Fungsi Euler

10.3 Fungsi Euler

Fermat’s little theorem (teorema 30) berlaku untuk modulus prima. Euler berhasil membuat generalisasi teorema 30 dengan menggunakan fungsi Euler phi (φ). Definisi fungsi φ, untuk n > 0, adalah sebagai berikut:

Definisi 17 (Fungsi Euler)

φ(n) = ♯ {0 ≤ b < n| gcd(b, n) = 1}.

Dengan kata lain hasil fungsi adalah banyaknya bilangan bulat non-negatif dan lebih kecil dari n yang koprima dengan n. Jadi φ(1) = 1 dan untuk bilangan prima p, φ(p) = p − 1 karena 1, 2, 3, . . . , p − 1 semua koprima terhadap p, sedangkan gcd(p, 0) = p 6= 1. Untuk bilangan prima p,

φ(p α )=p α −p α−1 .

Untuk membuktikan ini, perhatikan bahwa bilangan antara 0 dan p α yang tidak koprima dengan p α adalah yang dapat dibagi dengan p, yang banyaknya adalah p α−1 , jadi p α−1 harus dikurangkan dari p α .

Dengan menggunakan konsep fungsi Euler φ, Fermat’s little theorem dapat digeneralisasi sebagai berikut:

Teorema 32

a φ(m) ≡ 1 (mod m)

jika gcd(a, m) = 1. Untuk m = p bilangan prima, φ(p) = p − 1, dan gcd(a, p) = 1 berarti a tidak

dapat dibagi oleh p, jadi kita dapatkan Fermat’s little theorem dalam bentuk orisinil. Jadi teorema jelas berlaku jika m adalah bilangan prima. Untuk m

10.3. FUNGSI EULER 151 bukan bilangan prima, pembuktiannya menggunakan sifat multiplicative fungsi

φ(mn) = φ(m)φ(n)

jika gcd(m, n) = 1. Untuk membuktikan sifat multiplicative, kita harus hitung semua bilangan bulat antara 0 dan mn − 1 yang koprima dengan mn (jadi tidak ada faktor bilangan yang lebih besar dari 1 yang juga merupakan faktor mn). Kita beri label j untuk bilangan yang kita hitung. Kita beri label j 1

untuk residue non-negatif terkecil j modulo m dan j 2 untuk residue non-negatif

terkecil j modulo n, jadi 0 ≤j 1 < m, 0 ≤j 2 < n, j ≡j 1 (mod m),

j ≡j 2 (mod n).

Berdasarkan teorema 31 (Chinese Remainder Theorem), untuk setiap pasangan j 1 ,j 2 , hanya ada satu j antara 0 dan mn − 1 yang mengakibatkan kedua per- samaan diatas berlaku. Juga perhatikan bahwa j koprima dengan mn jika dan hanya jika j koprima dengan m dan n. Jadi banyaknya j yang harus dihi-

tung sama dengan banyaknya kombinasi pasangan j 1 ,j 2 . Banyaknya j 1 yang koprima dengan m dimana 0 ≤j 1 < m adalah φ(m), sedangkan banyaknya j 2 yang koprima dengan n dimana 0 ≤j 2 < n adalah φ(n). Jadi banyaknya j adalah φ(m)φ(n). Selesailah pembuktian sifat multiplicative φ. Kembali ke teorema 32, kita sudah buktikan untuk m prima. Kita ingin buktikan juga untuk m berupa bilangan prima p dipangkatkan (m = p α ). Pembuktian kita lakukan dengan cara induksi. Untuk α = 1, kita dapatkan bentuk asli teorema

30, jadi sudah terbukti. Tinggal kita buktikan bahwa jika teorema 32 berlaku untuk α − 1, maka ia juga berlaku untuk α (dengan α ≥ 2). Untuk α − 1 kita dapatkan

a φ(p α−1 )

≡ 1 (mod p α−1 ), jadi

a α−1 p −p α−2 ≡ 1 (mod p α−1 ), yang berarti

p a α−1 −p α−2 =1+p α−1 b untuk suatu b.

Kita pangkatkan kedua sisi persamaan dengan p. Untuk sisi kiri persamaan α α−1 α kita dapatkan a p −p

atau a φ(p ) . Untuk sisi kanan, (1+p α−1 b) p mempunyai koefisien binomial yang dapat dibagi oleh p kecuali untuk 1 dan (p α−1 b) p . Jadi semua suku kecuali 1 dapat dibagi dengan p α , dan sisi kanan menjadi 1 + bp α untuk suatu b. Persamaan menjadi

a φ(p α ) = 1 + bp α , yang berarti

a φ(p α )

≡ 1 (mod p α ).

Selesailah pembuktian untuk m = p α . Selanjutnya, berdasarkan fundamental theorem of arithmetic, setiap bilangan dapat diuraikan menjadi

m=p α 1 α 2 α 1 n p 2 ...p n

152 BAB 10. MATEMATIKA III - DASAR UNTUK PKC dimana untuk 1 ≤ i ≤ n setiap p i merupakan bilangan prima unik. Dengan

memangkatkan kedua sisi dari

a φ(p i αi )

α ≡ 1 (mod p i

dengan pangkat yang sesuai, kita dapatkan

a φ(m)

α ≡ 1 (mod p i

koprima dengan p j , maka kita dapatkan

α untuk 1 j ≤ i ≤ n. Karena untuk i 6= j, p

a φ(m) ≡ 1 (mod m).

Selesailah pembuktian teorema 32. Satu lagi teorema mengenai fungsi φ Euler adalah sebagai berikut:

Teorema 33

X φ(d) = n.

d|n

Untuk membuktikan teorema 33, kita beri notasi f (n) = P d|n φ(d), jadi f (n) merupakan penjumlahan φ(d) untuk semua d yang membagi n. Kita harus

tunjukkan bahwa f (n) = n, tetapi pertama kita tunjukkan lebih dahulu bahwa