Fungsi segitiga
⎪ ⎪
⎩ ⎪⎪
⎨ ⎧
≤ ≤
− −
≤ ≤
− −
= c
u for
c u
b for
b c
u c
b u
a for
a b
a u
a u
for c
b a
u T
; ;
;
3.3. Teori possibilistik
Fungsi keanggotaan fuzyy adalah berbeda dengan distribusi probabilitas statistik. Sebagai ilustrasi berikut yang disebut egg-eating example, Jantzen [7], Tanaka, Guo dan Türksen [31]
Zadeh in Zimmermann [35] Berikut pernyataan ”Hans makan
X
telor untuk sarapan pagi”, dimana
} 8
, 7
, 6
, 5
, 4
, 3
, 2
, 1
{ =
∈U X
. Akan diperlihatkan asosiasi distribusi probabilitas
p
dengan observasi ”Hans makan sarapan pagi ” untuk 100 hari,
] 8
7 6
5 4
3 2
1 [
= U
] 1
. 8
. 1
. [
= p
Himpunan fuzzy mengekspresikan derajat dari kasus dengan pernyataan bahwa Hans dapat makan
X
telor disebut distribusi possibilistik
π
:
] 8
7 6
5 4
3 2
1 [
= U
] 2
. 4
. 6
. 8
. 1
1 1
1 [
= p
Dimana possibilistik untuk
3 =
X
adalah 1, dan probalilitas adalah hanya 1. Dasar dari konsep dan teknik dari teori possibility dikemukakan oleh Zadeh [36],
possibility dari a lebih kecil atau sama dengan b didefinisikan sebagai berikut: Dubois dan Prade [3],
Pos
∈ =
≤ y
x y
x b
a
b a
, ,
sup{min ~
~
~ ~
μ μ
r
} ,
y x
≤
, 3.9 dimana Pos adalah posibility. Dengan kata lain bahwa posibilistik
b a
~ ~ ≤
adalah lebih besar dimana terdapat lebih kecil dari nilai
∈ y
x ,
r sedemikian sehingga
y x
≤
, dan nilai dari
a ~
dan
b ~
berkorespondensi dengan x dan y. Dengan cara yang sama untuk, posibilistik
b a
~ ~
didefinisikan
Pos
∈ =
y x
y x
b a
b a
, ,
sup{min ~
~
~ ~
μ μ
r
} ,
y x
, 3.10 Posibilistik
b a
~ ~ =
didefinisikan Pos
∈ =
= x
x x
b a
b a
, sup{min
~ ~
~ ~
μ μ
r, 3.11 Dalam kenyataanya, ketika
b ~
adalah suatu bilangan crisp invariable b, didapat
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
= =
∈ =
≤ ∈
= ≤
} ~
} ,
sup{ }
~ {
} ,
sup{ }
~ {
~ ~
~
b b
a Pos
b x
x x
b a
Pos b
x x
x b
a Pos
a a
a
μ μ
μ R
R
3.12 Untuk
r R
R →
× :
f
suatu operasi dengan bilangan biner dari himpunan fuzzy. Jika dinotasikan bilangan fuzzy
b a
~ ,
~
bilangan
~ ,
~ ~
b a
f c
=
, maka fungsi keanggotaan
c~
μ
dapat diurunkan dari fungsi keanggoaan
a ~
μ
dan
b ~
μ
dengan
} ,
, ,
, sup{min
~ ~
~
y x
f z
y x
y x
z
b a
c
= ∈
= R
μ μ
μ
3.13 Untuk suatu
R ∈
z
. Jadi, posibilistik bahwa bilangan fuzzy
~ ,
~ ~
b a
f c
=
mempunyai nilai
R ∈
z
adalah lebih besar dari kombinasi kemungkinan dari bilangan riil x,y sedemikian z = fx,y, dimana nilai
a ~
dan
b ~
berturut-turut x dan y. Secara umum, ambil
r R
→
n
f :
suatu fungsi dengan nilai riil pada ruang euclidian n- dimensi. Jika untuk bilangan fuzzy
n
a a
a ~
,..., ~
, ~
2 1
berikan bilangan fuzzy
~ ,...,
~ ,
~ ~
2 1
n
a a
a f
c =
, maka fungsi keanggotaan
c
~
μ
adalah diurunkan dari fungsi keanggotaan
n
a a
a ~
~ ~
,..., ,
2 1
μ μ
μ
sebagai berikut:
. ,...,
, ,...,
2 ,
1 ,
min sup
2 1
~ 1
~
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
= =
∈ =
≤ ≤
n i
i a
n x
c
x x
x f
z n
i x
x z
i
r μ
μ
3.14 Jadi posibilistik
b a
a a
f
n
≤ ~
,..., ~
, ~
2 1
didefinisikan Pos{
b a
a a
f
n
≤ ~
,..., ~
, ~
2 1
}= sup{
b z
z z
c
≤ ∈ ,
~
r
μ
} 3.15
dimana fungsi keanggotaan
c~
μ
didefinisikan pada 2.14. Dengan kata lain, posibilistik
b a
a a
f
n
≤ ~
,..., ~
, ~
2 1
diberikan Pos{
b a
a a
f
n
≤ ~
,..., ~
, ~
2 1
}=
. ,...,
, ,...,
2 ,
1 ,
min sup
2 1
~ 1
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
≤ =
∈
≤ ≤
b x
x x
f n
i x
x
n i
i a
n x
i
r μ
3.16
Secara umum, asumsikan bahwa
r R
→
n j
f :
adalah fungsi dengan nilai riil pada ruang euclidian n- dimensi, j = 1,2,…,m. Maka posibilistik suatu sistem pertidaksamaan
m j
b a
a a
f
j n
j
,..., 3
, 2
, 1
, ~
,..., ~
, ~
2 1
= ≤
3.17 dimana
m j
b
j
,..., 3
, 2
, 1
, =
adalah bilangan crisp crispnumber, didefinisikan:
n i
n
m j
b x
x x
f x
m j
b a
a a
f Pos
j n
j i
a n
i x
x x
n j
⎭⎬ ⎫
⎩⎨ ⎧
= ≤
= =
= ≤
≤ ≤
,.., 2
, 1
, ,...,
, min
sup }
,..., 2
, 1
, ~
,..., ~
, ~
{
2 1
~ 1
,... ,
2 1
2 1
μ
3.18
Pengertian dari sistem pertidaksamaan adalah banyak kemungkinan
n 2
1
,..., ,
r ∈
n
x x
x
untuk sistem pertidaksamaan dan nilai dari
i
a ~
yang berasosiasi dengan
n i
x
i
,..., 2
, 1
, =
. Dengan cara yang sama diperoleh,
{ }
m j
b x
x x
f x
m j
b a
a a
f Pos
j n
j i
a n
i x
x x
n j
i n
,..., 2
, 1
, ,...,
, min
sup }
,..., 2
, 1
, ~
,..., ~
, ~
{
2 1
~ 1
,..., ,
2 1
2 1
= =
= =
≤
≤ ≤
μ
3.19 dan
⎭⎬ ⎫
⎩⎨ ⎧
= =
= =
= =
≤ ≤
m j
b x
x x
f x
m j
b a
a a
f Pos
j n
j i
a n
i x
x x
n j
i n
,..., 2
, 1
, ,...,
, min
sup }
,..., 2
, 1
, ~
,..., ~
, ~
{
2 1
~ 1
,..., ,
2 1
2 1
μ
3.20
Juga dengan cara yang sama bentuk dari gabungan peridaksamaan dan bersamaan.
3.4 Trapezoidal bilangan fuzzy
Kategori