Ruang Vektor Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Ruang Vektor

Definisi 2.1.1 Darmawijaya, 2007 Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut ruang vektor vector space atas ℱ jika ada operasi luar antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal ∈ yang memenuhi sifat – sifat : i + = + , ii ⨁ = + , iii . = , iv = , untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ. Teorema 2.1.2 Darmawijaya, 2007 Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ, maka berlaku pernyataan – pernyataan berikut: i Untuk setiap , ∈ terdapat tepat satu ∈ sehingga + = ii Jika ∈ dan + = , maka = �. iii � = � untuk setiap skalar . iv = � untuk setiap ∈ . v − = − untuk setiap ∈ vi Jika suatu skalar dan ∈ sehingga = � maka = atau = �.

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

Definisi 2.2.1 Darmawijaya, 2007 Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ . Jika himpunan terhadap operasi – operasi yang sama dengan operasi – operasi di bagian juga merupakan ruang vektor atas ℱ, maka disebut ruang vektor bagian vector sub- space dari . Teorema 2.2.2 Darmawijaya, 2007 Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan ≠ �. Himpunan merupakan ruang vektor bagian jika dan hanya jika untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ berlaku + ∈ . Teorema 2.2.3 Darmawijaya, 2007 Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � masing – masing ruang vektor bagian maka + � = { + ∶ ∈ , ∈ �}, Juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat dan � sebagai ruang vektor bagiannya. Teorema 2.2.4 Darmawijaya, 2007 Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � ⊂ masing – masing ruang vektor bagian dan � = {�}, maka untuk setiap ∈ + � terdapat dengan tunggal ∈ dan ∈ � sehingga = + . Teorema 2.2.5 Darmawijaya, 2007 Diberikan ruang vektor atas lapanngan ℱ. Jika , ∈ dan �, , ∈ ℱ untuk setiap � = , , … , maka benar bahwa i ∑ + ∑ = ∑ + � = � = � = , ii � ∑ � = = ∑ � � = , iii ∑ � = = ∑ � = , dan iv ∑ � = ∑ = = ∑ ∑ = � = . Teorema 2.2.6 Darmawijaya, 2007 Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Jika , , … � ∈ , maka = [ , , … , � ] merupakan ruang vektor bagian . Teorema 2.2.7 Darmawijaya, 2007 Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat M. Definisi 2.2.8 Darmawijaya, 2007 Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , � ∈ atau { , , … , � } ⊂ dikatakan bebas linier liniearly independent jika , , … , � ∈ ℱ dan + + ⋯ + � � = � berakibat = = ⋯ = � = . Teorema 2.2.9 Darmawijaya, 2007 Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , � ∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya. Akibat 2.2.10 Darmawijaya, 2007 Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , � ∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �, � , vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya. Teorema 2.2.11 Darmawijaya, 2007 Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , � bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan ∑ = ∑ � = � = berakibat = untuk setiap �. 2.3 Basis dan Dimensi Definisi 2.3.1 Darmawijaya, 2007