Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks

65 Matematika Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa A × B + C = A × B + A × C. Sifat 2.4 Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan C berordo n × p dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap operasi pen–jumlahan matriks jika dan hanya jika A × B + C = A × B + A × C. Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks A berordo p × q. Diketahui matriks A = 1 1 −         . Tentukanlah A 2013 Contoh 2.7 Alternatif Penyelesaian Mari cermati langkah-langkah berikut A 2 = A.A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −         −         = − −         = −         . . = = −1 Jika A 2 = –I, maka A 4 = I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A kelipatan 4, akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut: 2013=4.503+1. Akibatnya , A 2013 = A 4.503+1 = A 4 503 .A 1 . Matriks A 4 = I, dan I n = I, n = 1,2,3,…, akibatnya berlaku, A 4 503 = I. Oleh karena itu, A 2013 = I. A = A = 1 1 −         . Dari hasil pembahasan Contoh 2.7, secara umum dapat kita nyakan dalam deinisi berikut ini. Deinisi 2.7 Misalkan matriks A berordo p × q dan n ∈ N. A A A A A n n faktor = × × × … 66 Kelas XI SMAMASMKMAK A 2013 pada contoh di atas, dengan A= 1 1 −         , kebetulan memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun, jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan A n , n bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks A sebanyak n faktor. Pertanyaan Kritis: Apakah A 4 = I berlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ? Uji Kompetensi 2.1 1. Hasil penjumlahan matriks p p q +         + +         =         2 3 2 5 6 6 3 4 9 8 5 . Tentukan nilai p dan q. 2. Misalkan matriks A = p +         2 3 2 5 B = p q 6 6 3 +         Bila 3 A = B, Tentukan nilai p dan q. 3. Diberikan matriks A = 4 3 2 5 − −         B = 4 3 6 3 −         dan C = − − −         26 3 2 35 Tunjukkan bahwa A + B = B 2 . + C. 4. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut a. 1 2 2 5 4 1 5 2 4                     c. − −                         2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 b. 2 7 1 6 5 7 3 1         −             d. 1 1 1 1 3 5 3 4 6 2 5 3                         5. Apa yang dapat kamu jelaskan tentang operasi pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C? Paparkan di depan kelas 6. Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan: i. A + B 2 = A 2 + B 2 ii. A 2 – B 2 = A – B.A + B 7. Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I 67 Matematika terdiri atas 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan. Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp 75.000,00. a Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan matriks biaya untuk tiap paket. b Paket mana yang menawarkan biaya termurah? 8. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut disajikan pada tabel di bawah ini. Eksekutif Ekonomi AC Umum 40 42 41 Mahasiswa 33 41 35 Pelajar 30 39 28 Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada tabel berikut. Kategori penumpang Jumlah penumpang Umum 123 Mahasiswa 109 Pelajar 94 Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut? 68 Kelas XI SMAMASMKMAK 9. Tentukanlah B 3 – 4 B 2 + B – 4I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 3 dan matriks B = 1 1 2 1 2 1 2 1 1             10. Jika matriks D = 1 1 2 1 2 1 2 1 1             , maka tentukanlah matriks D 3 – 4 D 2 + D + 4.I, dengan matriks I merupakan matriks identitas berordo 3 × 3 11. Tentukanlah nilai p dan q yang memenuhi syarat berikut ini a R = p q 2         dan R 2 = I b S = . . 3 2 1 5 − −         dan S 2 = p.S + q.I Projek Rancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.

5. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS a. Determinan Matriks.

Masalah-2.8 Siti dan teman-temannya makan di sebuah warung. Mereka memesan 3 ayam penyet dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, Beni datang dan teman-temannya memesan 5 porsi ayam penyet dan 3 gelas es jeruk. Siti menantang Amir menentukan harga satu porsi ayam penyet dan harga es jeruk per gelas, jika Siti harus membayar Rp70.000,00 untuk semua pesanannya dan Beni harus membayar Rp115.000,00 untuk semua pesanannya, berapakah harga satu porsi ayam penyet dan es jeruk per gelasnya? 69 Matematika Alternatif Penyelesaian Cara I Petunjuk : Ingat kembali materi sistem persamaan linier yang sudah kamu pelajari. Buatlah sistem persamaan linear dari masalah tersebut, lalu selesaikan dengan matriks. Misalkan : x = harga satu porsi ayam penyet y = harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 70000 5x + 3y = 115000 Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut : 3 5 2 3 70000 115000                 =         x y Mengingat kembali bentuk umum persamaan linier dua variabel. a x b y c a x b y c a a b b x y c 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 + = + =     →                 = . cc 2         Solusi persamaan tersebut adalah: x b c b c a b a b = − − 2 1 1 2 1 2 2 1 . . . . dan y a c a c a b a b = − − 1 2 2 1 1 2 2 1 . . . . , a 1 b 2 ≠ a 2 b 1 ...........................................2 Ø Ingat kembali bagaimana menentukan himpunan penyelesain SPLDV. Tentunya, kamu mampu menunjukkannya. Cara II Dalam konsep matriks, nilai a 1 .b 2 – a 2 .b 1 disebut sebagai determinan matriks a a b b 1 2 1 2         , dinotasikan a a b b 1 2 1 2         atau det A, dengan matriks a a b b 1 2 1 2         = A Oleh karena itu, nilai x dan y pada persamaan 2, dapat ditulis menjadi: x c c b b a a b b = 1 2 1 2 1 2 1 2 dan y a a c c a a b b = 1 2 1 2 1 2 1 2 ...................................................................................3 70 Kelas XI SMAMASMKMAK dengan a a b b 1 2 1 2 ¹ . Kembali ke persamaan 1, dengan menerapkan persamaan 3, maka diperoleh: x y = = − − = − − = 70000 115 000 2 3 3 5 2 3 210 000 230 000 9 10 20 000 1 20 000 . . . . . = = = − − = − − = 3 5 70 000 115 000 3 5 2 3 345 000 350 000 9 10 5 000 1 5 000 . . . . . . Jadi, harga satu porsi ayam penyet adalah Rp20.000,00 dan harga satu gelas Jus adalah Rp5.0000,00. Notasi Determinan Misalkan matriks A = a c b d         . Determinan dari matriks A dapat dinyatakan det A A a c b d ad bc = = = −

b. Sifat-Sifat Determinan.

Misalkan matriks A = − − − −         3 2 4 1 dan matriks B = 3 2 4 1 − −         det A A = = − − = − + = 3 2 4 1 3 8 5 det B B = = − − − − = − − = − 3 2 4 1 3 8 5 jadi A B ´ = 25 Matriks A × B = 3 2 4 1 3 2 4 1 − −         − − − −         . = − −         17 8 16 9