7
BAB II KAJIAN TEORITIK
Memperhatikan gambar 1, persamaan gerak untuk pendulum tersebut dapat dituliskan sebagai :
massa.percepatan + “restoring force” = 0. 1
Perhitungan percepatan : Simpangan
s
=
l
dalam radian Kecepatan
dt ds
=
dt dl
+
l dt
d
=
l dt
d
karena l konstan
Percepatan
2 2
dt s
d
=
dt d
dt ds
=
dt d
l dt
d
=
dt dl
dt d
+
l
2 2
dt d
=
l
2 2
dt d
karena
l
konstan Substitusi ke persamaan 1 diperoleh :
m l
2 2
dt d
+
mg sin
= 0 2
sehingga :
2 2
dt d
+
l g
sin
= 0 3
Gambar 1 : Pendulum
mg
mg sin
m
8
Karena
sin
= - 3
3
+
5
5
-
… , derajad degree persamaan 3 dalam
tidak sama dengan 1, sehingga persamaan 3 adalah persamaan tak linier. Dengan
v
=
dt d
dan
l g
=
a
, persamaan 3 menjadi :
v
d dv
+
a sin
= 0. 4
Penjabaran :
2 2
dt d
=
dt d
dt d
=
dt d
v
=
d dv
dt d
=
d dv
v
=
v
d dv
Sehingga :
vdv
= - a
sin d
+
2 1
A
5 2
1
A
adalah konstanta integrasi
2 1
v
2
=
a cos
+
2 1
A
. 2 dan diperoleh
v
2
= 2
a cos
+
A
6 Jika simpangan maksimum adalah
, maka pada simpangan maksimum tersebut
v
= 0 dan persamaan 6 menghasilkan :
0 = 2
a cos
+
A A
= - 2
a cos
.
Substitusi nilai A ke persamaan 6 menghasilkan :
v
2
= 2
a cos
-
2
a cos
= 2
a cos
- cos
v
= ± cos
cos 2
a
= ± 2
1 sin
2 1
sin 2
2 2
a
7
Penjabaran
cos
=
cos
2 1
+
2 1
=
cos
2
2 1
- sin
2
2 1
= 1 – 2
sin
2
2 1
dan
cos
= 1 – 2
sin
2
2 1
9
maka cos
cos
=
} 2
1 sin
2 1
2 1
sin 2
1 {
2 2
=
2 1
sin 2
1 sin
2
2 2
.
Dengan menyatakan
sin
2 1
=
k
dan
sin
2 1
=
k sin
, persamaan 7 berubah menjadi
dt d
=
v
= - 2
a k cos
8
Penjabaran 2
sin
2 2
2
k k
a
= 2
sin 1
2 2
k
a
= 2k
a cos
. Tanda negatif dipilih karena
semakin kecil dengan bertambahnya waktu, jika perhitungan waktu dimulai dari saat m berada di simpangan maksimum.
Dari
sin
2
1 =
k sin
dapat diperoleh 2
1
cos
2
1
d
=
k cos
d
. Penjabaran :
Misal
U
=
2 1
; maka
sin
2 1
=
sin U
Misal
V
=
sin U
, maka
V
=
k sin
d dV
=
dU dV
d dU
d d
= Cos
U
.
2 1
d d
= Cos
2 1
.
2 1
.
d d
Sedangkan dari
V
=
k sin
, diperoleh
d dV
=
k cos
Jadi
2 1
cos
2 1
d d
=
k cos
; atau
2 1
cos
2 1
d
=
k cos
d
atau
d
=
sin 1
cos 2
2 2
k d
k
9
Penjabaran
d
=
2 1
cos cos
2
d k
=
sin 1
cos 2
2
d
k
Dengan mengingat
sin
2 1
=
k sin
, dapat diperoleh
d
=
sin 1
cos 2
2 2
k d
k
.
10
Persamaan 8 dapat ditulis ulang menjadi
d
= - 2
a k cos
dt
8a Karena 8a identik dengan 9 maka :
sin 1
cos 2
2 2
k d
k
= - 2
a k cos
dt atau :
dt = -
sin 1
2 2
k a
d
10 Jika t = 0 simpangan maksimum, v = 0 dan dari persamaan 8 dapat diperoleh
cos
= 0 atau
2
dan jika t =
4 1
o
o
adalah periode, = 0 dan dari
sin
2 1
=
k sin
diperoleh
sin
= 0 atau = 0.
Dengan demikian, dengan mengintegralkan 10 antara
2
sampai dengan = 0
diperoleh
4 1
periode, jadi :
4 1
o
=
a
1
2 2
2
sin 1
k d
=
a
1
2 2
2
sin 1
k d
=
g l
Fk, 2
11
dengan mengingat a =
l g
.
Fk,
2
merupakan integral ellipse, dengan
k
=
sin
2 1
; simpangan maksimum.
Dari sini, periode diberikan oleh :
o
= 4
g l
Fk,
2
.
12 Nilai Fk,
2
dapat dilihat pada Abramowitz and Stegun 1972.
11
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
Kategori