Akar Kuadrat Modulo Bilangan Ganjil

11.2 Akar Kuadrat Modulo Bilangan Ganjil

Dengan menggunakan quadratic reciprocity kita dapat dengan cepat menen- tukan apakah suatu bilangan merupakan kuadrat modulo bilangan prima ter- tentu. Akan tetapi, untuk mencari akar dari kuadrat tersebut, kita tidak dapat menggunakan quadratic reciprocity. Kita akan bahas metode yang dapat digu- nakan untuk mencari akar tersebut. Jika p merupakan bilangan prima ganjil dan a merupakan suatu kuadrat modulo p, jadi

µa ¶ = 1,

maka kita ingin dapatkan x dimana x 2 ≡ a (mod p). Pertama, kita tulis p−1 dalam bentuk

−1=2 α · s,

dimana s adalah bilangan ganjil, jadi s didapat dengan membagi p − 1 dengan

2 berulang kali hingga tidak dapat dibagi 2 lagi. Maka

r=a (s+1)/2 (mod p)

sudah mendekati akar dari a. Persisnya

(a −1 r 2 ) 2 α−1

s2 ≡a α−1 (mod p) ≡a (p−1)/2 (mod p)

µa ¶

(mod p)

Jadi rasio r 2 /a jika dipangkatkan 2 α−1 menghasilkan 1. Yang kita inginkan adalah rasio x 2 /a sama dengan 1. Seberapa dekat nilai r dari x? Ini tergantung dari nilai p, jika p ≡ 3 (mod 4) maka α = 1, jadi nilai r dan x sama. Jika tidak, maka langkah-langkah berikut dapat digunakan untuk mendapatkan nilai x dari nilai r.

Secara garis besar, kita harus kalikan r dengan suatu akar pangkat 2 α dari 1 untuk mendapatkan x sehingga (x 2 /a) = 1. Kita cari akar pangkat 2 α pengali ini menggunakan akar primitif pangkat 2 α sebagai patokan. Pertama, kita cari bilangan n yang merupakan quadratic non-residue modulo p, jadi

µn ¶

Jika kita buat

b ≡n s (mod p)

11.2. AKAR KUADRAT MODULO BILANGAN GANJIL 195 maka b merupakan akar pangkat 2 α dari 1 yang primitif (setiap akar pangkat

2 α dari 1, termasuk juga setiap akar pangkat 2 i dari 1 dimana 0 ≤ i ≤ α, dapat ditulis dalam bentuk pemangkatan b). Mari kita buktikan ini. Karena

2 α ≡n s (mod p) ≡n p−1 (mod p)

≡ 1 (mod p)

maka jelas b merupakan akar pangkat 2 α dari 1. Untuk menunjukkan bahwa

b merupakan akar primitif, kita periksa apa konsekuensinya jika b bukan akar primitif: ada pemangkatan b i

≡ 1 (mod p) dimana 1 < i < 2 α , jadi i |2 dan

i genap, dan b sendiri adalah pemangkatan genap (2 α /i) dari akar primitif. Tetapi ini adalah kontradiksi karena jika b adalah hasil pemangkatan genap, maka b merupakan suatu kuadrat, sedangkan

¶ µb ¶ µn s

karena s adalah bilangan ganjil dan n adalah non-residue. Jadi b harus meru- pakan akar primitif.

Jadi kita gunakan b, yang merupakan akar primitif pangkat 2 α dari 1, seba- gai patokan. Pengali r untuk mendapatkan x harus merupakan pemangkatan

b, kita sebut saja b j . Kita dapat umpamakan bahwa j < 2 α−1 karena b 2 α−1 = −1, jadi j dapat ditambah dengan 2 α−1 untuk mendapatkan akar kuadrat yang satu lagi. Berikut cara mendapatkan j dengan satu persatu mencari bit

j 0 ,j 1 ,...,j α−2 secara induktif.

1. Kita pangkatkan (r 2 /a) dengan 2 α−2 modulo p. Karena kita telah buk- tikan bahwa kuadrat bilangan ini adalah 1, maka bilangan ini adalah ±1. Jika bilangan ini adalah 1 maka nilai j 0 adalah 0, sedangkan jika bilangan ini adalah −1 maka nilai j o adalah 1.

2. Jika bit j 0 ,j 1 ,...,j k−1 telah didapat, maka (b j 0 +j 1 +...+j k−1 r) 2 /a meru- pakan akar pangkat 2 α−k−1 dari 1, jadi jika kita pangkatkan bilangan ini dengan 2 α−k−2 kita akan dapatkan ±1. Jika kita dapatkan 1 maka nilai j k adalah 0, sedangkan jika kita dapatkan −1 maka nilai j k adalah 1.

Setiap kali kita selesai dengan langkah 2 untuk suatu k, maka

(b j 0 +2j 1 +...+2 k j k r) 2 /a

adalah akar pangkat 2 α−k−2 dari 1, jadi kita semakin dekat dengan solusi untuk akar kuadrat, dan saat kita selesai dengan k = α − 2, maka

(b j 0 +2j 1 +...+2 α−2 j α−2 r) 2 /a = 1,

196 BAB 11. MATEMATIKA IV - KUADRAT jadi b j r merupakan akar kuadrat dari a modulo p, dimana j = j 0 + 2j 1 +...+

2 α−2 j α−2 . Mari kita coba gunakan metode diatas untuk mencari akar kuadrat dari 186 modulo 401, jadi a = 186, p = 401 dan a −1 ≡ 235 (mod 401). Kita temukan n = 3 merupakan non-residue, dan p

−1=2 4 · 25, jadi α = 4, s = 25,

b ≡3 25 ≡ 268 (mod 401)

dan

≡ 186 13 ≡ 103 (mod 401).

Jadi r 2 /a ≡ 98 (mod 401) yang merupakan akar pangkat 2 3 α−1 =2 = 8 dari

1. Kita lakukan langkah 1: 98 4 ≡ −1 (mod 401), jadi j 0 = 1. Menggunakan langkah 2 kita dapatkan j 1 = 0 dan j 2 = 1, jadi j = 1 + 2

·0+2 2 · 1 = 5. Jadi akar kuadrat dari 186 modulo 401 adalah

≡ 268 5 · 103 ≡ 304 (mod 401). Metode diatas adalah untuk mencari akar kuadrat modulo bilangan prima.

Kita kembangkan metode diatas untuk mencari akar kuadrat modulo bilangan ganjil m yang telah diuraikan sebagai berikut:

m=p α 1 p α 2 α 1 r 2 ···p r

dimana setiap p i merupakan bilangan prima ganjil. Mari kita lihat bagaimana mencari solusi x untuk persamaan

x 2 ≡ a (mod m).

Metode diatas dapat digunakan untuk mencari solusi x 0 untuk persamaan

x 2 0 ≡ a (mod p i )

untuk setiap p i . Selanjutnya, kita harus cari

x=x 0 +x 1 p i +

α p α i ···+x −1 i −1 i

sehingga x 2 α ≡ a (mod p i i ). Kita gunakan induksi pada pangkat dari p i . Untuk base case kita sudah dapatkan x 0 . Untuk step case, jika kita sudah dapatkan bilangan berbasis p dengan α

−1 digit ˆx dimana ˆx 2 ≡ a (mod p α−1 ), maka digit ke α dari

x=ˆ x+x α−1 p α−1 i

yaitu x α−1 dapat dicari, dimulai dengan menuliskan

x ˆ 2 = a + bp α−1 i

11.3. RINGKASAN 197 untuk mendapatkan b. Jadi

x 2 = (ˆ x+x α−1 p α−1 i ) 2 = x ˆ 2 + 2ˆ xx α−1 p α−1 i +x 2 α−1 p 2α−2 i ≡ ˆx 2 + 2ˆ xx α−1 p α−1

(mod p α i )

≡a+p α α−1

(b + 2x 0 x α−1 ) (mod p i ). Jadi kita dapatkan x α−1 ≡ −(2x 0 ) −1 b (mod p). Untuk menggabungkan hasil

dari setiap p α i i kita dapat gunakan Chinese Remainder Theorem. Metode yang telah dikembangkan ini tentunya hanya dapat digunakan jika m telah diuraikan.