40.000.000(1 + 0,02(6)) M 6 = 40.000.000(1,12) M 6 = 4.480.000

Jadi total pengembalian pak Ahmad adalah Rp. 4.480.000

02. Tina menginvestasikan uangnya di koperasi “Bangun bersama” sebesar Rp. 2.000.000. Dengan sistem bunga tunggal sebesar 2% per-bulan, berapakah besar modal Tina setelah 1,5 tahun ? Jawab Diketahui : M o = 2.000.000

i = 2% = 0,02 n = 1,5 tahun = 18 bulan

maka M n =M o (1 + in) M = 2.000.000(1 + 0,02(18)) 18

M = 2.000.000(1 + 0,36) 18 M = 2.000.000(1,36) 18 M = 2.720.000 18

Jadi besar modal Tina setelah 1,5 tahun adalah Rp. 2.720.000

03. Arman menabung sejumlah uang disebuah bank. Jenis tabungan yang dipilih Arman adalah tabungan dengan sistem bunga tunggal sebesar 3% per caturwulan. Jika setelah 3 tahun tabungan Arman menjadi Rp. 25.400.000 maka tentukanlah besar tabungan awal Arman di bank itu Jawab Diketahui : M n = 25.400.000

4 bulan 4 bulan

maka M n =M o (1 + in) 25.400.000 = M o (1 + 0,03(9)) 25.400.000 = M o (1 + 0,27) 25.400.000 = M o (1,27)

1,27 M 0 = 20.000.000

Jadi besar tabungan awal Arman di bank itu adalah Rp. 20.000.000

04. Pak Budi menabung sebesar Rp. 8.000.000 di suatu bank. Jika bank memberlakukan sistem bunga tunggal sebesar 3% setiap triwulan, maka setelah berapa lamakah uang tabungan pak Budi menjadi Rp. 10.400.000 Jawab Diketahui : M o = 8.000.000

i = 3% = 0,03 M n = 10.400.000 i = 3% = 0,03 M n = 10.400.000

n = 10 sehingga n = 10 triwulan = (10x3) bulan = 30 bulan = 2,5 tahun

05. Pak Mulyo adalah seorang pengusaha batik. Ia menyimpan uangnya sebesar Rp. 100.000.000 di sebuah bank. Bank tersebut memberikan bunga tabungan dengan sistem bunga majemuk sebesar 1,2% per bulan. Berapakah besarnya tabungan pak Mulyo setelah 5 bulan ? Jawab Diketahui : M o = 100.000.000

i = 1,2% = 0,12 n=5

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n

M 10 = 100.000.000.(1,762) M 10 = 176.200.000

02. La Ode Ahdan, seorang mahasiswa dari Sulawesi Tenggara, menginvestasikan uangnya sebesar Rp. 200.000.000 di salah satu bank. Andaikan pihak bank memberikan bunga majemuk sebesar 4% per-semester, berapa besar modal investasi itu setelah 2 tahun ? Jawab Diketahui : M o = 200.000.000

i = 4% = 0,04 n = 2 tahun = 4 semester

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n

M 4 = 200.000.000.(1,169) M 4 = 233.800.000

03. Santi menyimpan uangnya di sebuah bank sebesar Rp. 2.000.000. Setelah tiga

tahun uang tabungan Santi menjadi Rp. 2.662.000. Jika bank tersebut menerapkan sistem bunga majemuk , berapa persenkah per-tahun bunga bank tersebut ? Jawab Diketahui : M o = 2.000.000

M n = 2.662.000 n=3

Ditanya : i = …. ? Jawab M n

n =M o (1  i) 2.662.000 = 2.000.000 3 (1 i  )

2662000 = 3 (1 i  ) 2000000 1,331 = 3 (1 i  )

3 1,1 3 = (1 i  ) Maka : 1 + i = 1,1

i = 1,1 –1

i = 0,1 Jadi i = 10%

BARISAN DAN DERET 3

C. Pertumbuhan dan Peluruhan.

(1) Pertumbuhan yaitu bertambahnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola aritmatika atau geometri. Contoh : (1) Perkembangbiakan bakteri

(2) Pertumbuhan penduduk

(2) Peluruhan yaitu berkurangnya jumlah / nilai suatu objek yang mengikuti pola

aritmatika atau geometri Contoh : (1) Penurunan nilai jual mobil

(2) Penurunan jumlah populasi hewan

Rumus Pertumbuhan aritmatika : M n =M o (1 + pn) atau M n =M o + bn Dimana : M n = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu

M o = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula p = Persentase pertumbuhan

b = Nilai beda pertumbuhan n = jangka waktu pertumbuhan

Rumus Pertumbuhan geometri :

M n n =M o (1  p)

atau M n =M o . r

Dimana : M n = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu M o = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula

i = Persentase pertumbuhan r = Ratio pertumbuhan (r > 1) n = jangka waktu pertumbuhan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

01. Elsa mulai bekerja pada suatu perusahaan pada awal tahun 2005 dengan gaji permulaan sebesar Rp. 3.000.000. Jika dia mendapatkan kenaikan gaji secara berkala setiap tahunnya sebesar Rp. 200.000 maka berapakah gaji yang diterima Elsa pada awal tahun 2011? Jawab Diketahui : M o = 3.000.000

b = 200.000 n=6

Ditanya : M n = …. ?

Jawab

M n =M o + bn

M n = 3.000.000 + 200.000(6) M n = 3.000.000 + 1.200.000 M n = Rp. 4.200.000

02. Suatu koloni bakteri akan membelah menjadi dua setiap lima menit. Jika pada permulaan trdapat 90 bakteri, maka tentukanlah jumlah bakteri setelah setengah jam ? Jawab Diketahui : M o = 90

r =2 n=4

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n

n =M o r

n = 90 x 2

M n = 90 (16) M n = 1440 bakteri

03. Jumlah penduduk suatu kota bertambah menurut pola geometri sebesar 0,1% per bulan. Berarti jika jumlah penduduk kota itu semula 3 juta orang maka pada akhir bulan ke-3 jumlahnya telah menjadi s ekitar … orang Jawab Diketahui : M o = 3.000.000

i = 0,1% = 0,001 n=3

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n

n =M o (1  i) M 3

n = 3.000.000 (1  0,001) M 3

n = 3.000.000 (1,001) M n = 3.000.000(1,003003) M n = 3.009.009 orang

Rumus Peluruhan aritmatika : M n =M o (1 – in) atau M n =M o – bn Dimana : M n = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu

M o = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula p = Persentase peluruhan

b = Nilai beda peluruhan n = jangka waktu peluruhan

Rumus Peluruhan geometri :

M n n =M o (1  p)

atau M n =M o . r

Dimana : M n = Jumlah/Nilai suatu objek setelah n waktu M o = Jumlah/Nilai suatu objek mula-mula

i = Persentase peluruhan r = Ratio peluruhan (r < 1) n = jangka waktu peluruhan

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini :

04. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.200.000.000. Jika setiap tahun harganya mengalami penyusutan 20% dari nilai tahun sebelumnya, maka tentukanlah harga mobil itu setelah dipakai selama 5 tahun Jawab

Diketahui : M o = 200.000.000

i = 20% = 0,2 n=5

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n

n =M o (1  i) M 5

n = 200.000.000 (1  0,2) M 5

n = 200.000.000 (0,8) M n = 200.000.000(0,32768)

M n = 65.536.000

05. Suatu pabrik kendaraan bermotor roda dua mulai memproduksi pertama pada tahun 2010 sebanyak 20.000 unit kendaraan. Tiap tahun produksi pabrik tersebut turun 100 unit. Berapakah jumlah produksi pada tahun 2016? Jawab Diketahui : M o = 20.000

b = 100 n=6

Ditanya : M n = …. ? Jawab

M n =M o – bn

M n = 20.000 – 100(6) M n = 20.000 – 600 M n = 19.400 unit

06. Suatu jenis hewan langka setiap tahun mengalami penurunan jumlah populasi sebanyak 1/3 dari jumlah populasi tahun sebelumnya. Jika pada tahun 2015 diperkirakan jumlah populasi hewan tersebut disuatu pulau sebanyak 720 ekor, maka berapakah perkiraan jumlah hewan itu pada tahun 2019 ? Jawab Diketahui : M o = 360

r = 1/4 n=4

Ditanya : M n = …. ? Jawab

M n n =M o r M 4

n = 360 x (1/3) M n = 360 x (1/81) M n = 14,44 = 14 ekor

07. Dengan pesatnya pembangunan pemukiman, maka daerah pesawahan semakin lama semakin sempit. Menurut data statistik, pada tahun 2003 total areal sawah di daerah itu sekitar 400 ha dan setiap tahun berkurang 5% dari total areal sawah semula . Berapakah diperkirakan areal sawah pada tahun 2015? Jawab Diketahui : M o = 400

i = 5% = 0,05 n = 12

Ditanya : M n = …. ? Jawab M n =M o (1 – in) M n = 400(1 – 0,05x12) M n = 400(1 – 0,6) M n = 400(0,4) M n = 160 ha

BARISAN DAN DERET 3

A. Barisan dan Deret Geometri Tak Hingga

Barisan geometri tak hingga adalah suatu barisan geometri yang mempunyai tak hingga banyaknya suku-suku. Barisan geometri tak hingga dikatakan konvergen jika suku ke tak hingga dari barisan itu menuju ke suatu nilai tertentu. Syaratnya jika nilai rasio terletak antara -1 dan 1. Deret geometri tak hingga yang konvergen ini dapat ditentukan jumlahnya, dengan aturan sebagai berikut : Jika -1< r < 1 maka jumlah sampai takhingga suku-sukunya (n = ) diperoleh :

Untuk lebih memantapkan pemahaman konsep di atas ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Suatu deret geometri diketahui suku pertamanya 4. Jika jumlah tak hingga suku- suku deret geometri itu adalah 12, tentukanlah rasionya ! Jawab a=4

S  = 12

Maka S  

12(1 – r) = 4

12 – 12r = 4 –12r = –8 maka r = 2/3

Barisan dan Deret 3 1

02. Suatu deret geometri tak hingga diketahui suku pertamanya 24 dan rasionya 1/3. Tentukanlah jumlah suku-suku genapnya ! Jawab

2 3 4 5 6 7 8 9 a + ar + ar 10 + ar + ar + ar + ar + ar + ar + ar + ar + ... = S  suku-suku genapnya adalah :

3 5 7 ar + ar 9 + ar + ar + ar + ... = S

ar 3

sehingga : suku pertama = ar 2 dan rasio = = r

ar

Jumlah sampai tak hingga suku-suku genap : S  

03. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 12 m. Jika setiap kali jatuh, bola memantul kembali ke atas dengan ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya, maka hitunglah panjang lintasan bola dari mulai dijatuhkan hingga berhenti ! Jawab

Lintasan ke bawah : 12, 8, 16/3, 32/9 , 64/27 , .... S  

Lintasan ke atas : 8, 16/3, 32/9, 64/27 , ....

Jadi total lintasan seluruhnya = 36 + 24 = 60 m

Barisan dan Deret 3 2

Jika dianalisa secara umum, rumus menentukan panjang lintasan benda yang dijatuhkan dari ketinggian h dan setelah menyentuh lantai bola memantul sejauh r kali tinggi sebelumnya dapat ditentukan sebagai berikut :

Lintasan ke bawah :

1  r hr

Lintasan ke bawah :

1  r h hr

Sehingga total lintasan seluruhnya =

h  hr

Barisan dan Deret 3 3

INDUKSI MATEMATIKA

A. Induksi Matematika Pada Pembuktian Rumus

Dalam kehidupan sehari hari, kita sering mengambil suatu kesimpulan berdasarkan data-data yang sudah ada. Kesimpulan tersebut belum valid, karena masih bersifat dugaan (hipotesa) Kesimpulan akan lebih valid jika hipotesa tersebut diuji berdasarkan fakta yang sudah ada. Cara seperti ini merupakan inti dari prinsip induksi

Langkah langkah pembuktian rumus dengan induksi matematika : (1) Langkah mengambil data (base case)

- Ambil beb erapa data (n = 1, 2, 3, … ) - Tetapkan kesimpulan sementara /hipotesa (rumus dianggap benar untuk n= k)

(2) Langkah menguji hipotesa (inductive step) - Rumus diuji dengan pengambilan n = k + 1 Atau Rumus diuji dengan rumus lain yang sudah valid

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini

01. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa 7  1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli Jawab

2n  1

2(1) Untuk n = 1, diperoleh 1 7  

1 = 344 habis dibagi 8 (terbukti) 2(2) Untuk n = 2, diperoleh 1 7  

1 = 16.808 habis dibagi 8 (terbukti)

2(3) Untuk n = 3, diperoleh 1 7  

1 = 823.544 habis dibagi 8 (terbukti) Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

7  1 habis dibagi 8 (hipotesa) Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

2k  1

7 2(k  1)  1 

1 juga habis dibagi 8

2k = 1 49 7 

2k = 49 1 7  

   habis dibagi 8 (menurut hipotesa) maka 49  

 – 8 juga

habis dibagi 8

2n  1

Jadi terbukti bahwa 7  1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli

Induksi Matematika 1

02. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa 3 4n – 1 habis dibagi 80 untuk n

bilangan asli Jawab Untuk n = 1, diperoleh 4(1) 3  = 81 – 1 = 80 habis dibagi 80 1 (terbukti)

Untuk n = 2, diperoleh 4(2) 3  = 6561 – 1 = 6560 habis dibagi 80 1 (terbukti) Untuk n = 3, diperoleh 4(3) 3  = 531441 – 1 = 531440 habis dibagi 80 1 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

3 4k  habis dibagi 80 (hipotesa) 1 Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

4(k 3 1)  

1 juga habis dibagi 80

4(k 1)

4k Tinjau : 4 3  

1 = 3   1 4k = 4 3 . 3  1

= 4k 81. 3 .  1 = 4k 81. 3 – 81 + 80 = 4k 81(3 .  1 ) + 80

Karena 4k 3  habis dibagi 80 (menurut hipotesa) maka 81( 1 3  ) juga habis 1 dibagi 80

4k

Sehingga 4k 81(3 .  1 ) + 80 habis diabgi 80

Jadi terbukti bahwa 3 4n – 1 habis dibagi 80 untuk n bilangan asli

03. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa n 11 – 6 habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan asli

Jawab Untuk n = 1, diperoleh 1 11 – 6 = 11 – 6 = 5 habis dibagi 5 (terbukti)

Untuk n = 2, diperoleh 2 11 – 6 = 121 – 6 = 115 habis dibagi 5 (terbukti) Untuk n = 3, diperoleh 3 11 – 6 = 1331 – 6 = 1325 habis dibagi 5 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

11 k – 6 habis dibagi 5 untuk setiap k bilangan asli (hipotesa) Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

11 k  1 – 6 juga habis dibagi 5

Tinjau : 11 –6 = 11 11 –6

= 11 k 11 – 66 + 60 = 11( k 11 – 6) + 60

Karena k 11 – 6 habis dibagi 5 (menurut hipotesa) maka 11( 11 – 6) juga habis

dibagi 5, sehingga 11( k 11 – 6) + 60 habis diabgi 5 Jadi terbukti bahwa n 11 – 6 habis dibagi 5 untuk setiap n bilangan asli

Induksi Matematika 2

04. Buktikanlah bahwa 3  2 habis dibagi 5 untuk n bilangan asli Jawab

2(1) 2 Ambil n = 1 maka 2 3  2 

= 4 3  = 9 + 16 = 25 (habis dibagi 5) 2

4 Ambil n = 2 maka 6 3   2

2 = 3  = 81 + 64 = 155 (habis dibagi 5) 2

= 3  = 81 + 64 = 985 (habis dibagi 5) 2 Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa

Ambil n = 3 maka 2(3) 3 2  2 6  8

2k

Untuk n = k maka 2k 3 2   2

habis dibagi 5

2(k  1)

2(k  1)  2

Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka 3  2 juga habis dibagi 5

2(k  1)

2(k  1)  2 2(k  1)

Bukti : 2(k 3 2 = 3  1)

2k 2 2k 3 4 

2k 2 2k = 2 3 . 3 + 2  2

2k = 9 2

2k

2k

2k 2

Karena 4 2k 3  2  habis dibagi 5 (berdasarkan hipotesa) dan 5 3 juga habis

2k

2k

dibagi 5, maka dapat disimpulkan 5 2k 3 +4 3 2  2 habis dibagi 5

2n

2n Jadi terbukti bahwa 2 3 2  

habis dibagi 5 untuk n bilangan asli

05. Buktikanlah bahwa 3 n + 2n habis dibagi 3 untuk n bilangan asli Jawab

Ambil n = 1 maka 3 (1) + 2(1) = 1 + 2 = 3 (habis dibagi 3) Ambil n = 2 maka 3 (2) + 2(2) = 8 + 4 = 12 (habis dibagi 3) Ambil n = 3 maka 3 (3) + 2(3) = 27 + 6 = 33 (habis dibagi 3) Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa

Untuk n = k maka 3 k + 2k habis dibagi 3 untuk k bilangan asli Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka 3 (k  1) + 2(k+1) juga habis dibagi 3

3 3 Bukti : 2 (k  1) + 2(k+1) = k +3 k + 3k + 1 + 2k + 2

3 = 2 k + 2k + 3 k + 3k + 3

3 = ( 2 k + 2k) + 3( k + k + 1)

Karena ( 2 k + 2k) habis dibagi 3 (berdasarkan hipotesa) dan 3( k + k + 1) juga habis

3 dibagi 3, maka dapat disimpulkan ( 2 k + 2k) + 3( k + k + 1) habis dibagi 3 Jadi terbukti bahwa 3 n + 2n habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

Induksi Matematika 3

06. Buktikanlah bahwa untuk setiap bilangan bulat n, berlaku (2n + 1) 2 selalu bernilai ganjil

Jawab

2 Ambil n = 1 maka (2(1) + 1) 2 = (3) = 9 (bilangan ganjil)

2 Ambil n = 2 maka (2(2) + 1) 2 = (5) = 25 (bilangan ganjil)

2 Ambil n = 3 maka (2(3) + 1) 2 = (7) = 49 (bilangan ganjil) Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa

Untuk n = k maka (2k + 1) 2 selalu bernilai ganjil untuk k bilangan asli Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka (2[k+1] + 1) 2 juga ganjil

2 Bukti : (2[k+1] + 1) 2 = (2k+2 + 1)

= ([2k+1] + 2) 2 = (2k + 1) 2 + 4(2k + 1) + 4 = (2k + 1) 2 + 8k + 4 + 4 = (2k + 1) 2 + 8k + 8 = (2k + 1) 2 + 8(k + 1)

Karena (2k + 1) 2 adalah bilangan ganjil (berdasarkan hipotesa) dan 8(k + 1) adalah bilangan genap, maka (2k + 1) 2 + 8(k + 1) selalu bernilai ganjil Jadi terbukti bahwa untuk setiap bilangan bulat n, berlaku (2n + 1) 2 selalu bernilai

ganjil

07. Buktikanlah bahwa untuk setiap n bilangan asli, n berlaku 2n ≤ 2 Jawab

Ambil n = 1 maka 2(1) 1 ≤ 2 artinya 2 ≤ 2 (bernilai benar) Ambil n = 2 maka 2(2) 2 ≤ 2 artinya 4 ≤ 4 (bernilai benar) Ambil n = 3 maka 2(3) 3 ≤ 2 artinya 6 ≤ 8 (bernilai benar)

Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa Untuk n = k maka 2k k ≤ 2 untuk setiap k bilangan asli

(k Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka 2(k + 1) 1) ≤ 2 

(k Bukti : 2(k + 1) 1) ≤ 2 

k 2k + 2 1 ≤ 2 . 2 2k + 2 k ≤ 2 2

2k + 2 k ≤ 2 + 2

Karena 2k k ≤ 2 (berdasarkan hipotesa) dan 2 ≤ 2 untuk setiap k bilangan asli,

maka 2k + 2 k ≤ 2 + 2 Jadi terbukti bahwa untuk setiap n bilangan asli, n berlaku 2n ≤ 2

Induksi Matematika 4

08. Buktikanlah bahwa 3 untuk n ≥ 4 dan n bilangan asli berlaku 3 >n Jawab

4 Ambil n = 4 maka 3 3 > 4 artinya 81 > 64 (bernilai benar)

5 Ambil n = 5 maka 3 3 > 5 artinya 243 > 125 (bernilai benar)

6 Ambil n = 6 maka 3 3 > 6 artinya 729 > 216 (bernilai benar) Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa

Untuk n = k maka 3 3 >k untuk setiap k bilangan asli dan k ≥ 4

Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka 3 > (k+1)

Bukti : 3 > (k+1)

1 3 3 2 . 3 >k + 3k + 3k + 1

3 3 2 3 >k + 3k + 3k + 1

   >k

3 3 2 + 3 + 3 + 3k + 3k + 1

Karena 3 untuk k ≥ 4 maka 3 >k (berdasarkan hipotesa)

k ≥ 4 maka 2 3 > 3.k

k ≥ 4 maka k 3 > 3k + 1

   > k

+ 3k + 3k + 1 untuk setiap k bilangan asli, dan k ≥ 4.

3 Sehingga terbukti bahwa 2 3 + 3 + 3

Artinya untuk n ≥ 4 dan n bilangan asli berlaku 3 3 >n

09. Buktikanlah bahwa n x – 1 habis dibagi (x – 1) untuk setiap n bilangan asli Jawab

Untuk n = 1, maka 1 x – 1 = x – 1 habis dibagi (x – 1) Untuk n = 2, maka 2 x – 1 = (x – 1)(x + 1) habis dibagi (x – 1)

3 Untuk n = 3, maka 2 x – 1 = (x – 1)(x + x + 1) habis dibagi (x – 1) Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya

x k – 1 habis dibagi (x – 1) untuk setiap n bilangan asli (hipotesa) Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya

k x 1  – 1 habis dibagi (x – 1)

Bukti : 1 –1 = x . x –1 = x k x –x+x–1

= x( k x – 1) + (x – 1)

Karena x( k x – 1) habis dibagi (x – 1) (menurut hipotesa) maka berarti bahwa

x( n x – 1) + (x – 1) juga habis dibagi (x – 1). Jadi terbukti bahwa x – 1 habis dibagi (x – 1) untuk setiap n bilangan asli

Induksi Matematika 5

10. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

Jawab Untuk n = 1, diperoleh 1(1 + 1)(1 + 2) = 6 habis dibagi 3 (terbukti) Untuk n = 2, diperoleh 2(2 + 1)(2 + 2) = 24 habis dibagi 3 (terbukti) Untuk n = 3, diperoleh 3(3 + 1)(3 + 2) = 60 habis dibagi 3 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya k(k + 1)(k + 2) habis dibagi 3 (hipotesa) Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) juga habis dibagi 3 Tinjau : [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) = (k+1)(k+2)(k+3)

= (k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3 Karena (k+1)(k+2)k habis dibagi 3 (menurut hipotesa) dan (k+1)(k+2)3 juga habis dibagi 3 maka 81((k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3 habis dibagi 3 Sehingga [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) habis diabgi 3 Jadi terbukti bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

Induksi Matematika 6

INDUKSI MATEMATIKA

B. Penerapan Induksi Matematika pada Barisan dan deret

Langkah-langkah pembuktian : (1) Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1, 2, 3 (2) Anggap bahwa rumus S(n) benar untuk n = k (3) Akan dibuktikan bahwa rumus S n benar untuk n = k + 1

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini

01. Dengan induksi matematika buktikanlah rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1) Jawab Untuk n = 1, diperoleh 3 = 1(2[1] + 1) = 3 (terbukti) Untuk n = 2, diperoleh 3 + 7 = 2(2[2] + 1) = 10 (terbukti) Untuk n = 3, diperoleh 3 + 7 + 11 = 3(2[3] + 1) = 21 (terbukti) Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya