Tujuan Formula Diferensiasi Numerik
2
Pengembangan Deret Tylor untuk mendapatkan formula diferensial numerik dilakukan dengan memanipulasi koefisien-koefisien suku deret kemudian dilanjutkan
dengan operasi penjumlahan atau pengurangan untuk mendapatkan formulasi yang dikehendaki. Berikut adalah contoh penurunan formula Diferensial-Pusat 3 Titik DP3
dengan deret Tylor :
Penyusunan kembali persamaan 1.5 diperoleh persamaan :
Formula pendekatan turunan pertama berdasarkan persamaan 1.6 adalah:
dengan kesalahan pemotongan suku = Diferensial-pusat berarti nilai absis yang akan dicari turunannya berada di pusat atau
ditengah-tengah lihat Gambar 1.
Penurunan formula diferensial numerik melalui metode ekspansi Lagrange dilakukan dengan menurunkan langsung persamaan 1.2 sesuai dengan orde turunannya. Ekspansi
Lagrange biasanya digunakan untuk menurunkan formula diferensial- ke depan forward atau diferensial ke belakang backward.
......... x
f h
x f
h x
hf x
f h
x f
3 3
2
3 2
......... x
f h
x f
h x
hf x
f h
x f
3 3
2
3 2
1.5 .........
x f
h x
hf h
x f
h x
f
3 2
3 2
2
x-h x x+h fx
x fx
fx+h fx-h
Gambar 1. Diferensial-Pusat 3 Titik
Titik yang dicari nilai turunannya
1.6 ........
x f
h h
h x
f h
x f
x f
3
3 2
1.7 h
h x
f h
x f
x f
2
........
x f
h
3
3
3
Tabel 1 menunjukkan formula diferensial numerik untuk orde satu sampai orde empat yang diperoleh dengan pengembangan deret Tylor maupun deret Lagrange.
Tabel 1. Formula diferensial numerik a. Diferensial Pertama
b. Diferensial orde tinggi
DP3 Tititik
3 Pusat
Difrensial 2
h h
fx fx
2 h
fx x
f
DP5 Tititik
5 Pusat
l Diferensia
2 12h
2h fx
h fx
16 fx
30 h
fx 16
2h fx
x f
DD3 Titik
3 Depan
ke l
Diferensia 2h
2h fx
h fx
4 fx
3 x
f
DB3
Titik 3
Belakang ke
l Diferensia
2h 2h
fx h
fx 4
fx 3
x f
2 h
fx 2
h fx
5 2h
fx 4
3h fx
x f
2
h 3h
fx 2h
4fx h
5fx 2fx
x f
DP5 Titik
5 Pusat
l Diferensia
12h 2h
fx h
fx 8
h fx
8 2h
fx x
f
DP3
Titik 3
Pusat l
Diferensia 2h
h fx
h fx
x f
3 8h
3h -
fx h
x f
h x
f h
fx 2h
fx 3h
fx x
3 f
2 8
13 13
8
3 2h
4h x
h x
f h
fx h
fx fx
x 3
f
3
3 14
2 24
18 5
3 2h
4h x
h x
f h
fx h
- fx
fx x
3 f
3 3
14 2
24 18
5
4 6h
3h -
fx h
x f
h x
f x
f h
fx 2h
fx 3h
fx x
4 f
2
12 39
56 39
12
4 h
5h 2fx
- 4h
x f
h x
f h
fx h
fx -
fx x
4 f
11
3 24
2 26
14 3
4 h
5h 2fx
- 4h
x f
h x
f h
fx h
- fx
- fx
x 4
f
11
3 24
2 26
14 3
4