OPTIMASI MODEL INVESTASI, PRODUKSI DAN KONSUMSI DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LOGARITMA SEBAGAI FUNGSI UTILITAS | Surono | BIMIPA 13911 28583 1 PB

Sugiyarto dan Ismail bin Mohd, Optimasi Model Investasi ...

OPTIMASI MODEL INVESTASI, PRODUKSI DAN KONSUMSI
DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LOGARITMA SEBAGAI
FUNGSI UTILITAS
(Optimization of Model of Investment , Production and Consumption Using
Logarithm Function as The Utility Function)
Sugiyarto Surono 1 dan Ismail Bin Mohd2
1

Department of Mathematics, Faculty of Mathematics and Science
Ahmad Dahlan University, Yogyakarta, Indonesia
sugiyartonf@yahoo

2

Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology
University College of Science and Technology Malaysia
Mengabang Telipot 21030 KualaTerengganu, Malaysia
ismailmohd@yahoo.com

ABSTRAK
Penanaman modal, produksi dan konsumsi adalah tiga hal yang berkaitan. Total
kekayaan dan pemasukan dari suatu proses produksi berubah setiap saat dan
digambarkan senantiasa mengikuti model gerakan random Brownian. Makalah ini
membicarakan bagaimana kita dapat memilih model investasi dengan menentukan
jumlah konsumsi yang optimal. Adapun fungsi utilitas yang digunakan adalah fungsi
logaritma sehingga dengan mengasumsikan kontrol konsumsi dan tingkat suku bunga
bank adalah konstan maka penyelesaian ekplisit dapat diperoleh.
Kata kunci: Fungsi utilitas, optimal kontrol, persamaan diferensial stokastik, model gerakan
Brown.
ABSTRACT
Investment, production and consumption are the three factors interconnected. The
worth of capital and income production is change by time through random Brownian
motion. In this paper, it will be discussed how to choose the investme nt model or sum
consumptions policies to maximize the expected discounted of utility function. In this
paper, the utility function to be used is the logarithmic function utility and by assuming
that consumption control and interest rate are constant. Then by this manner the
explicit solution can be obtained.
Keywords: Utility function, optimal control, stochastic differential equations, Brownian
motion.

Makalah diterima 17 September 2005.

1

Berkala MIPA, 15(3), September 2005

1. PENDAHULUAN

2. DEFINISI DAN TEOREMA

Salah satu Mode l stokastik dalam
ekonomi adalah berkaitan dengan total
produksi dan jumlah hutang dari suatu
perusahaan.
Nilai
suatu
kekayaan
dilambangkan dengan Kt
yang nilainya
senantiasa berubah setiap waktu mengikuti

jumlah investasi yang ada.
Pergerakan nilai kekayaan suatu
perusahaan dan jumlah pemasukan dari suatu
proses
produksi
dapat
digambarkan
mengikuti model gerakan Brown. Masalah
dari penanam modal dalam hal ini, investor
adalah senantiasa berkeinginan untuk
memaksimumkan jumlah konsumsi atau
pembelanjaan dari total nilai kekayaannya
sehingga diperoleh keuntungan yang
maksimum. Fungsi tujuan yang berkaitan
dengan masalah diatas adalah memaksimumkan nilai

2,1 Definisi 2.1 (Steel, 2000)

∞

J = E ∫ e − δ t U (C t ) dt

(1.1)

Koleksi variabel random {X(t), t =0}
dikatakan mengikuti proses model gerakan
Brown jika,
(i) X(0) = 0,
(ii){X(t),t=0} senantiasa tetap dan naik secara
Independent,
(iii)Untuk setiap t>0, X(t) berdistribusi
normal dengan mean 0 dan variansi s 2 t.
Berdasarkan definisi diatas jika σ = 1 , maka
proses tersebut dinamakan model gerakan
Brown standar dan dinotasikan sebagai
{B(t),t=0} dan ini dapat ditunjukkan,
 X (t )  1
E
 = E ( X (t )) = 0 ,
 σ  σ

(2.1)

2
dan Var  X (t )  = 1 Var ( X (t )) = σ t = t ,
2
2

 σ



σ

σ

(2.2)

0

beserta pembatas
d>0, ct =0, dan Xt >0,

(1.2)

dengan U(Ct ) adalah fungsi utilitas dengan
(Fleming dan Pang , 2004) ,
Ct =ct Xt

(1.3)

Dalam menyelesaikan permasalahan
ini diperlukan kajian mengenai teori
probabilitas yang merupakan dasar dari
penyelesaian dalam bidang stokastik,
demikian juga pengertian dasar dalam
matematika keuangan (Steel, 2000).
Makalah ini dibagi menjadi lima
bagian yaitu dalam Bagian 1 memaparkan
latar belakang penelitian dan literatur yang

berkenaan dengan makalah ini. Bagian 2,
menyediakan beberapa definis i dan teorma
yang berhubungan dengan makalah ini.
Bagian 3 dipaparkan tentang rumusan
masalah dari makalah ini dan dalam Bagian 4
disajikan diskusi dan penyelesaian dari
rumusan masalah tersebut. Bagian 5
disertakan kesimpulannya.

Dapat disimpulkan bahwa secara umum
proses model gerakan Brown yang diberikan
dalam Definisi 2.1, dapat dibawa kebentuk
proses standar dengan memisalkan X(t)/s
sebagai variabel random.

2.2 Definisi 2.2 (Kao dan Edward, 1996)
Dimisalkan B(t) memenuhi sifat
proses model gerakan Brown standar, dan X
= {X(t), t=0} adalah proses stokastik maka
persamaan yang didefinisikan

dX (t ) = µ ( X (t ),t )dt + σ ( X (t ),t )dB(t )
disebut persamaan diferensial stokastik.

2.3 Teorema 2.1 Ito’s Lemma
(Oksendal, 1995)
Jika F(Xt ,t) fungsi yang dapat
didiferensialkan dua kali terhadap t dan Xt
adalah proses random dengan persamaan
diferensial Ito
dX t = b ( X t ) dt + σ ( X t ) dB ( t ),

2

Sugiyarto dan Ismail bin Mohd, Optimasi Model Investasi ...

X t = K t − Lt .

maka

dF = FX dX t + Ft dt +

1
2
F xx σ t dt .
2

Berdasarkan persamaan (3.1) hingga (3.4)
serta dengan mendiferensialkan persamaan
(3.5) terhadap t maka diperoleh persamaan,

3. RUMUSAN MASALAH
Misalkan Nt dan Pt melambangkan
jumlah unit produksi dan satuan unit harga
pada waktu t. Maka total dari pendapatan Kt
adalah
Kt = NtPt
(3.1)
Jika It adalah investasi rata-rata, maka dapat
diperoleh,

It dt = PtdNt
yang menggambarkan bahwa perubahan
jumlah investasi sama dengan harga
persatuan unit produksi dikalikan dengan
perubahan
jumlah
produksi.
Dengan
mendiferen-sialkan persamaan (3.1) terhadap
t maka diperoleh,

dKt = N t dPt + Pt dNt = Nt Pt
= Kt

dPt
+ Pt dNt
Pt

dPt

dP
+ Pt dNt = K t t + It dt . (3.2)
Pt
Pt

Dimisalkan bahwa Yt menunjukkan rata-rata
pemasukan dari suatu proses produksi maka
dapat dituliskan persamaan sebagai berikut,

Yt dt = bt N t dt

(3.3)

dengan b t adalah koefisien produktifitas.
Jika Lt dan Ct masing-masing melambangkan jumlah hutang dan konsumsi ratarata pada waktu t, maka persamaan perubahan
jumlah hutang dapat dituliskan sebagai
berikut,
dLt = [rt Lt + I t + C t − Yt ] dt ,

(3.5)

dPt
+ I t dt − rt Lt dt − It dt − Ct dt + bt Nt dt
Pt
(3.6)
 K dP
 K − Xt 
C
K 1

dt − t dt + bt t
= Xt  t t − rt  t
dt
X
P
X
X
P
X

 t t

t

t
t
t
(3.7)
Dengan perantaran persamaan (1.3) dan
kt =Kt /Xt , dan tingkat suku bunga dianggap
konstan (rt =r) diperoleh,
dX t = Kt

 dP 
k  
dX t = X t  kt t −  r ( kt − 1) + ct − bt t  dt 
Pt  
 Pt 
(3.8)
Pergerakan nilai P t dimodelkan
mengikuti model gerakan Brown w~t ,
persamaan diferensial stokastiknya adalah,

~ ],
dP t = Pt [µ ( Pt ) dt + σ~ d w
t
~ model gerakan Brown
dengan σ~ > 0 , w
t
standar, dan µ(Pt ) pada persamaan (3.9)
mempunyai penyelesaian tunggal yang positif
jika P o >0. Jika µ(Pt ) =µ (konstan) maka Pt
disebut model gerakan Brown logaritma.
Pergerakan produktifitas bt dimodelkan mengikuti model gerakan Brown wt yang
senantiasa berubah terhadap perubahan waktu

(3.10)

b tdt = bdt+ s dwt,

dengan b>0, s>0, wt model gerakan Brown
~ dan w
standar. Model gerakan Brown w
t
t
dimisalkan berkorelasi dan nilainya

(3.4)

dengan rt adalah tingkat suku bunga rata-rata.
Diandaikan bahwa tingkat suku bunga bank
adalah konstan.
Dengan menggunakan hubungan
antara Kt dan Lt maka total kekayaan pada
waktu t yang dinotasikan dengan Xt adalah,

~ ⋅w ) = ρ t ,
E (w
t
t

ρ ≤1

.

(3.11)

dengan E (ω~ ) . E (ω ) = 0 .
Bentuk formal dari persamaan (3.8)
sekarang diberikan dalam bentuk,

3

Berkala MIPA, 15(3), September 2005



b
~ + σ k t dw 
(3.12)
dX t = X t  µ ( Pt ) +
− r  k t dt + ( r − c t )dt + σ~ k t dw
t
t
P
P
t

t


Dengan memilih kontrol investasi k t , kontrol
1
α 1 (Pt ) = 2 (σ~ 2 Pt 2 + 2 ρ σ~ Pt + σ 2 ) , (4.5)
konsumsi ct dan variabel tetap Xt dan Pt , d>0
Pt
serta fungsi utilitasnya U(ct Xt ) akan
b
(4.6)
ditentukan berapa nilai variabel kontrol agar
α 2 ( Pt ) = µ ( Pt ) + − r .
P
t
diperoleh hasil yang maksimum, hal ini dapat
ditulis sebagai berikut
Jika Po >0, maka diperoleh Pt >0. Oleh karena
∞
(3.13)
itu untuk setiap Pt , Q(kt ,Pt ) adalah maksimum
J = E ∫ e −δtU (c t X t )dt
0
dengan pembatas k t =0, dengan k t
Dengan fungsi pembatasnya ct ,kt =0 dan Xt >0.
didefinisikan sebagai berikut

4. DISKUSI DAN PENYELESAIAN
MASALAH
Dalam makalah ini digunakan fungsi
logaritma sebagai fungsi utilitasnya yaitu,
U (C ) = log C ,

(4.1)

dengan ct = Ct /Xt bernilai konstan c. Berdasarkan asumsi ini kebijakan untuk penanaman
modal secara optimal dapat diperoleh
∞

J = E ∫ e −δtU (c t X t )dt , δ > 0

 αα 2 (( PPt ))
kt =  1 t
0

(α 2 ( Pt ) ≥ 0 )
(4.7)
(α 2 ( Pt ) < 0 )

sehingga persamaan (4.3), E[logXt ] mencapai
nilai maksimum jika diberikan k untuk 0=t=T
dan nilainya seperti disajikan pada persamaan
(4.7).Berdasarkan uraian di atas maka diperoleh preposisi sebagai berikut; Preposisi:
Untuk sebarang T>0 dan kontrol konsumsi
diketahui konstan (Ct = c untuk 0=t=T) maka
kontrol investasi k t untuk 0=t=T menjadikan
E[logXt ] akan mencapai maksimum.

0

∞

= E ∫ e −δt log (ct X t )dt

5. KESIMPULAN

0

∞

−δt
= E ∫ e (log c + log X t )dt
0

∞

1
− δt
= logc + ∫ e E[log X t ]dt .
δ
0
Dengan mengaplikasikan aturan dalam
Teorema 2.1 untuk D log Xt maka diperoleh,
E [log Xt ] = log X0 + (r − c)T + ....

Berdasarkan uraian dari bagian empat
dapat disimpulkan bahwa untuk sebarang
T>0, penyelesaian eksplisit dari penyelesaian
∞

fungsi tujuan J = E ∫ e −δt log (c t X t )dt dapat
(4.2)
0

diperoleh dan fungsi akan mencapai
maksimum yang hanya tergantung pada nilai
kontrol investasi yaitu k t dengan asumsi
bahwa ct =c adalah konstan dan 0=t=T .

2
2
T 
b  T  1 ~2 2 σ2kt σ~ σ kt   DAFTAR PUSTAKA


E∫µ(Pt ) + − r dt − ∫ σ kt + 2 +
ρdt
Pt  0  2
Pt
Pt
0 
  Oksendal, B., 1995, Stochastic Differential
T
Equations , Springer.
E[log X t ] = log x0 + ∫ E[Q( kt , Pt ) dt + (r − c)T
Fleming, W, H., and Pang ,T.,2004, Stochas0
tic Control Model of Investment, Produc(4.3)
tion, and Consumption.
dengan x 0 = X 0 jumlah kekayaan awal,
Kao, P. C., and Edward,1996, An Introduction to Stochastic Processes, Duxbury
α (P ) 2
(4.4)
Q(k t , Pt ) = − 1 t k t + α 2 ( Pt ) k t ,
Press.
2
Steel, M.J, 2000, Stochastic Calculus and
Finance.

4