121
BAB V PENERAPAN DIFFERENSIASI
5.1 Persamaan garis singgung
Bentuk umum persamaan garis adalah y = mx + n, dimana m adalah koeffisien arah atau kemiringan garis dan n adalah penggal garis. Sekarang perhatikan
Gambar 5.1.
Kemiringan garis
l
1
adalah x
y m
1
D D
= .
Jika Dx ® 0, maka : dx
dy x
y lim
m m
x 1
= D
D =
=
® D
.
Jadi dapat disimpulkan bahwa kemiringan garis yang menyinggung titik x,y pada fx adalah :
x f
dx dy
m =
= 5.1
Jika garis tersebut menyinggung titik Px
1
,y
1
maka kemiringannya adalah : x
f dx
dy m
1 x
x
1
= =
=
5.2
Contoh 5.1 Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y = x
2
+ x -3 di titik P2,3 Penyelesaian :
Dx = dx
l
1
fx
l
fx + Dx fx
Dy dy
y
x x+Dx x
Gambar 5.1
122
y = x
2
+ x -3 ®
1 x
2 dx
dy +
= Kemiringan garis singgung yang menyinggung titik P2,3 adalah :
5 1
2 2
dx dy
m
2 x
= +
= =
=
Persamaan garis : y = mx + n. Karena menyinggung titik P2,3 maka : 3 = 52 + n
® n = -7. Jadi garis singgung yang menyinggung titik P2,3 adalah :
y = 5x – 7
5.2 Persamaan garis normal
Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung. Dari pembahasan terdahulu kita telah mengetahui bahwa dua garis dikatakan saling
tegak lurus jika perkalian kemiringan garisnya sama dengan -1; atau dalam bentuk rumus dapat ditulis menjadi :
m
1
.m
2
= -1 atau
1 2
m 1
m -
= 5.3
dimana m
1
adalah kemiringan garis singgung dan m
2
adalah kemiringan garis normalnya.
Contoh 5.2
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik 1,6 pada kurva : y = 3x
2
– 2x + 5 Penyelesaian :
2 x
6 dx
dy -
= ; m
1
= 4
2 1
6 dx
dy
1 x
= -
=
=
; m
2
= 4
1 m
1
1
- =
- Jadi : - Persamaan garis singgung :y
1
= m
1
x
1
+ n
1
® y
1
= 4x
1
+ 2 - Persamaan garis normal :y
2
= m
2
x
2
+ n
2
® y
2
= 4
1 -
x
2
+ 4
25
Contoh 5.3
Jika diketahui persamaan parameter t
1 t
x -
= dan y = 3t
2
, tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung pada t = 2.
Penyelesaian : Titik singgung untuk t = 2 adalah -2,12
2
t 1
1 dt
dx -
= ;
t 6
dt dy
= ;
2
t 1
t 6
dx dy
- =
12 2
1 2
6 dx
dy m
2 2
t 1
= -
= =
=
; 12
1 m
1 m
1 2
- =
- =
123
Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36 garis normal : y =
6 71
x 12
1 +
-
Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :
a 1
x 2
1 y
2
+ -
= di titik
2 1
, 1
b x
2
– xy
2
+ 3y
2
= 13 di titik P2,3 2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari
fungsi parameter : 1
t titik
di 1
t 1
t y
1 t
t x
2
= ï
ï î
ï ï
í ì
+ -
= +
=
5.3 Kelengkungan Curvature
Kategori