a6277 bab 4 matriks invers
4. MATRIKS INVERS
1. Pengertian Matriks Invers
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu
matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A ditulis
A-1 merupakan matriks bujur sangkar berordo nxn. Invers dari sebuah matriks adalah unik
(tunggal) dan berlaku sifat : (A-1)-1 = A. Matriks yang mempunyai invers matriks yang
nonsingular.
Contoh :
Bukti :
]=[
][
AB = [
]
] adalah B = [
Buktikan bahwa invers dari matriks A = [
]=[
]
Latihan soal :
Buktikan bahwa invers dari matriks A = [
] adalah A-1= [
2. Menghitung Matriks Invers
a. Cara Perkalian Matriks
Carilah invers dari matriks A = [
]
Misalkan invers dari matriks tersebut adalah A-1 = [
AA-1 = [
[
][
Sehingga
]
]=[
]
] maka berlaku
]
[
]=[
Diperoleh 4 persamaan :
]
.................................... (1)
.......................................... (2)
.................................... (3)
.......................................... (4)
Dari 4 persamaan tersebut diperoleh :
[
]
Cara ini hanya cocok digunakan bila ordo matriks 2x2
b. Menggunakan Matriks Adjoint
Misalkan diketahui matriks A = (aij). Kofaktor dari elemen aij adalah Aij, maka
transpose dari matriks (Aij) disebut matriks adjoin dari A.
Adj.A = [
]
Dalam mencari matriks adjoint, kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk
semua elemen. Misalkan ada matriks bujur sangkar berordo 3, maka akan ada 9
elemen yang harus dicari kofaktornya.
Invers suatu matriks A didefinisikan sebagai A-1 =
, dengan catatan det(A) ≠ 0.
Contoh :
Diketahi matriks A sbb : A = [
Jawab :
] , tentukan matriks invers tersebut.
Kofaktor-kofaktor dari matriks A :
A11* = (-1)1+1[
A21* = (-1)2+1[
] = 4, A12* = (-1)1+2[
] = 0, A22* = (-1)2+2[
] = 14, A13* = (-1)1+3[
] = 3,
A23* = (-1)2+3[
] = -10
] = -1
A31* = (-1)3+1[
] = 0, A32* = (-1)3+2[
] = -5,
A33* = (-1)3+3[
]= 3
Matriks adjoint A adalah :
Adj (A) = [
]
Determinan matriks A :
|
det(A) =|
ekspansi baris ke-1 :
det(A) = 1.|
invers matriks A adalah :
|=4
[
A-1 =
]
[ ⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
⁄
Latihan soal :
1. Hitung invers matriks berikut :
a) [
]
b) [
]
2. Diketahui K = [
[
]
]=[
3. Diketahui [
4. Jika A = [
] dan L = [
]B=[
] jika K = L, maka invers dari matriks
] maka invers dari matriks [
]C=[
]
] dan D = (2A+CT) – (3A + 4B), maka D-1 = ...
5. Invers dari hasil kali matriks [
][
] adalah ...
1. Pengertian Matriks Invers
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n disebut mempunyai invers bila ada suatu
matriks B, sehingga AB = BA = I. Matriks B disebut invers matriks A ditulis
A-1 merupakan matriks bujur sangkar berordo nxn. Invers dari sebuah matriks adalah unik
(tunggal) dan berlaku sifat : (A-1)-1 = A. Matriks yang mempunyai invers matriks yang
nonsingular.
Contoh :
Bukti :
]=[
][
AB = [
]
] adalah B = [
Buktikan bahwa invers dari matriks A = [
]=[
]
Latihan soal :
Buktikan bahwa invers dari matriks A = [
] adalah A-1= [
2. Menghitung Matriks Invers
a. Cara Perkalian Matriks
Carilah invers dari matriks A = [
]
Misalkan invers dari matriks tersebut adalah A-1 = [
AA-1 = [
[
][
Sehingga
]
]=[
]
] maka berlaku
]
[
]=[
Diperoleh 4 persamaan :
]
.................................... (1)
.......................................... (2)
.................................... (3)
.......................................... (4)
Dari 4 persamaan tersebut diperoleh :
[
]
Cara ini hanya cocok digunakan bila ordo matriks 2x2
b. Menggunakan Matriks Adjoint
Misalkan diketahui matriks A = (aij). Kofaktor dari elemen aij adalah Aij, maka
transpose dari matriks (Aij) disebut matriks adjoin dari A.
Adj.A = [
]
Dalam mencari matriks adjoint, kita harus melakukan ekspansi baris dan kolom untuk
semua elemen. Misalkan ada matriks bujur sangkar berordo 3, maka akan ada 9
elemen yang harus dicari kofaktornya.
Invers suatu matriks A didefinisikan sebagai A-1 =
, dengan catatan det(A) ≠ 0.
Contoh :
Diketahi matriks A sbb : A = [
Jawab :
] , tentukan matriks invers tersebut.
Kofaktor-kofaktor dari matriks A :
A11* = (-1)1+1[
A21* = (-1)2+1[
] = 4, A12* = (-1)1+2[
] = 0, A22* = (-1)2+2[
] = 14, A13* = (-1)1+3[
] = 3,
A23* = (-1)2+3[
] = -10
] = -1
A31* = (-1)3+1[
] = 0, A32* = (-1)3+2[
] = -5,
A33* = (-1)3+3[
]= 3
Matriks adjoint A adalah :
Adj (A) = [
]
Determinan matriks A :
|
det(A) =|
ekspansi baris ke-1 :
det(A) = 1.|
invers matriks A adalah :
|=4
[
A-1 =
]
[ ⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ]
⁄
Latihan soal :
1. Hitung invers matriks berikut :
a) [
]
b) [
]
2. Diketahui K = [
[
]
]=[
3. Diketahui [
4. Jika A = [
] dan L = [
]B=[
] jika K = L, maka invers dari matriks
] maka invers dari matriks [
]C=[
]
] dan D = (2A+CT) – (3A + 4B), maka D-1 = ...
5. Invers dari hasil kali matriks [
][
] adalah ...