123
Jadi persamaan : garis singgung : y = 12x + 36 garis normal : y =
6 71
x 12
1 +
-
Soal-soal 1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva :
a 1
x 2
1 y
2
+ -
= di titik
2 1
, 1
b x
2
– xy
2
+ 3y
2
= 13 di titik P2,3 2. Tentukan persamaan garis singgung, garis normal dan titik singgung dari
fungsi parameter : 1
t titik
di 1
t 1
t y
1 t
t x
2
= ï
ï î
ï ï
í ì
+ -
= +
=
5.3 Kelengkungan Curvature
Besarnya kelengkungan suatu kurva di titik tertentu dipengaruhi seberapa cepatnya perubahan arah dari kurva di titik tersebut. Jika perubahan arah suatu
kurva di titik tertentu terjadi secara berangsur-angsur maka harga kelengkungannya besar. Sebaliknya jika perubahan arah kurva terjadi secara
mendadak maka kelengkungannya kecil. 5.3.1 Jari-jari kelengkungan
Pada Gambar 5.2 dapat dilihat bahwa garis normal CP dan CQ berpotongan di titik C. Panjang busur PQ = Ds. Jika jarak titik P dan titik Q
sangat kecil, maka CP = CQ = R dan panjang busur Ds ® 0. Telah q
q +Dq R
Q Ds
P y
x Gambar 5.2
C Dq
R
124
diketahui bahwa panjang busur suatu lingkaran yang dibatasi oleh sudut q adalah Rq. Sehingga panjang busur :
PQ = Ds = R.Dq atau R
1 =
s D
q D
. Sehingga : R
1 lim
s ®
D
= s
lim
s
D q
D
® D
Jadi : ds
d R
1 q
= 5.4
Perhatikan Gambar 5.3 Jika Ds ® 0 maka
q = tan
dx dy
dan q
= cos ds
dx q
= tan dx
dy ®
tan ds
d dx
dy .
ds d
q =
tan ds
d d
d dx
dy .
ds dx
dx d
q q
q =
® ds
d tan
d d
cos dx
y d
2 2
q q
q =
q
ds d
sec cos
dx y
d
2 2
2
q q
= q
® ds
d sec
ds d
sec dx
y d
2 3
2 3
2 2
q q
= q
q =
ds d
tan 1
dx y
d
2 3
2 2
2
q q
+ =
ds d
dx dy
1
2 3
2
q ú
ú û
ù ê
ê ë
é þ
ý ü
î í
ì +
= R
1 dx
dy 1
2 3
2
ú ú
û ù
ê ê
ë é
þ ý
ü î
í ì
+ =
Jadi jari-jari kelengkungan di titik x,y adalah :
2 2
2 3
2
dx y
d dx
dy 1
R ú
ú û
ù ê
ê ë
é þ
ý ü
î í
ì +
= 5.5
Sedangkan jari-jari kelengkungan di titik x
1
,y
1
adalah :
1 1
1 1
y y
x x
2 2
2 3
2 y
y x
x
dx y
d dx
dy 1
R
= =
= =
ú ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
ï þ
ï ý
ü ï
î ï
í ì
+ =
5.6
q Gambar 5.3
Ds Dy Dx
125
Contoh 5.4 Tentukan jari-jari kelengkungan dari hiperbola xy = 9 di titik 3,3
Penyelesaian : xy = 9
® dx
dy x
y =
+ ®
x y
dx dy
- =
® 1
dx dy
3 y
3 x
- =
= =
2 2
2
x y
dx dy
x dx
y d
+ -
= ®
3 2
dx y
d
3 y
3 x
2 2
=
= =
1 1
1 1
y y
x x
2 2
2 3
2 y
y x
x
dx y
d dx
dy 1
R
= =
= =
ú ú
ú ú
û ù
ê ê
ê ê
ë é
ï þ
ï ý
ü ï
î ï
í ì
+ =
=
{ }
2 3
3 2
1 1
2 3
2
= -
+
5.3.2 Pusat kelengkungan Center of Curvature
Dari Gambar 5.4 didapat : LC = R cos q
LP = R sin q h = x
1
– LP y
x q
h x
1
C q
R k
L Px,y
Gambar 5.4
y 1
126
k = y
1
+ LC Sehingga :
h = x
1
– R sin q 5. 7
k = y
1
+ R cos q Contoh 5.5
Tentukan pusat kelengkungan dari kurva pada contoh 5.4 Penyelesaian :
x
1
= 3 ; y
1
= 3 ; R = 2
3 ;
x y
dx dy
- =
didapat dari contoh 5.4 tan q =
1 dx
dy
3 y
3 x
- =
= =
® q = 4
p -
radian ; sin
2 2
1 4
- =
-
p
; cos
2 2
1 4
= -
p
h = 3 – 2
3 -12 = 3 + 3 = 6;
k = 3 + 2
3 12 = 3 + 3 = 6
Jadi pusat kelengkungan adalah : C6, 6
Soal-soal 1. Tentukan jari-jari kelengkungan dan pusat kelengkungan untuk kurva :
a y = x
2
+ xy–24 di titik 1,-2 b
1 16
y 25
x
2 2
= +
di titik 1,4 c y
2
= - x
2
+4x – 3 di titik 1,2 2. Tentukan jari-jari dan pusat kelengkungan dari fungsi parametrik :
4 pada
tan 2
y sec
3 x
p =
q î
í ì
q =
q =
5.4 Nilai ekstrim
