Das erweiterte MKT-Modell

3.3 Das erweiterte MKT-Modell

Im diesem Modell wird ein Stromterm δ(q, t) im Kern M(q, t) der Gl.(3.31) ber¨ ucksichtigt, der die aktivierten Hopping-Prozesse beschreibt, die im idealisierten schematischen Modell ignoriert werden, und die zu einer Nicht-Ergodizit¨ats Brechung f¨ uhren.

Statt der Gl.(3.48) im idealisierten Modell, die den K¨afigeffekt beschreibt, wird die Laplacetran- formierte der M(q, t) in diesem erweiterten Modell zu (G¨otze et.al. 1988 [28]):

Ω 2 q [iγ(q) + M MK (q, z)]

M(q, z) =

(1 − δ(q, z) (iγ(q) + M MK (q, z)))

wo δ(q, z) die Laplacetransformierte der generalisierten Polynomform von

δ(q, t) =

ist (G¨otze 1990 [78]). W (n) sind die nicht-negativen Kopplungskonstanten.

3.3 Das erweiterte MKT-Modell 27 Betrachten wir nur die zwei-Moden-N¨aherung, dann beinhaltet δ(q, t) nur den zweiten Term der

Gl(3.73),

δ(q, t) =

Als Folge dieser N¨aherung findet man, daß M(q, t) nun die Kopplung der Dichte-Fluktuationen zum aktivierten Hoppingprozeß durch den T -abh¨angigen Stromkern δ(q, t) beschreibt. Die Terme, die nicht explizit in Gl.(3.74) aufgef¨ uhrt werden, beinhalten die Moden-Kopplung zu longitudinalen und transversalen Stromkorrelationsfunktionen.

Explizit wird dieser Term nach G¨otze und Sj¨ogren [69] folgendermaßen ausgedr¨ uckt

δ(q, t) =

(3.75) wo Φ L (q, t), Φ T (q, t) die normierte longitidinale bzw. transversale Stromkorrelationsfunktion be-

W ′′ (q, k

1 ,k 2 )˙ Φ(k 1 , t) Φ T (k 2 , t)] ,

zeichnet. Die Ausdr¨ ucke f¨ ur Vertizes W ′ 1 ,W ′ 2 , und W ′′ kann man im Artikel von Sj¨ogren 1980 [79] finden. Die Einf¨ uhrung des δ(q, t)-Term beeinflußt die idealisierten Ergebnisse f¨ ur T > T c nicht sehr stark, wohingegen er die Ergodizit¨at unterhalb von T c wiederherstellt, d.h, es gibt den α-Prozeß auch unterhalb von T c . Das bedeutet, wie man es f¨ ur das M 13 -Modell gezeigt hat, daß Φ(t) f¨ ur ausreichend langen Zeiten immer zu Null zerf¨allt [2]. Der v¨ollige strukturelle Arrest, der f¨ ur ε ≥ 0 nach der Vorhersage der idealisierten Theorie stattfindet, wird durch Einschluß dieses Termes aufgehoben (Das et.al. 1986 [27]).

In dieser schematisch erweiterten MKT besitzt Φ(t) in der β-Relaxationsregion noch die Faktori- sationseigenschaft der Gl.(3.54). Aber die Bewegungsgleichung f¨ ur B(t) wird jetzt statt der Gl.(3.55) durch

gegeben. In dieser Gleichung ist ε noch der Separationsparameter, der jetzt den K¨afigeffekt quanti- fiziert. δ, der als Hopping-Parameter bezeichnet wird, ist eine glatt variierende Gr¨oße, die durch die Memory-Funktionen bestimmt wird.

28 3 Moden-Kopplungs Theorie Bisher stimmen die experimentellen Ergebnisse mit dem, den Hoppingprozeß einschließenden,

schematisch erweiterten Modell ¨ uberein [75, 80]. Nach Kawasaki 1995 [25] besagt aber die Entwick- lung dieser Theorie, daß die Memory-Funktion M(q, t) f¨ ur eine Dichte-Fluktuation mit Wellenvektor q die Produkte der Korrelatoren von Fluktuationen f¨ ur verschiedene q-Werte, den Diffusionskoeffi- zienten und den Viskosit¨atkoeffizienten einschließt.

Experimentelle Untersuchungen zeigen, daß auch in gut relaxierten Gl¨asern, insbesondere auch in metallischen Gl¨asern, Diffusionsprozesse stattfinden. Dies widerspricht der Annahme eines ideal arretierten Zustandes als Langzeit-Grenzwert.

Deshalb modifiziert man die Theorie, indem man die atomare Diffusion in die Memory-Funktion M(t) einbezieht, d.h., die Moden-Kopplungen zu transversalen Str¨omen ber¨ ucksichtigt. So ergibt sich f¨ ur den Kern M(z) die folgende Gleichung :

M(z) = MS(z) +

M 0 (z)

MS(z) modelliert die Kopplung zu den transversalen Str¨omen. Dieses Modell f¨ uhrt auch unterhalb von T c zum endg¨ ultigen Zerfall der strukturellen Fluktuationen. Dies f¨ uhrt zu einem der Grund- probleme in der Klassifizierung der L¨osungen, da es unter diesen Bedingungen f¨ ur eine gegebene L¨osung der MKT-Gleichung (3.31) nicht offensichtlich ist, ob sie zur Region oberhalb oder unter-

halb der kritischen Temperatur T c geh¨ort. M 0 (t) in Gl.(3.77) beschreibt die Korrelationsfunktion der Zufallskr¨afte oder den Kern der Bewegungsgleichung von Φ(t) wie im schematischen idealisierten MKT-Modell (s. Gl.(3.48)). Von Teichler 1995 [26] wird die Gl.(3.48) modifiziert:

(3.78) wo h(t) einen momentanen viskosen D¨ampfungterm bezeichnet. Nach Einsetzen Gl.(3.78) in Gl.(3.38)

M 0 (z) = LT {h(t) + Ω 2 M MK (Φ(t))} z ,

gilt die folgende Gleichung

(3.79) Dabei ist M app (Φ(t)) eine scheinbare Memory-Funktion, die einen atomaren Diffusionsterm enth¨alt.

h(t) + M app (Φ(t)) = LT −1 {M(z)} t .

Hier ist LT die Laplace-Transformation, LT −1 ihre Inverse. Nach Teichler [26] kann h(t) durch die folgende Form

h(t) = a Re{exp(−bt + iΩt + iψ)}

3.3 Das erweiterte MKT-Modell 29 angen¨ahert werden, wo a, b, Ω und ψ von Temperatur und q-Wert abh¨angige Fit-Parameter bezeich-

nen.