3.4 Trapezoidal bilangan fuzzy
Sebagai ilustrasi diberikan dengan number fuzzy trapezoidale, yang mana ditentukan quantities fuzzy dengan quadruple
, ,
,
4 3
2 1
r r
r r
dari crisp number sedenikian sehingga
4 3
2 1
r r
r r
≤
, dan membership function:
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎨ ⎧
≤ ≤
− −
≤ ≤
≤ ≤
− −
=
altfel r
x r
r r
r x
r x
r r
x r
r r
r x
x ,
, ,
1 ,
4 3
4 3
4 3
2 2
1 1
2 1
μ
3.21
Kita katakan bahwa fuzzy trapezoidal adalah suatu bilangan fuzzy triunghiular number jika
3 2
r r
=
, dinotasikan dengan triple
, ,
4 2
1
r r
r
. Ambil dua bilangan fuzzy trapezoidal
, ,
, ~
4 3
2 1
r r
r r
r =
dan
, ,
, ~
4 3
2 1
b b
b b
b =
, ditunjukan pada gambar 3.2 Jika
3 2
b r
≤
, maka diperoleh
{ }
{ }
y x
y x
b r
Pos
b r
≤ =
≤ }
, min{
sup ~
~
~ ~
μ μ
{ }
{ }
, 1
1 ,
1 min
, min
3 ~
2 ~
= =
≥ b
r
b r
μ μ
Dengan implikasi
1 }
~ ~
{ =
≤ b r
pos
. Jika
3 2
b r
≥
şi
4 1
b r
≤
maka supremum adalah titik
x
δ
yang merupakan hasil irisan dari dua membership function. Perhitungannya dapat dilakukan dengan menggunakan:
{ }
~ ~
1 2
3 4
1 4
r r
b b
r b
b r
Pos −
+ −
− =
= ≤
δ
dan
δ δ
1 2
1
r r
r
x
− +
=
~
x
b
μ
~
x
r
μ 1
δ 0 b
1
b
2
r
1
b
3
x
δ r
2
r
3
b
4
r
4
Figura 3.2: dua bilangan fuzzy trapezoidal
r~
şi
b ~
. Jika
4 1
b r
, maka untuk suatu
y x
, salah sau dari persamaan dapat diperoleh
,
~ ~
= =
y x
b r
μ μ
Jadi diberikan
{ }
~ ~
= ≤ b
r Pos
. Kita peroleh
{ }
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≥ ≤
≥ ≤
= ≤
4 1
4 1
3 2
3 2
, ,
, ,
1 ~
~ b
r b
r b
r b
r b
r Pos
δ
3.22 Secara khususl, untuk
b ~
adalah bilangan crisp 0, kitaperoleh
{ }
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≥ ≤
≤ ≤
= ≤
, ,
, 1
~
1 2
1 2
r r
r r
r Pos
δ
3.23 dimana
2 1
1
r r
r −
=
δ
3.24
Dari uraian di atas dapat dibuktikan lema berikut. Lema 2.1 Sudradjat [25, 26, 27, 28] Berikan bilangan fuzzy trapezoidal
4 3
2 1
, ,
, ~
r r
r r
r =
. Maka untuk confidence level
α
dengan
{ }
α α
≥ ≤
≤ ≤
~ ,
1 r
Pos
jika dan hanya jika
1
2 1
≤ +
− r
r
α α
.
Bukti. Jika
{ }
α
≥ ≤ 0
~ r
Pos
, maka
2
≤ r
atau
α
≥ −
2 1
1
r r
r
. Jika
2
≤ r
, maka
2 1
≤ r
r
sedemikian sehigga
1
2 1
≤ +
− r
r
α α
. Jika
α
≥ −
2 1
1
r r
r
, maka
2 1
1
r r
r −
≤
α
karena
2 1
r r
. Dari diperoleh
1
2 1
≤ +
− r
r
α α
. Jika
1
2 1
≤ +
− r
r
α α
, dapat di uraikan dalam dua kasus. Untuk
2
≤ r
, diperoleh
{ }
1 ~
= ≤
r Pos
, mengkibatkan
{ }
α
≥ ≤ 0
~ r
Pos
. Untuk
2
r
diperoleh
2 1
− r r
sehingga
1
2 1
≤ +
− r
r
α α
atau
α
≥ −
2 1
1
r r
r
, dengan kata lain,
{ }
α
≥ ≤ 0
~ r
Pos
. Lema terbukti. ▄
Dari operasi biner 2.13, kita peroleh jumlah dari trapezoidal fuzzy number
, ,
, ~
4 3
2 1
a a
a a
a =
şi
, ,
, ~
4 3
2 1
b b
b b
b =
, adalah
{ }
y x
z y
x z
b a
b a
+ =
=
+
} ,
min{ sup
~ ~
~ ~
μ μ
μ
=
⎪ ⎪
⎪ ⎩
⎪⎪ ⎪
⎨ ⎧
+ ≤
≤ +
+ −
+ +
− +
≤ ≤
+ +
≤ ≤
+ +
− +
+ −
lainnya b
a z
b a
b a
b a
b a
z b
a z
b a
b a
z b
a b
a b
a b
a z
, ,
3 ,
1 ,
4 4
3 3
4 4
2 3
4 4
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
Jika, jumlah dua trapezoidale fuzzy numbers adalah sama dengan trapezoidal fuzzy numbers, dan
, ,
, ~
~
4 4
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a
b a
b a
+ +
+ +
= +
. 3.25 Perkalian trapezoidal fuzzy numbers dengan skalar
λ
. adalah
{ }
x z
x z
a a
λ μ
μ
λ
= =
sup
~ ~
.
menghasilkan
⎩ ⎨
⎧ ≥
= ,
, ,
, ,
, ,
, ~
.
1 2
3 4
4 3
2 1
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
a a
a a
a a
a a
a
3.26 Perkalian trapezoidal fuzzy numbers dengan suatu skalar adalah satu trapezoidal fuzzy
numbers. Jumlah trapezoidal fuzzy numbers adalah sama dengan trapezoidal fuzzy. Sebagai contoh, asumsikan bahwa
i
a ~
adalah trapezoidale fuzzy numbers
, ,
,
4 3
2 1
i i
i i
a a
a a
, dan
i
λ
adalah bilangan skalar yang bersesuaian untuk
n i
,..., 2
, 1
=
. Definisikan
⎩ ⎨
⎧ ≥
=
+
, ,
, altfel
a dac
i i
i
λ λ
λ
⎩ ⎨
⎧ −
≥ =
−
, ,
, altfel
a dac
i i
i
λ λ
λ
untuk
n i
,..., 2
, 1
=
, makai
+
i
λ
dan
−
i
λ
adalah semuanya nonnegatif dan memenuhi
− +
− =
i i
i
λ λ
λ
. Jumlah dan perkalian trapezoidal fuzzy numbers, diperoleh
T
n i
i i
i i
n i
i i
i i
n i
i i
i i
n i
i i
i i
n i
i i
a a
a a
a a
a a
a a
⎟⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
= =
∑ ∑
∑ ∑
∑
= −
+ =
− +
= −
+ =
− +
=
1 1
4 1
2 3
1 3
2 1
4 1
1
~ .
~
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
LEMMA 3.2 Sudradjat [25] Asumsikan bahwa bilangan fuzzy trapezoidal
4 3
2 1
, ,
, ~
r r
r r
r =
. Maka untuk suatu confidence level
α
yang diberikan,
α α
≥ ≤
≤ ≤
~ ,
1 r
Pos
jika dan hanya jikaf
1
1 r
α
−
+
2
≤ r
α
. Himpunan level
λ
dari bilangan fuzzy
4 3
2 1
, ,
, ~
r r
r r
r =
adalah crisp subset dari R dan dinotasikan
} ,
{ ]
~ [
R x
x x
r ∈
≥ =
λ μ
λ
, dengan mengacu pada Carlsson dkk. [4], diperoleh
] ,
[ }
, {
] ~
[
3 4
4 1
2 1
r r
r r
r r
R x
x x
r −
− −
+ =
∈ ≥
=
λ λ
λ μ
λ
. Berikan
] ,
[ ]
~ [
2 1
λ λ
λ
a a
r =
, nilai rata-rata crisp possibilistik dari
4 3
2 1
, ,
, ~
r r
r r
r =
adalah
∫
+ =
1 2
1
~ ~
λ λ
λ λ
d a
a r
E
, dimana
E ~
menotasikan fuzzy mean operator. Dapat dilihat bahwa jika
4 3
2 1
, ,
, ~
r r
r r
r =
adalah trapezoidal fuzzy number maka 3.8
6 3
~ ~
4 1
3 2
1 3
4 4
1 2
1
r r
r r
d r
r r
r r
r r
E +
+ +
= −
− +
− +
=
∫
λ λ
λ λ
. Buktikan
BAB IV FUZZY LOGIC
Kategori