128
Pada selang [-2,0] Maksimum =f0=6
Minimum = f-2 = 0 a Pada selang -3,1
Maksimum tidak ada f tak kontinu pada x=-3 Minimum tidak ada f tak kontinu pada x = 1
c Pada selang [-3,-2 Maksimum =f-3=0
Minimum tidak ada f tak kontinu pada x = -2 d Pada selang -1,1]
Minimum tidak ada f tak kontinu pada x = -1 Maksimum = f1 = 12
5.4.1 Nilai Ekstrim Lokal
Istilah nilai ekstrim lokal sering digunakan apabila terdapat suatu selang terbuka yang mengandung bilangan c sedemikian rupa sehingga f
mempunyai nilai terbesar maksimum atau terkecil minimum. Setiap harga f yang mempunyai harga maksimum atau minimum disebut ekstrim
lokal. b
c d
-3 -2 0 -1 1 x
x
x x
y y y y
-2 0 -3 0 1 a
Gambar 5.6
129
Definisi 5.4.3 Jika c adlah bilangan yang terletak dalam daerah definisi domain fungsi,
maka :
i fc adalah maksimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka a,b yang mengandung c sedemikian rupa sehingga fx
£ fc untuk setiap x pada a,b.
ii fc adalah minimum lokal f jika terdapat suatu selang terbuka a,b yang mengandung c sedemikian rupa sehingga fx
³ fc untuk setiap x pada a,b.
Teorema 5.4.4 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka a,b. Suatu
fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’c = 0.
Teorema 5.4.5 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang terbuka a,b. Suatu
fungsi f dikatakan tidak mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’c ada dan tidak sama dengan 0.
Teorema 5.4.6 Misal c adalah bilangan yang terletak pada selang tertutup [a,b]. Suatu
fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim lokal pada titik c jika f’c = 0. Teorema 5.4.7
Jika c merupakan daerah definisi dan merupakan bilangan kritis f, maka f’c = 0.
5.4.2 Nilai Ekstrim Mutlak
Jika fc adalah nilai maksimum mutlak dari fungsi f, maka kita dapat menyimpulkan bahwa titik c, fc merupakan titik tertinggi pada garafik
f. Sebaliknya fc adalah minimum mutlak dari fungsi f, maka titik c,fc merupakan titik terendah pada grafik f. Nilai maksimum danatau
minimum sering disebut juga dengan nilai ekstrim fungsi f.
Teorema 5.4.8 Misal fungsi f terdefinisi pada suatu himpunan bilangan ril S. Jika c
terletak pada S, maka : 0 a x
b x
1
c x
y
Gambar 5.7
Maksimum lokal
Minimum lokal
130
i fc adalah nilai maksimum mutlak f jika fx £ fc untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
ii fc adalah nilai minimum mutlak f jika fx £ fc untuk setiap nilai x yang terletak dalam S.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang tertutup [a,b] :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka a,b 2. Tentukan titik ujung
a Jika fungsi f terletak pada selang tertutup [a,b] maka titik ujungnya adalah a dan b.
b Jika fungsi f terletak pada selang terbuka a,b maka f tidak mempunyai titik ujung.
c Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka a,b] maka titik ujungnya adalah b.
d Jika fungsi f terletak pada selang setengah terbuka [a,b maka titik ujungnya adalah a.
3. Hitung nilai fc untuk setiap bilangan kritis c yang didapat dari nomor 1 diatas.
4. Hitung harga f pada setiap titik ujung. 5. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 3 dan 4 diatas.
Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang terbuka a,b :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka a,b. 2. Hitung nilai fc untuk seluruh nilai kritis.
3. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan terkecil yang dihitung pada nomor 2 diatas.
Tuntunan untuk mendapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang kontinu pada selang setengah terbuka [a,b :
1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka a,b. 2. Hitung nilai fc untuk seluruh nilai kritis.
3. Hitung nilai fa 4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas. Tuntunan untuk medapatkan nilai-nilai ekstrim fungsi f yang
kontinu pada selang setengah terbuka a,b] : 1. Tentukan seluruh nilai kritis f pada selang terbuka a,b.
2. Hitung nilai fc untuk seluruh nilai kritis. 3. Hitung nilai fb
4. Nilai maksimum dan minimum dari fungsi f adalah nilai terbesar dan
terkecil yang dihitung pada nomor 2 dan 3 diatas.
Contoh 5.7
Jika diketahui fx = 2x
3
- 3x
2
– 12x + 10, tentukan nilai maksimum dan minimum f pada selang tertutup [-4,3]
Penyelesaian : Menentukan bilangan kritis lihat teorema 5.4.7
fx = 2x
3
- 3x
2
– 12x + 10 f’x = 6x
2
– 6x – 12 = 0
131
6x
2
– 6x – 12 = 0 ® 6x
2
– x – 2 = 0 ® 6x-2x+1 = 0
x
1
= 2 ; x
2
= -1 fx
1
= f2 = 16 – 12 – 24 + 10 = -10 fx
2
= f-1 = -2 – 3 + 12 + 10 = 17 Titik ujung : -4 dan 3
f-4 = -64 – 48 + 48 + 10 = -54 f3 = 54 – 27 -36 + 10 = 1
Jadi : f2 adalah minimum lokal f-1 adalah maksimum lokal dan maksimum mutlak
f-4 adalah minimum mutlak
Soal-soal 1. Tentukan nilai-nilai ekstrim dari fungsi berikut ini serta gambarkan
grafiknya a fx =
x 2
x 2
1
2
- ; [2,5]
c fx =
7 x
10 2
x 3
+ -
; [-1,3 b fx =
3 x
2 2
x 6
5 -
-
; -3,1] d fx =
4 2
x 5
4 x
+ -
; -2,2 2. Tentukan nilai-nilai kritis dari fungsi-fungsi berikut ini
a fx =
2 x
3 2
x 4
+ -
c fx =
4 x
20 2
x 3
x 2
+ -
-
b fx = 2x + 5 d fx =
7 x
42 2
x 5
3 x
4 +
- +
5.5 Kecekungan dan kecembungan
