14 Menurut [4], jika sebuah graf tree mempunyai sebanyak n titik dan
� − 1 sisi. Maka jika dapat melabeli setiap titik pada tree tersebut
dengan 1, 2, 3, …, n dan setiap sisinya dengan 1, 2, 3, .., n
– 1, dengan kondisi label setiap sisi merupakan beda selisih dari dua titik ujungnya, maka graf tree tersebut
dinyatakan sebagai graceful.
Gambar 3.3. Pelabelan graceful
Pelabelan graceful dari graf tree dengan jumlah 9 titik, maka pelabelan dilakukan dengan pelabelan titik adalah 1, 2, 3, .., 9 serta pelabelan sisi adalah
1, 2, 3, …, 8.
3.2. Definisi Pelabelan Konsekutif
Sebuah graf sederhana G = V, E dengan n titik dan m sisi dikatakan konsekutif, apabila graf G tersebut dapat dilabeli dengan pemetaan bijektif
λ : VG ∪ EG → {1, 2, 3, … , n + m}, dengan kondisi label setiap sisi merupakan selisih antara label pada dua titik ujungnya.
7
2 1
3 6
5 4
8
2 4
3 6
9 8
7
1 5
15 Jika setiap titik dan sisi pada graf tree diatas dapat dilabeli dengan
1, 2, 3, …, 2n – 1, dengan kondisi pelabelan sisi merupakan selisis dari label dua titik ujungnya, maka graf tree tersebut dinyatakan sebagai kosekutif. Sebagai
contoh jika graf tree pada gambar 3.3 dapat dilabeli dengan pelabelan titik dan sisi 1, 2, 3, .., 17, maka graf tree tersebut disebut konsekutif.
Gambar 3.4. Pelabelan konsekutif
Dengan demikian, perbedaan antara pelabelan graceful dan pelabelan konsekutif terletak pada himpunan asalnya.
3.3. Graf Lintasan
Graf lintasan P
n
merupakan graf terhubung sederhana yang tediri dari path tunggal. Graf lintasan dengan n titik memiliki n
– 1 sisi. Graf lintasan P
n
juga merupakan tree dengan 2 titik berderajat satu, serta n
– 2 titik berderajat dua. Graf lintasan P
1
sama dengan graf lengkap K
1.
3 1
2 4
7 6
11 10
9 8
12 14
17 16
15
5 13
16
Gambar 3.5. Graf Lintasan
P
2
P
3
P
4
P
5
P
1
17
BAB IV
PELABELAN GRACEFUL DAN KONSEKUTIF
PADA GRAF LINTASAN P
n
Pelabelan graceful pada graf lintasan P
n
dengan n titik, maka pelabelan akan dilakukan dengan melabeli titik dengan 1, 2, 3,
…, n dan melabeli sisi dengan 1, 2, 3, …, n – 1. Label sisi merupakan selisih dari titik ujungnya.
Gambar 4.1. Graf lintasan
Secara umum pelabelan graceful pada graf lintasan P
n
dengan n titik dapat dituliskan sebagai berikut:
Gambar 4.2. Pelabelan graceful
Teorema berikut menunjukkan bahwa graf lintasan P
n
dapat dituliskan sebagai berikut:
v
1
v
2
v
3
⋯
v
n – 1
v
n
v
1
v
2
v
n – 1
v
n
v
2
v
3
v
1
v
2
v
3
⋯
v
n – 1
v
n
|v
1
– v
2
| |v
n – 1
– v
n
| |v
2
– v
3
|
17
18
Teorema 4.1. Graf lintasan P
n
adalah graceful untuk n ganjil.
Bukti :
Definisikan label untuk titik
– titik dari graf lintasan P
n
sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut : �
1
�
�
�
�+1
= � − �
, � = 1, 2, 3, … , � − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan P
n
dengan � = 1, 2, 3, … , � − 1. Akan
dibuktikan bahwa � �
�
− � �
�+1
= |� − �| adalah benar.
a. � −
�−1 2
− 1 +
�−2 2
= � −
�−1 2
− 1 +
�+1 −2 2
= � −
� 2
+ 1
2 − 1 −
� 2
+ 1
2 = |
� − �|
b. 1 +
�−2 2
− � −
�−1 2
= | 1 +
�−2 2
− � −
�+1−1 2
|
= 1 +
� 2
− 1 − � + �
2 =
� − � = |� − �| �
1
�
�
=
� − � − 1
2 , � = 1, 3, 5, … , �
1 + � − 2
2 , � = 2, 4, 6, … , � − 1
19 Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan P
n
dengan n ganjil merupakan graf graceful.
Teorema 4.2. Graf lintasan P
n
adalah graceful untuk n genap.
Bukti :
Definisikan label untuk titik
– titik dari graf lintasan P
n
sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut : �
2
�
�
�
�+1
= � − �
, � = 1, 2, 3, … , � − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan P
n
dengan � = 1, 2, 3, … , � − 1. Akan
dibuktikan bahwa � �
�
− � �
�+1
= |� − �| adalah benar.
a. � −
�−1 2
− 1 +
�−2 2
= � −
�−1 2
− 1 +
�+1 −2 2
= � −
� 2
+ 1
2 − 1 −
� 2
+ 1
2 = |
� − �| �
2
�
�
=
� − � − 1
2 , � = 1, 3, 5, … , � − 1
1 + � − 2
2 , � = 2, 4, 6, … , �
20 b.
1 +
�−2 2
− � −
�−1 2
= | 1 +
�−2 2
− � −
�+1−1 2
|
= 1 +
� 2
− 1 − � + �
2 =
� − � = |� − �|
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan P
n
dengan n genap merupakan graf graceful.
Contoh pelabelan graceful
Gambar 4.3. Contoh Pelabelan Graceful
6 1
5 4
3 5
1 4
3 2
2 3
1 2
2 1
P
3
4 1
3 3
2 1
2
P
4
5 1
4 3
4 3
2 1
2
P
5
P
6
21
Teorema 4.3. Graf lintasan P
n
adalah konsekutif untuk n ganjil.
Bukti :
Definisikan label untuk titik
– titik dari graf lintasan P
n
sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut : �
3
�
�
�
�+1
= � − �
, � = 1, 2, 3, … , � − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan P
n
dengan � = 1, 2, 3, … , � − 1. Akan
dibuktikan bahwa � �
�
− � �
�+1
= |� − �| adalah benar.
a. 2� − 1 −
�−1 2
− � +
�−2 2
= 2� − 1 −
�−1 2
− � +
�+1 −2 2
= 2� − 1 −
� 2
+ 1
2 − � −
� 2
+ 1
2 = |
� − �|
b. � +
�−2 2
− 2� − 1 −
�−1 2
= � +
�−2 2
− 2� − 1 −
�+1−1 2
= � +
� 2
− 1 − 2� + 1 + �
2 =
� − � = |� − �| �
3
�
�
=
2 � − 1
− � − 1
2 ,
� = 1, 3, 5, … , �
� + � − 2
2 , � = 2, 4, 6, … , � − 1
22 Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan P
n
dengan n ganjil merupakan graf konsekutif.
Teorema 4.4. Graf lintasan P
n
adalah konsekutif untuk n genap.
Bukti :
Definisikan label untuk titik
– titik dari graf lintasan P
n
sebagai berikut :
Setelah label titik diperoleh, pelabelan sisi – sisinya akan berpola sebagai
berikut : �
4
�
�
�
�+1
= � − �
, � = 1, 2, 3, … , � − 1
Ambil sebarang i pada graf lintasan P
n
dengan � = 1, 2, 3, … , � − 1. Akan
dibuktikan bahwa � �
�
− � �
�+1
= |� − �| adalah benar.
a. 2� − 1 −
�−1 2
− � +
�−2 2
= 2� − 1 −
�−1 2
− � +
�+1 −2 2
= 2� − 1 −
� 2
+ 1
2 − � −
� 2
+ 1
2 = |
� − �| �
4
�
�
= 2� − 1 −
� − 1 2
, � = 1, 3, 5, … , � − 1
� + � − 2
2 , � = 2, 4, 6, … , �
23
b. � +
�−2 2
− 2� − 1 −
�−1 2
= � +
�−2 2
− 2� − 1 −
�+1−1 2
= � +
� 2
− 1 − 2� + 1 + �
2 =
� − � = |� − �|
Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa label titik dan label sisi
memenuhi pemetaan bijektif. Jadi graf lintasan P
n
dengan n genap merupakan graf konsekutif.
Contoh pelabelan konsekutif
Gambar 4.4. Contoh Pelabelan Konsekutif
5 3
4 2
1
P
3
7 4
6 3
2 1
5
P
4
9 5
8 7
4 3
2 1
6
P
5
11 6
10 9
8 7
P
6
5 1
4 3
2
24
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1. Kesimpulan
