5 Menurut [12], dalam mempelajari graf, terdapat beberapa istilah dasar
yang familiar dengan graf. Berikut beberapa istilah yang sering dipakai: a.
Tetangga, Menempel, dan Titik Ujung Dua titik u dan v dalam sebuah graf tak berarah G disebut
tetangga di dalam G jika uv merupakan sebuah sisi di G. Jika e = uv, sisi e tersebut disebut menempel dengan titik u dan v. Jika sisi e
menghubungkan titik u dan v. Titik u dan v disebut titik ujung dari sisi e.
Pada Gambar 2.1. v
1
bertetangga dengan v
2
tetapi tidak bertetangga dengan v
5
, dan e
3
menempel pada v
4
dan v
5
, sedangkan v
4
dan v
5
merupakan titik ujung dari e
3
.
b. Derajat
Derajat sebuah titik pada suatu graf tak berarah merupakan jumlah dari sisi yang menempel terhadapnya, kecuali loop yang
dihitung 2 pada titik tersebut. Derajat dari sebuah titik v dinotasikan sebagai dv. Pada Gambar 2.1. dv
1
= 2 dan dv
4
= 1.
2.2. Jalan, Lintasan, dan Lintasan Tertutup
Jalan pada graf G = V, E merupakan sebuah barisan titik-titik v
, v
1
, …, v
k
∈ V Sedemikian sehingga v
i-1
v
i
adalah sisi di G untuk setiap i
= 1, …, k. Dengan kata lain, jalan berawal dari v sampai v
k
. Jalan yang
6 semua titiknya berbeda disebut lintasan, dan jika seluruh titik-titiknya
berbeda kecuali v = v
k
, maka jalan tersebut dinamakan lintasan tertutup.
Gambar 2.2. Graf G
Pada Graf di atas, 5 – 3 – 4 – 5 – 1 – 2 merupakan jalan tetapi
bukan merupakan lintasan ataupun lintasan tertutup. Kemudian jalan 5 – 1
– 4 – 3 – 2 merupakan lintasan, dan ketika jalan 5 – 1 – 4 – 5 maka akan menjadi lintasan tertutup.
2.3. Graf Terhubung
Sebuah graf G = V, E disebut graf terhubung ,
jika untuk setiap pasang titik u
dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika
tidak, maka graf G tersebut disebut graf tak terhubung. Graf yang hanya terdiri atas satu titik saja tanpa sisi tetap dikatakan terhubung, karena
titik tunggalnya terhubung dengan dirinya sendiri.
1
2
3 4
5
7
Gambar 2.3. a Graf Terhubung b Graf Tak-Terhubung
2.4. Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori atau jenis bergantung pada sudut pandang pengelompokkannya. Menurut [12], berdasarkan
ada tidaknya loop atau sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat digolongkan menjadi tiga jenis:
1. Graf sederhana
Sebuah graf G = V, E merupakan graf sederhana apabila graf tersebut tidak memiliki sisi ganda maupun loop.
Gambar 2.4. Graf Sederhana
a b
v
1
v
2
v
4
v
3
v
5
v
1
v
2
v
4
v
3
v
5
v
6
v
7
v
9
v
8
v
10
Graf G Graf H
8
2. Graf Ganda
Sebuah graf G = V, E merupakan graf ganda apabila graf tersebut memiliki sisi ganda.
Gambar 2.5. Graf Ganda
3. Graf Semu
Sebuah graf G = V, E merupakan graf semu apabila graf tersebut memiliki loop termasuk apabila graf tersebut memiliki sisi ganda.
Gambar 2.6. Graf Semu
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis:
9
1. Graf Tak-Berarah
Graf tak-berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang
dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, uv = vu adalah sisi yang
sama.
2. Graf Berarah
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, u,v dan v,u menyatakan dua buah sisi yang
berbeda, dengan kata lain u,v ≠ v,u. Untuk sisi u,v, simpul u
dinamakan titik asal dan simpul v dinamakan titik terminal. Pada graf
berarah, loop diperbolehkan, tetapi sisi ganda tidak diperbolehkan.
Gambar 2.7. Graf Berarah
e
1
e
2
e
4
e
2
10
2.5. Pemetaan
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu
elemen di himpunan B disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B diberi notasi
�, yaitu: � : A → B. Selanjutnya himpunan A disebut sebagai daerah asal dan himpunan B
disebut daerah kawan. Secara umum, pemetaan dapat digolongkan menjadi 3 golongan sebagai
berikut :
1. Pemetaan Injektif Pemetaan Satu-satu
Sebuah pemetaan dikatakan pemetaan injektif, jika dan hanya jika � = � mengantarkan kepada x = y untuk setiap x dan y pada domain
�. Secara matematika dapat dituliskan sebagai berikut: � : A → B satu-satu ↔ ∀ , ∈ , � = � → =
Gambar 2.8. Pemetaan Injektif
a b
c d
1 2
3 4
5
A B
11
2. Pemetaan Surjektif Pemetaan Pada
Sebuah pemetaan dari A ke B disebut dengan pemetaan surjektif, jika dan hanya jika untuk setiap elemen b
∈ maka akan terdapat emelen a
∈ dengan � = . Secara matematika dapat ditulis � : A → B pada ↔ ∀ ∈ , ∃ ∈ , � =
Gambar 2.9 . Pemetaan Surjektif
3. Pemetaan Bijektif Pemetaan Korespondensi Satu-Satu
Sebuah pemetaan yang memenuhi pemetaan injektif dan surjektif dinamakan pemetaan bijektif korespondensi satu-satu. Setiap domain
akan berkorespondensi secara unik ke elemen kodomain dan sebaliknya.
Gambar 2.10. Pemetaan Bijektif
A B
1 2
3 4
a b
c d
e
a b
c d
e 1
2 3
4 5
A B
12
BAB III
PELABELAN GRAF
Pelabelan pada suatu graf merupakan pemetaan yang memasangkan setiap titik, setiap sisi, ataupun keduanya dengan bilangan bulat positif, dengan suatu
keadaan tertentu [4]. Jika domain dari pemetaan adalah himpunan titik maka dinamakan pelabelan titik, serta jika pemetaan dilakukan dengan himpunan sisi
sebagai domain maka dinamakan pelabelan sisi dan jika pemetaan yang dilakukan dengan domain titik dan sisi maka dinamakan pelabelan total [10].
Satu contoh terkenal pada pelabelan adalah pelabelan yang dilakukan oleh Stewart pada sisi kubus. Perhatikan bahwa untuk setiap titik, penjumlahan sisi
yang insident terhadap titik tersebut bernilai 83. Terlebih lagi, label semua sisi berbeda dan semuanya merupakan bilangan prima [4].
Gambar 3.1. Kubus Stewart
12
3
11 43
19
53 29
13 17
41 5
61 3
7
d a
c e
f
h g
b
13 Pelabelan pada kubus yang dilakukan oleh Stewart diatas termasuk ke
dalam pelabelan sisi. Sedangkan untuk pelabelan titik dan total dapat dilihat pada Gambar 3.2 di bawah ini.
Gambar 3.2. a Pelabelan Titik b Pelabelan Total
Pelabelan titik diatas merupakan pelabelan titik dengan kondisi penjumlahan setiap titik yang berdekatan mempunyai beda 1 dengan penjumlahan
titik yang berdekatan berikutnya. Sedangkan pada pelabelan total diatas, kondisi pelabelan yaitu penjumlahan label pada suatu titik dengan sisi yang insiden
terhadapnya mempunyai beda 1 dengan titik berikutnya.
3.1. Definisi Pelabelan Graceful
Sebuah graf sederhana G = V, E dengan n titik dan m sisi dikatakan graceful, apabila graf G tersebut dapat dilabeli dengan pemetaan bijektif f : VG
→ {1, 2, … , n} dan g : EG → {1, 2, … , m}, dengan kondisi label setiap sisi merupakan selisih antara label pada dua titik ujungnya.
v
1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6
v
7
v
1
v
2
v
3
2
3
4 7
6
5 1
3
2 1
4 5
6
a b
14 Menurut [4], jika sebuah graf tree mempunyai sebanyak n titik dan
� − 1 sisi. Maka jika dapat melabeli setiap titik pada tree tersebut
dengan 1, 2, 3, …, n dan setiap sisinya dengan 1, 2, 3, .., n
– 1, dengan kondisi label setiap sisi merupakan beda selisih dari dua titik ujungnya, maka graf tree tersebut
dinyatakan sebagai graceful.
Gambar 3.3. Pelabelan graceful
Pelabelan graceful dari graf tree dengan jumlah 9 titik, maka pelabelan dilakukan dengan pelabelan titik adalah 1, 2, 3, .., 9 serta pelabelan sisi adalah
1, 2, 3, …, 8.
3.2. Definisi Pelabelan Konsekutif
