Algebraic Number Theory

12.4 Algebraic Number Theory

Teori mengenai algebraic numbers diperlukan dalam pembahasan metode num- ber field sieve, yaitu metode tercepat hingga saat ini untuk menguraikan bi- langan sangat besar (lebih dari 100 digit). Pembahasan algebraic number theory biasanya melibatkan 4 komponen:

• suatu Dedekind domain yaitu Z (bilangan bulat), • suatu fraction field 1 untuk Z yaitu Q (bilangan rasional),

1 Fraction field untuk suatu ring terdiri dari semua pecahan dimana numerator dan de- nominator (kecuali 0 tidak dapat menjadi denominator) berasal dari ring.

214 BAB 12. MATEMATIKA V - ALGEBRAIC NUMBER • suatu number field Q(α) yang merupakan algebraic field extension dari

Q, dan • suatu Dedekind domain D terdiri dari semua algebraic integers dalam

Q(α) (semua elemen dalam Q(α) yang integral atas Z). Pertama kita akan bahas konsep Dedekind domain yaitu struktur ring dimana

setiap proper ideal dapat diuraikan secara unik (unique factorization). Untuk itu kita perlu definisikan terlebih dahulu beberapa konsep dimulai dengan inte- gral closure. Konsep integral closure untuk ring adalah generalisasi dari konsep algebraic closure untuk field

Definisi 35 Jika A dan B keduanya merupakan ring dengan A subring dari

B dan b ∈ B, maka b disebut integral atas A jika terdapat monic polynomial f dengan koefisien dalam A dimana f (b) = 0.

Jadi integral untuk ring serupa dengan konsep algebraic untuk field. Definisi 36 (Integral Closure) Jika A dan B keduanya merupakan ring de-

ngan A ⊆ B, maka subset C dari B yang berisi semua elemen B yang integral atas A merupakan subring dari B yang mencakup A dan disebut integral clo- sure dari A dalam B. Jika C = A maka A disebut integrally closed dalam B. Jika A disebut integrally closed tanpa menyebut dalam ring apa, maka yang dimaksud adalah integrally closed dalam fraction field untuk A.

Contoh dari suatu ring yang integrally closed adalah Z: Teorema 69 Z (himpunan bilangan bulat) adalah suatu ring yang integrally

closed. Mari kita buktikan teorema 69. Kita tunjukkan bahwa setiap elemen dalam

fraction field Q yang integral atas Z berada dalam Z. Jika x adalah elemen sebagaimana diatas, maka x dapat dituliskan sebagai x = a b dimana a, b ∈Z dan a koprima dengan b. Karena x integral atas Z maka terdapat persamaan sebagai berikut

+a n−1 ( ) n−1 +...+a 1 ( )+a 0 =0

dimana setiap a i ∈ Z. Jika persamaan kita kalikan dengan b n kita dapatkan

a n + bc = 0

untuk suatu c ∈ Z. Jadi b membagi a n yang, karena a koprima dengan b, hanya bisa terjadi jika b merupakan suatu unit. Jika b merupakan unit, maka

x = ab −1 ∈ Z.

Jadi Z integrally closed.

12.4. ALGEBRAIC NUMBER THEORY 215 Teorema 70 Jika x ∈ D, maka setiap

σ i (x) ∈Z

untuk 0 ≤ i ≤ d, dimana setiap σ i adalah homomorphism sesuai teorema 67 dengan f = min α Q dan d adalah degree dari min α Q .

Mari kita buktikan teorema 70. Pertama kita ingin tunjukkan bahwa setiap

x i =σ i (x)

integral atas Z. Karena x ∈ D maka x integral atas Z, jadi terdapat polynomial

f dengan koefisien dalam Z dimana f (x) = 0. Kita dapatkan

σ i (f (x)) = f (σ i (x)) = f (x i )

jadi setiap x i integral atas Z. Karena menurut teorema 69, Z integrally closed, maka x i ∈ Z membuktikan teorema 70.

Konsep berikutnya yang diperlukan untuk Dedekind domain adalah konsep Noetherian ring.

Definisi 37 (Noetherian Ring) Suatu ring R adalah Noetherian jika tidak terdapat deretan yang infinite dari ideal I 0 ,I 1 ,I 2 , . . . dalam R:

I 0 ⊂I 1 ⊂I 2 ⊂...

Jadi setiap himpunan non-kosong berisi ideals dari suatu Noetherian ring mem- punyai elemen maksimal. Karena ⊂ untuk ideal bersifat partial order, elemen maksimal tidak unik. Himpunan dapat memiliki lebih dari satu elemen mak- simal. Suatu Noetherian ring juga mempunyai sifat bahwa setiap ideal dalam ring mempunyai generator yang finite (finitely generated). Artinya setiap ideal

I dalam Noetherian ring R mempunyai generator dengan bentuk

A= {a 0 ,a 1 ,...,a n },

jadi setiap elemen dalam ideal I dapat ditulis sebagai

i=0

dimana setiap r i ∈ R. Notasi Id(a 0 ,a 1 ....,a n ) kerap digunakan untuk ideal dengan generator A. Untuk menunjukkan bahwa setiap ideal I dalam suatu Noetherian ring R mempunyai generator yang finite, diperlukan penggunaan axiom of choice. Pembuktian dilakukan dengan menunjukkan bahwa jika gen- erator tidak finite maka kita akan dapatkan kontradiksi. Dengan ϕ berupa fungsi choice yang jika diaplikasikan pada 0 6= A ∈ P(R) (A adalah subset

216 BAB 12. MATEMATIKA V - ALGEBRAIC NUMBER non-kosong dari R) menghasilkan suatu elemen dalam A, dan dengan a 0 ∈I

sembarang elemen dalam I, kita definisikan

a i+1 = ϕ(I \ Id(a 0 ,a 1 ,...,a i ))

dan

I i = Id(a 0 ,a 1 ,...,a i )

untuk setiap i ∈ N. Maka terdapat deretan infinite

I o ⊂I 1 ⊂I 2 ⊂...

yang kontradiksi dengan definisi Noetherian ring untuk R. Sekarang kita buk- tikan sebaliknya, yaitu jika setiap ideal dalam ring R adalah finitely generated, maka R adalah Noetherian ring. Pertama, kita buktikan terlebih dahulu bahwa jika setiap ideal dalam ring R adalah finitely generated, maka untuk setiap

B ⊆ R terdapat finite subset C ⊆ B dimana Id(C) = Id(B). Karena Id(B) finitely generated, berarti terdapat subset D = {d 1 ,...,d n } ⊆ Id(B) yang finite dimana Id(D) = Id(B). Kita dapat tuliskan setiap d i sebagai:

d i = r ij b ij dengan r ij ∈ R, b ij ∈ B,

j=1

untuk 1 ≤ i ≤ n. Jika kita buat

C= {b ij |1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ k i }

maka C adalah finite subset B yang menjadi generator untuk Id(B) karena untuk setiap b ∈ Id(B) terdapat s 1 ,...,s n dimana setiap s i ∈ R dan

Jadi C merupakan finite subset B dengan Id(C) = Id(B). Berikutnya kita akan tunjukkan bahwa jika setiap ideal dalam R finitely generated, maka untuk setiap deretan elemen dalam R

a 0 ,a 1 ,a 2 ,...

12.4. ALGEBRAIC NUMBER THEORY 217 ( {a i } i∈N ) terdapat n ∈ N dimana a n+1 ∈ Id(a o ,a 1 ,...,a n ). Dengan

I = Id( {a i |i ∈ N})

hasil sebelumnya mengatakan bahwa terdapat finite subset B ⊂ {a i |i ∈ N} dimana Id(B) = I. Jadi terdapat n ∈ N dimana B ⊆ {a 0 ,...,a n }. Alhasil Id(a 0 ,...,a n ) = I, jadi

a n+1 ∈ Id(a 0 ,...,a n ).

Sekarang kita tunjukkan bahwa jika setiap ideal dalam R finitely generated maka R adalah Noetherian ring. Kita lihat apa konsekuensi jika R bukan Noetherian ring, jadi terdapat deretan infinite

I 0 ⊂I 1 ⊂I 2 ⊂...

Kita gunakan axiom of choice dengan fungsi choice ϕ untuk mendefinisikan dereten

a 0 ,a 1 ,a 2 ,...

dengan a 0 = ϕ(I 0 ) dan a i+1 = ϕ(I i+1 \I i ). Menggunakan hasil sebelumnya, terdapat n ∈ N dimana a n+1 ∈ Id(a 0 ,...,a n ), suatu kontradiksi. Jadi kita telah membuktikan teorema berikut.

Teorema 71 Suatu ring R adalah Noetherian ring jika dan hanya jika setiap ideal dalam R finitely generated.

Sekarang kita definisikan konsep Dedekind domain. Definisi 38 (Dedekind Domain) Suatu Dedekind domain adalah suatu in-

tegral domain A dimana • A integrally closed. • A merupakan suatu Noetherian ring. • Setiap ideal prima yang bukan 0 merupakan ideal maksimal.

Tidak terlalu sulit untuk menunjukkan bahwa Z merupakan suatu Dedekind domain:

• Berdasarkan teorema 69, Z integrally closed. • Berikutnya, karena Z merupakan principal ideal domain dimana setiap

ideal I mempunyai bentuk nZ dengan n ∈ Z, jadi I finitely generated oleh

{n},

maka Z merupakan Noetherian ring.

218 BAB 12. MATEMATIKA V - ALGEBRAIC NUMBER • Yang terahir, karena Z merupakan suatu principal ideal domain, maka

menurut teorema 18 setiap non-trivial ideal prima dalam Z merupakan ideal maksimal.

Sebelum menunjukkan bahwa D juga merupakan Dedekind domain, kita defi- nisikan terlebih dahulu konsep Noetherian module.

Definisi 39 (Noetherian Module) Suatu module M adalah Noetherian jika tidak terdapat deretan infinite submodule M 0 ,M 1 ,M 2 , . . . dari M :

M 0 ⊂M 1 ⊂M 2 ⊂...

Jika suatu ring R adalah Noetherian sebagai module, jelas bahwa R merupakan Noetherian ring karena setiap ideal dalam R adalah submodule dari R. Juga sangat jelas bahwa jika module M Noetherian, maka submodule G dari M juga Noetherian. Konsep quotient module M/G didefinisikan mirip dengan quotient ring, hanya saja ideal diganti oleh submodule sebagai modulo.

Teorema 72 Jika M adalah suatu module dan G adalah submodule dari M , maka M Noetherian jika dan hanya jika G dan M/G Noetherian.

Jika M Noetherian, sangat jelas bahwa G juga Noetherian, dan submodule dari M/G dapat ditulis sebagai

G 0 /G, G 1 /G, G 2 /G, . . .

dimana setiap G i adalah submodule dari M yang mencakup G (G merupakan subset dari G i ). Karena tidak terdapat deretan infinite

G 0 ⊂G 1 ⊂G 2 ⊂...

maka tidak terdapat deretan infinite

G 0 /G ⊂G 1 /G ⊂G 2 /G ⊂...

jadi M/G Noetherian. Jika G dan M/G Noetherian, mari kita tunjukkan bahwa M juga Noetherian. Jika

M 0 ⊆M 1 ⊆M 2 ⊆...

merupakan sembarang deretan infinite dimana setiap M i merupakan submodule

dari M , maka terdapat k 1 dimana

M 0 ∩G⊂...⊂M k 1 ∩G=M k 1 +1 ∩G=... dan k 2 dimana (G + M 0 )/G ⊂ . . . ⊂ (G + M k 2 )/G = (G + M k 2 +1 )/G = . . .

12.4. ALGEBRAIC NUMBER THEORY 219 Jika k = max(k 1 ,k 2 ), maka

M k ∩G=M k+i ∩ G dan G + M k =G+M k+i

untuk setiap i ∈ N. Kita ketahui bahwa M k ⊆M k+i . Jika g ∈M k+i , maka

g ∈G+M k+i =G+M k . Jadi terdapat a ∈ G dan b ∈ M k dimana g = a + b, dan kita dapatkan

a=g −b∈M k+i ∩G=M k ∩ G.

Ini menghasilkan a, b ∈M k , yang berarti g = a + b ∈M k , jadi M k+i ⊆M k , dan bersama dengan M k ⊆M k+i menghasilkan M k =M k+i . Jadi M Noethe- rian, dan selesailah pembuktian teorema 72. Satu konsekuensi dari teorema

72 adalah direct product dari dua Noetherian module juga Noetherian (kompo- nen pertama adalah G, komponen kedua adalah M/G, dan produk adalah M ). Direct product P dari dua R-module M dan N didefinisikan sebagai berikut:

• P = {(x 1 ,x 2 ) |x 1 ∈ M, x 2 ∈ N} (jadi elemen-elemen P membentuk him- punan yang merupakan Cartesian product dari M dan N ).

• (x 1 ,x 2 ) + (y 1 ,y 2 ) = (x 1 +x 2 ,y 1 +y 2 ). • α ◦ (x 1 ,y 1 ) = (α ◦x 1 ,α ◦x 2 ).

Dengan menggunakan induksi kita dapatkan teorema berikut: Teorema 73 Finite direct product dari Noetherian modules juga Noetherian.

Kembali ke D, sifat pertama yang harus dipenuhi D agar menjadi suatu Dedekind domain adalah bahwa D integrally closed. Untuk itu kita perlukan dua teorema.

Teorema 74 Terdapat basis untuk field extension Q(α)/Q yang seluruhnya terdiri dari elemen-elemen D.

Mari kita buktikan teorema 74. Jika x 1 ,x 2 ,...,x n merupakan basis untuk Q(α)/Q, maka setiap x i algebraic atas Q (karena extension bersifat algebraic), jadi terdapat polynomial sebagai berikut:

a m x m i +...+a 1 x i +a 0

dimana a m 6= 0 dan a j ∈ Z (polynomial dengan koefisien dalam Z didapat dari polynomial dengan koefisien dalam Q dengan mengalikan common de- nominator). Dengan y i =a m x i kita kalikan polynomial dengan a m−1 m untuk mendapatkan

(a

m x i ) +...+a 1 a m−2 m (a m x i )+a 0 a m−1 m = y m i +... −a 1 a m−2 m y i +a 0 a m−1 m = 0.

220 BAB 12. MATEMATIKA V - ALGEBRAIC NUMBER Jadi terdapat basis y 1 ,y 2 ,...,y n untuk Q(α)/Q dimana setiap y i integral atas

Z (dengan kata lain setiap y i adalah elemen dari D), jadi terdapat basis yang seluruhnya terdiri dari elemen-elemen D. Selesailah pembuktian teorema 74.

Teorema 75 Q(α) merupakan fraction field untuk D. Jika x y ∈ Q(α), maka terdapat 0 6= a ∈ Z dan y ∈ D dimana x =

a (gunakan pembuktian teorema 74 dengan y i = y, x i = x, a m = a). Jadi Q(α) merupakan fraction field untuk D.

Sifat kedua yang harus dipenuhi oleh D adalah Noetherian ring. Untuk itu, selain konsep module kita gunakan juga trace form.

Definisi 40 (Trace Form) Untuk separable field extension L/K, trace form untuk L/K adalah suatu bilinear form dengan pemetaan sebagai berikut:

(x, y)

7→ T L

K (xy)

dimana x, y ∈ L. Teorema 76 Jika L/K merupakan separable field extension, maka trace form

dari L/K non-degenerate. Dengan kata lain, jika (x, y) 7→ 0 untuk semua y ∈ L, maka x = 0.

Untuk membuktikan teorema 76, kita tunjukkan terlebih dahulu bahwa jika L/K merupakan separable field extension maka T L K (x) tidak mungkin 0 untuk semua x

P ∈ L. Jika T d K (x) = 0 untuk semua x ∈ L, maka i=0 σ i (x) = 0 untuk semua x ∈ L. Tetapi ini bertentangan dengan teorema 68, jadi tidak mungkin T L K (x) = 0 untuk semua x ∈ L. Sekarang kita lihat apa konsekuensinya jika

(x, y) 7→ 0 untuk semua y ∈ L dan x 6= 0. Kita pilih x L 0 ∈ L dimana T K (x 0 ) 6= 0, lalu pilih y ∈ L yang membuat x 0 = xy. Karena kita dapatkan kontradiksi,

yaitu

T L K (x 0 )=T L K (xy) = 0

dan

T L K (x 0 ) 6= 0,

maka selesailah pembuktian teorema 76. Teorema 77 Jika b 1 ,b 2 ,...,b d adalah suatu basis untuk Q(α)/Q sebagai ru-

ang vektor, maka terdapat basis c 1 ,c 2 ,...,c d untuk Q(α)/Q (yang didapat menggunakan dual basis) dimana

1, i = j

(b i ,c j )=δ ij =

0, i 6= j.

12.4. ALGEBRAIC NUMBER THEORY 221 Untuk membuktikan teorema 77, pertama perhatikan bahwa untuk setiap y ∈

Q(α), pemetaan

l = f (y) : x 7→ (x, y)

merupakan linear form, atau secara formal:

l(x 1 +x 2 ) = l(x 1 ) + l(x 2 ), l(ax 1 ) = al(x 1 )

untuk setiap x 1 ,x 2 ∈ Q(α) dan setiap a ∈ Q. Ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

l(ax 1 ) =

= al(x 1 ).

Pemetaan

y 7→ f(y)

merupakan suatu linear map dari Q(α) ke Q(α) ∗ (ruang untuk linear form pada Q(α)). Berikutnya kita tunjukkan bahwa linear map y 7→ f(y) injective,

yaitu f (y 1 ) 6= f(y 2 ) untuk setiap y 1 ,y 2 ∈ Q(α) jika y 1 6= y 2 . Mari kita lihat apa konsekuensinya jika f (y 1 ) = f (y 2 ) dan y 1 6= y 2 . Jadi

(x 7→

σ i (xy 1 )) = (x 7→

σ i (xy 2 ))

i=1

i=1

222 BAB 12. MATEMATIKA V - ALGEBRAIC NUMBER atau

X d σ i (x(y 1 −y 2 )) = 0

i=1

yang, karena x sembarang jadi bisa pilih x 6= 0, dan berdasarkan teorema 68 berarti (y 1 −y 2 ) = 0 atau y 1 =y 2 , suatu kontradiksi. Jadi jika y 1 6= y 2 maka f (y 1 ) 6= f(y 2 ), membuktikan bahwa y 7→ f(y) injective. Kita juga ingin tunjukkan bahwa linear map y 7→ f(y) surjective: untuk setiap linear form l pada Q(α), terdapat y ∈ Q(α) dimana l = f(y). Jika b 1 ,b 2 ,...,b d merupakan basis untuk Q(α)/Q sebagai ruang vektor maka x = x 1 b 1 +x 2 b 2 +...+x d b d dapat ditulis dengan vektor kolom sebagai berikut:

  x 2    ..  .

Jadi setiap linear form dapat ditulis dengan perkalian matrik sebagai berikut:

a 1 a 2 ... a d 

yang menghasilkan a 1 x 1 +a 2 x 2 +...a d x d . Jadi kita ingin tunjukkan bahwa Q terdapat y (α) ∈ Q(α) dimana T

(xy) juga menghasilkan a 1 x 1 +a 2 x 2 +. . . a d x d .

Jika y = y 1 b 1 +y 2 b 2 +...+y d b d , maka kita dapatkan

X d T Q (xy) =

Q (α)

σ i (xy)

i=1

σ i ((x 1 b 1 +...+x d b d )(y 1 b 1 +...+y d b d ))

i=1

σ i (x 1 y 1 b 1 )+

σ i (x 1 y 2 b 1 b 2 )+... σ i (x 1 y d b 1 b d )+

σ (x y b 2 2 1 1 2 i 2 2 2 )+... σ i (x 2 y d b 2 b d )+

σ (x y b i 2 d 1 1 d i d 2 2 b d )+... σ i (x d y d b d )

i=1

i=1

i=1