X
t
= μ + Φ
1
X
t-1 +
Φ
2
X
t-2
+ … + Φ
p
X
t-p
+ e
t
2.5 Dengan :
X
t
= Pengamatan deret berkala ke-t μ = Nilai konstan
Φ
p
= Parameter autoregresi ke-p, p = 1,2,…,n X
t-p
= Variabel pertma pada periode ke-t-p ; p = 1,2,…,n e
t
= Kesalahan pada saat t
Untuk model AR 1 kondisi stasioner akan terpenuhi jika | Φ
1
| 1. Sedangkan model AR 2 akan memenuhi syarat stasioner jika
Φ
1
+ Φ
2
2 Φ
2
- Φ
1
2 dan | Φ
2
| 2.
2.9 Model Rataan Bergerak MA
Proses rataan bergerak menyatakan ketergantungan nilai X
t
terhadap e
t
e
t-1
,…., e
t-r
. Model rataan bergerak derajat q dilambangkan MA q atau ARIMA 0,0,q dan
ditulis sebagai berikut : X
t
= μ – θ
1
e
t-1
– θ
2
e
t-2
-…- θ
q
e
t-q
+ e
t
2.6 Dengan :
Universitas Sumatera Utara
X
t
= Pengamatan deret berkala μ
= Nilai konstan θ
q
= Parameter moving average ke-q ; q = 1,2,…,n e
t-q
= Variabel pertama pada saat t-q ; q = 1,2,…,n e
t
= Kesalahan pada saat t
2.10 Model Campuran AR dan MA
Dalam pembuatan model empiris dari deret berkala sering ditemukan bahwa model regresi diri AR dan rataan bergerak MA. Model campuran regresi diri dan rataan
bergerak derajat p,q dapat ditulis sebagai berikut : X
t
= μ + Φ
1
X
t-1
+ Φ
2
X
t-2
+ … + Φ
p
X
t-p
– θ
1
e
t-1
– θ
2
e
t-1
- … - θ
q
e
t-p
+ e
t
2.7 Atau ditulis
Φ
p
B X
t
= μ + θ
q
B e
t
Dan disingkat ARMA p,q Model ARMA p,q dapat diperluas untuk deret berkala yang tidak stasioner.
Dengan operator berbeda derajat
d
X
t
, model ARMA p,q menjadi Φ
p
B
d
X
t
= μ + θ
q
B e
t
Dan model ini disingkat ARIMA p,d,q
Universitas Sumatera Utara
Untuk data yang dikumpulkan secara bulanan, pembedaan satu musim penuh tahun dapat dihitung X
t
– X
t-12
= 1 – B
12
X
t
. Sehingga untuk model ARIMA p,d,q P,D,Q
s
dengan s adalah jumlah periode permusiman.
2.11 Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer merupakan pengembangan dari model ARIMA satu peubah. Jika deret berkala Y
t
berhubungan dengan satu atau lebih deret berkala lain X
t
maka dapat dibuat suatu model berdassarkan informasi deret berkala X
t
, untuk menduga nilai Y
t
model yang dihasilkan disebut fungsi transfer.
Dalam penelitian ini, pembuatan fungsi transfer hanya dibatasi untuk dua deret berkala yaitu Y
t
sebagai deret output dan X
t
sebagai deret output atau disebut fungsi transfer dwi peubah.
Gambar 2.1 memperlihatkan secara ringkas unsur-unsur yang berkaitan dengan model fungsi transfer. Terdapat deret berkala output, disebut Y
t
, yang diperkiran akan dipengaruhi oleh deret berkala input X
t
, dan input-input lain yang disebut gangguan noise N
t
, seluruh system tersebut adalah dinamis. Dengan kata lain, deret input X
t
memberikan pengaruhnya terhadap fungsi transfer, mendistribusikan dampak X
t
melalui beberapa periode akan datang. Tujuan pemodelan fungsi transfer adalah untuk
Universitas Sumatera Utara
menetapkan model sederhana, menghubungkan Y
t
dengan X
t
dan N
t
. Tujuan utama pemodelan ini adalah untuk menetapkan peranan indikator penentu leading indicator
deret input dalam rangka menetapakan deret output. Deret
Deret Input
Output X
t
Y
t
Gambar 2.1 Konsep Fungsi Transfer
Fungsi transfer bivariat ditulis dalam bentuk Y
t
= v B X
t
+ N
t
Dengan : Y
t
= Deret output X
t
= Deret
input N
t
= Faktor yang mempengaruhi Y
t
disebut gangguan vB = v
+ v
1
B + v
2
B
2
+…+ v
k
B
k
, dengan k adalah orde fungsi transfer dan B operator shift mundur
Fungsi Transfer
Seluruh Pengaruh lain
N
t
Universitas Sumatera Utara
Deret input dan output perlu ditransformasikan untuk mengatasi ragam yang tidak stasioner, dibedakan untuk mengatasi nilai tengah yang tidak stsioner, serta
dihilangkan unsur musimannya. Jadi pada persamaan 2.8 harus merupakan nilai yang telah ditransformasikan. Selanjutnya untuk penulisan persamaan digunakan
huruf kecil. Secara lebih singkat, fungsi transfer ditulis sebgai berikut
2.9
Atau 2.10
Dengan : ωB
= ω
– ω
1
B – ω
2
B
2
-…- ωB
s
δB = 1 –
δ
1
B – δ
2
B
2
-…- δ
r
B
r
θB = 1 –
θ
1
B – θ
2
B
2 -…-
θ
q
B
q
ΦB = 1 –
Φ
1
B – Φ
2
B
2
-…- Φ
p
B
p
y
t
= Nilai
Y
t
yang telah ditransformasikan dan dibedakan x
t
= Nilai
X
t
yang telah ditransformasikan dan dibedakan r,s,p,q dan b = Konstanta
Universitas Sumatera Utara
Fungsi v B merupakan rasio dari fungsi
ω B dan δ B dan akan mempunyai jumlah suku yang tak terhingga, sehingga akan terdapat bobot v yang tak terhingga
jumlahnya. Dengan demikian persamaan 2.10 merupakan suatu gambaran yang lebih singkat.
Dari persamaan 2.8 dapat dilihat bahwa sebagai faktor penentunya adalah konstanta r,s,b dan p,q. Konstanta r,s,b menunjukkan parameter dari fungsi
transfer yang menghubungkan Y
t
dan X
t
, sedangkan p,q merupakan parameter model gangguan. Subskrip t-b menunjukkan keterlambatan b periode sebelum x
mempengaruhi y atau dapat dikatakan bahwa X
t
, pertama kali mempengaruhi Y
t+b
.
Jika persamaan 2.10 telah didefenisikan pada seluruh parameter telah diduga, maka selanjutnya ditentukan model peramalannya. Persamaan 2.10 dikalikan dengan
δ B dan ϕ B, akan menjadi : δB ΦB y
t
= Φ B ωBx
t-b
+ δB θBa
t
2.11 Sebagai contoh, untuk model yang sederhana 1,1,b 1,1 adalah :
1 – δ
1
B 1 – Φ
1
B y
t
= 1 – Φ
1
B ω
– ω
1
B x
t-b
+ 1 – δI
1
B 1 – θ
1
B a
1
Universitas Sumatera Utara
y
t
= δ
1
+ Φ
1
y
t-1
– δ
1
Φ
1
y
t-2
+ ω
x
t-b
– ω
Φ
1
+ ω
1
x
t-b-1
+ Φ
1
+ ω
1
x
t-b-2
+ a
1
– δ
1
+ θ
1
a
t-1
+ δ
1
+ θ
1
a
t-1
+ δ
1
θ
1
a
t-2
2.12 Dengan mengetahui nilai parameter dan nilai y,x dan a dapat dihitung nilai y pada
periode yang akan datang.
2.12 Tahapan Pembentukan Model Fungsi Transfer
