BAB 5. MATEMATIKA II - POLYNOMIAL FIELD = (((a + b) + c) + I)

56 BAB 5. MATEMATIKA II - POLYNOMIAL FIELD = (((a + b) + c) + I)

= ((a + b) + I) + (c + I) = ((a + I) + (b + I)) + (c + I).

Identity untuk +:

(a + I) + (0 R + I) = ((a + 0 R ) + I) = (a + I).

Commutativity untuk +:

(a + I) + (b + I) = ((a + b) + I) = ((b + a) + I) = (b + I) + (a + I). Inverse untuk +: (a + I) + ( −(a + I)) = (a + I) + (−a + I) = ((a + (−a)) + I) = (0 R + I) = I.

Associativity untuk ·: (a + I) · ((b + I) · (c + I)) = (a + I) · ((b · c) + I)

= ((a · (b · c)) + I) = (((a · b) · c) + I) = ((a · b) + I) · (c + I) = ((a + I) · (b + I)) · (c + I).

Identity untuk ·:

(a + I) · (1 R + I) = ((a ·1 R ) + I) = (a + I).

Commutativity untuk ·:

(a + I) · (b + I) = ((a · b) + I) = ((b · a) + I) = (b + I) · (a + I). Distributivity: (a + I) · ((b + I) + (c + I)) = (a + I) · ((b + c) + I)

= ((a · (b + c)) + I) = (((a · b) + (a · c)) + I) = ((a · b) + I) + ((a · c) + I) = ((a + I) · (b + I)) + ((a + I) · (c + I)).

57 Ring R/I dinamakan quotient ring.

5.2. HOMOMORPHISM DAN IDEAL

Sekarang kita bahas bagaimana ideal dipetakan oleh suatu homomorphism. Jika ϕ : R −→ S merupakan homomorphism dari ring R ke ring S, maka kernel dari homomorphism dengan notasi ker(ϕ) adalah subset dari R sebagai berikut:

ker(ϕ) = {a ∈ R|ϕ(a) = 0 S }

jadi kernel dari homomorphism adalah subset dari ring asal R, dan terdiri dari semua elemen R yang dipetakan ke 0 dalam ring tujuan S. Tidak terlalu sulit untuk membuktikan bahwa ker(ϕ) adalah suatu proper ideal dalam R. Kita tahu bahwa 0 R ∈ ker(ϕ) karena ϕ(0 R )=0 S , jadi ker(ϕ) 6= ∅. Kita buktikan bahwa ker(ϕ) adalah suatu ideal dalam R:

• Jika a, b ∈ ker(ϕ), maka ϕ(a) = ϕ(b) = 0 S , dan ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) =

0 S +0 S =0 S , jadi a + b ∈ ker(ϕ). • Jika a ∈ ker(ϕ) dan r ∈ R, maka ϕ(a) = 0 S , dan ϕ(ar) = ϕ(a) · ϕ(r) =

0 S · ϕ(r) = 0 S , jadi ar ∈ ker(ϕ). Jadi ker(ϕ) adalah suatu ideal dalam R. Karena ϕ(1 R )=1 S 6= 0 S ,1 R 6∈ ker(ϕ),

ker(ϕ) adalah proper ideal. Masih menyangkut homomorphism ϕ dari R ke S, setiap ideal J dalam S “berasal” dari ideal yang mencakup ker(ϕ) dalam R:

I= {c|c ∈ R, ϕ(c) ∈ J} adalah ideal dalam R dan ker(ϕ) ⊆ I. (5.1) Dengan notasi himpunan, konsep “J berasal dari I” diformalkan, dan I disebut

inverse image dari J menurut ϕ. Mari kita buktikan 5.1. Jika a, b ∈ I, maka ϕ(a), ϕ(b) ∈ J, jadi karena J merupakan ideal,

ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) ∈J

jadi a + b ∈ I. Jika a ∈ I dan r ∈ R maka ϕ(a) ∈ J dan ϕ(r) ∈ S, jadi

ϕ(ra) = ϕ(r) · ϕ(a) ∈ J

jadi ar ∈ I, dan I merupakan ideal dalam R. Karena 0 S ∈ J maka ker(ϕ) = {c|c ∈ R, ϕ(c) = 0 S } ⊆ I.

Sebaliknya apakah setiap ideal I dalam R dipetakan oleh ϕ menjadi suatu ideal dalam S? Ternyata ini hanya bisa dipastikan bila ϕ surjective sehingga “mengisi penuh” S, karena jika tidak, ada pertanyaan dengan elemen S yang diluar target ϕ apabila dikalikan dengan elemen dari J = {ϕ(c)|c ∈ I}.

Jika ϕ surjective maka J = {ϕ(c)|c ∈ I} adalah ideal dalam S. (5.2)

58 BAB 5. MATEMATIKA II - POLYNOMIAL FIELD Mari kita buktikan 5.2. Kita tahu bahwa J tidak kosong (karena I tidak

kosong), jadi jika b 1 ,b 2 ∈ J, maka terdapat a 1 ,a 2 ∈ I dimana b 1 = ϕ(a 1 ) dan

b 2 = ϕ(a 2 ), jadi

b 1 +b 2 = ϕ(a 1 ) + ϕ(a 2 ) = ϕ(a 1 +a 2 ) ∈J karena I adalah suatu ideal (a 1 +a 2 ∈ I). Jika b ∈ J dan s ∈ S maka terdapat

a ∈ I dan r ∈ R dimana b = ϕ(a) dan s = ϕ(r), jadi

sb = ϕ(r) · ϕ(a) = ϕ(ra) ∈ J.

Jadi J merupakan ideal dalam S. Kita sudah buktikan bahwa jika homomorphism ϕ dari ring R ke ring S surjective, maka setiap ideal I dalam R dipetakan oleh ϕ menjadi suatu ideal dalam S. Apakah hubungan antara ideal dalam R dengan ideal dalam S jika ϕ

surjective? Ternyata jika ϕ surjective, ada korespondensi satu dengan satu an- tara himpunan semua ideal yang mencakup ker(ϕ) dalam R dengan himpunan semua ideal dalam S. Mari kita buat

I ϕ = {I|I ideal dalam R, ker(ϕ) ⊆ I},

I S = {J|J ideal dalam S}. Dengan pemetaan χ : I ϕ −→ I S sebagai berikut

χ:I ϕ −→ I S

I 7→ {ϕ(a)|a ∈ I}

jika ϕ surjective maka

(5.3) Definisi χ diatas mengatakan bahwa untuk I ∈I ϕ , χ(I) adalah image dari I

χ bijective dengan χ −1 (J) = {a|a ∈ R, ϕ(a) ∈ J}.

menurut ϕ dan notasi ϕ(I) kerap digunakan walaupun notasi ini agak membi- ngungkan. Untuk χ −1 definisi diatas mengatakan bahwa untuk J ∈I S ,χ −1 (J) adalah inverse image dari J menurut ϕ dan notasi ϕ −1 (J) kerap digunakan.

Pembuktian 5.3 mempunyai dua bagian: • membuktikan bahwa χ −1 (χ(I)) = I untuk setiap I ∈I ϕ , dan • membuktikan bahwa χ(χ −1 (J)) = J untuk setiap J ∈ S.

Walaupun teori mengenai pemetaan dengan konsep image dan inverse image dapat mempersingkat pembuktian, teori tersebut tidak akan digunakan, jadi kita akan membuktikan secara langsung.

59 • Kita tunjukkan bahwa I ⊆ χ −1 (χ(I)) untuk setiap I ∈I ϕ :

5.2. HOMOMORPHISM DAN IDEAL

b ∈ I =⇒ ϕ(b) ∈ {ϕ(a)|a ∈ I} = ⇒ b ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ {ϕ(a)|a ∈ I}} = ⇒ b ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ χ(I)}

= ⇒b∈χ −1 (χ(I)).

Jadi I ⊆χ −1 (χ(I)) untuk setiap I ∈I ϕ . Berikutnya, kita tunjukkan bahwa χ −1 (χ(I)) ⊆ I untuk setiap I ∈ I ϕ :

b ∈χ −1 (χ(I)) = ⇒ b ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ χ(I)} = ⇒ b ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ {ϕ(a)|a ∈ I}}

= ⇒ ϕ(b) ∈ {ϕ(a)|a ∈ I}} = ⇒ terdapat a ∈ I dimana ϕ(b) = ϕ(a) = ⇒ (b − a) ∈ ker(ϕ) ⊆ I = ⇒ b = (a + (b − a)) ∈ I.

Jadi χ −1 (χ(I)) ⊆ I untuk setiap I ∈ I ϕ . Menggabungkan kedua cakupan, kita dapatkan χ −1 (χ(I)) = I untuk setiap I ∈I ϕ .

• Kita tunjukkan bahwa χ(χ −1 (J)) ⊆ J untuk setiap J ∈ S:

b ∈ χ(χ −1 (J)) = ⇒ b ∈ {ϕ(a)|a ∈ χ −1 (J) = ⇒ b ∈ {ϕ(a)|a ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ J} = ⇒ terdapat a ∈ R, ϕ(a) ∈ J dimana b = ϕ(a) = ⇒ b ∈ J.

Jadi χ(χ −1 (J)) ⊆ J untuk setiap J ∈ S. Berikutnya, kita tunjukkan bahwa J ⊆ χ(χ −1 (J)) untuk setiap J ∈ S dan ϕ surjective:

b ∈ J dan ϕ surjective =⇒ terdapat I ∈ I ϕ ,a ∈ I dimana b = ϕ(a) = ⇒ a ∈ I, b = ϕ(a) dan

a ∈ {a 1 |a 1 ∈ R, ϕ(a 1 ) ∈ J}

⇒ a ∈ I, b = ϕ(a) dan a ∈ χ −1 (J) =

⇒ b ∈ χ(χ −1 (J))

Jadi J ⊆ χ(χ −1 (J)) untuk setiap J ∈ S. Menggabungkan kedua cakupan, kita dapatkan χ(χ −1 (J)) = J untuk setiap J ∈I S .

Jadi kita selesai dengan pembuktian 5.3, dan selesai sudah pembahasan me- ngenai bagaimana ideal dipetakan oleh homomorphism secara umum.

60 BAB 5. MATEMATIKA II - POLYNOMIAL FIELD Sekarang kita sudah dapat menjelaskan lebih lanjut, menggunakan hasil

5.3, canonical homomorphism ϕ dari ring R ke ring R/I, dimana I adalah suatu ideal dalam R. R/I disebut quotient ring modulo suatu ideal, dan setiap elemen dalam R/I adalah suatu congruence class a + I untuk suatu a (kerap juga disebut coset). Untuk ring R, proper ideal I dalam R, dan canonical homomorphism ϕ dari R ke R/I, kita dapatkan:

(5.4) Pembuktian 5.4 adalah sebagai berikut:

I = ker(ϕ).

a ∈ ker(ϕ) ⇐⇒ ϕ(a) = 0

⇐⇒ a + I = 0 + I ⇐⇒ a ∈ I.

Akibatnya, berdasarkan prinsip extensionality dari teori himpunan, I = ker(ϕ). Teorema 14 Untuk ring R, proper ideal I dalam R, dan ϕ canonical homo-

morphism dari R ke R/I dengan

I ϕ = {I 1 |I 1 ideal dalam R, I ⊆I 1 },

I S = {J|J ideal dalam S}. dan pemetaan χ : I ϕ −→ I S sebagai berikut

χ:I ϕ −→ I S

I 1 7→ {ϕ(a)|a ∈ I 1 }

kita dapatkan

χ bijective, dengan χ −1 (J) = {a|a ∈ R, ϕ(a) ∈ J}.

Teorema 14 adalah aplikasi dari 5.3 dengan S = R/I dan menggunakan 5.4. Teorema mengatakan ada korespondensi satu dengan satu antara himpunan ideal dalam R yang mencakup ker(ϕ) dengan himpunan ideal dalam R/I. Lebih terperinci lagi, setiap ideal dalam R yang mencakup I, dipasangkan secara unik oleh fungsi χ dengan satu ideal dalam R/I, dan tidak ada ideal dalam R/I yang tidak dipasangkan. Teorema ini akan digunakan dalam pembahasan polynomial field yaitu polynomial ring modulo ideal dengan generator irreducible polynomial.

Yang terahir dibagian ini adalah teorema mengenai ideal dalam field. Teorema 15 Suatu ring R adalah field jika dan hanya jika ( ⇐⇒) tidak ada

ideal untuk R selain {0} dan R.

61 Pembuktian teorema 15 mempunyai dua bagian. Di bagian pertama kita tun-

5.3. PRINCIPAL IDEAL DOMAIN

jukkan bahwa untuk field R hanya ada dua ideal yaitu {0} dan R. Di bagian kedua kita tunjukkan bahwa jika ring R hanya mempunyai dua ideal {0} dan R, maka R adalah suatu field.

• Mari kita umpamakan bahwa R adalah suatu field dan kita cari ideal untuk R selain {0} dan R, sebut saja I. Ini berarti I harus berupa

proper ideal dan non-trivial. Untuk proper ideal, kita tahu bahwa 1 6∈ I karena jika 1 ∈ I, seluruh ring R akan masuk dalam ideal berdasarkan inside-outside multiplication. Akibatnya, untuk setiap unit u dari R, u 6∈ I sebab u ∈ I berarti u · u −1 =1 ∈ I. Akan tetapi untuk field setiap elemen kecuali 0 merupakan unit, jadi hanya ada satu proper ideal untuk R yaitu {0} yang merupakan trivial ideal. Berarti untuk field R hanya ada dua ideal: {0} dan R.

• Untuk kebalikannya, kita umpamakan hanya {0} dan R merupakan ideal dalam R. Jika ada non-unit a 6= 0, maka a dapat digunakan sebagai gen-

erator untuk membuat ideal aR yang tidak mengandung unit (kelipatan non-unit a tidak bisa berupa unit). Jadi aR harus berupa non-trivial proper ideal dalam R, suatu kontradiksi jika hanya {0} dan R merupakan ideal dalam R. Jadi setiap elemen kecuali 0 berupa unit, yang berarti R harus berupa field.

Selesai sudah pembuktian teorema 15.