14
Interval integrasi a sampai b dibagi n segmen dengan masing-masing segmen h = b-a3
Menggunakan 4 titik absis : x
o
, x
1
, x
2
dan x
3
Fungsi integran merupakan polinomial Lagrange orde tiga Nilai integrasi :
2.8
f. Metode Simpson 38 Segmen Berganda
Interval integrasi a sampai b dibagi n segmen dengan masing-masing segmen h = b-an
Nilai integrasi merupakan jumlah dari seluruh segmen :
2.9
Integrasi Romberg
Gambar 9. Metode Simpson 38 tunggal x
o
a x
1
fx
x h
x
2
h h
x
3
b
x f
x f
3 x
f 3
x f
8 h
3 I
dx x
f dx
x f
I
3 2
1 o
x x
3 x
x
2 o
2 o
x f
x f
2 x
f 3
x f
8 h
3 I
x f
x f
3 x
f 3
x f
8 h
3 ......
x f
x f
3 x
f 3
x f
8 h
3 x
f x
f 3
x f
3 x
f 8
h 3
x f
x f
3 x
f 3
x f
8 h
3 I
dx x
f .....
dx x
f dx
x f
dx x
f dx
x f
dx x
f I
n 1
n 3
tan pa
keli i
1 i
1 n
3 tan
pa keli
i 3
i i
i o
n 1
n 2
n 3
n 9
8 7
6 6
5 4
3 3
2 1
o x
x x
x x
x 3
3 3
x x
x x
3 3
b a
6 3
9 6
n 3
n n
o 3
o
Gambar 8. Metode Simpson 13 segmen berganda x
o
x
2
x
n
x
n-2
x
3
x
1
fx
x
h h
h h
h h
h h
x
n-1
x
n-3
15
Integrasi Romberg didasarkan pada pemakaian beruntun aturan trapezium. Metode untuk memperoleh nilai taksiran integral dilkakukan dengan menggunakan dua taksiran
integral lainnya untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Metode ini disebut ektrapolasi Richardson.
Taksiran dan ralat dalam metode trapezium segmen berganda dapat dinyatakan secara umum sebagai beikut :
I = Ih + Eh 2.10 dengan I adalah harga eksak integral, Ih adalah nilai pendekatan untuk penggunaan n
segmen dari metode trapezium dengan h = b-an , dan Eh adalah ralat pemotongan. Jika kita menggunakan dua ukuran langkah h
1
dan h
2
makan nilai integrasi untuk ukuran langkah h
2
adalah : I = Ih
2
+ Eh
2
2.11 dengan
2.12
yang diperoleh dengan menggabungkan penggunaan ukuran langkah h
1
. Substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11 diperoleh nilai taksiran integrasi :
2.13 Untuk kasus h
2
= h
1
2, persamaan 59 menjadi :
2.14 Bentuk umum integrasi Romberg adalah:
2.15 dengan :
I
j,k
= integral yang telah diperbaiki I
j+1,k-1
= integral yang lebih baik I
j,k-1
= integral yang kurang akurat j = terkait dengan jumlah segmen ; j =1 untuk 1 segmen, j =2 untuk 2 segmen, j =
3 untuk 4 segmen, dan seterusnya; jumlah segmen = 2
j-1
k = tingkat integrasi ; k =1 bersesuaian dengan kesalahan untuk segmen tunggal Berdasarkan persamaan 2.15 terlihat bahwa nilai integrasi yang telah diperbaiki
memerlukan dua nilai integrasi yang kurang akurat. Hubungan tersebut sering disebut hubungan rekursi. Hubungan rekursif integrasi Romberg ditampilkan pada tabel berikut:
2 2
1 2
1 2
h h
1 h
I h
I h
E
2 2
1 2
1 2
h h
1 h
I h
I h
I I
h I
3 1
h I
3 4
I h
I h
I 1
2 1
h I
I
1 2
1 2
2 2
1 4
I I
4 I
I
1 k
1 k
, j
1 k
, 1
j 1
k k
, j
