78
Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian
Misalkan x : biaya sewa hotel
y : biaya untuk transportasi z : biaya makan
Paket 1 Paket 2
Paket 3
Sewa hotel 4
3 5
Transportasi 3
4 5
Makan 5
7 4
Biaya Total 2.030.000
1.790.000 2.500.000
Dalam bentuk matriks adalah seperti berikut :
4 3
5 3
4 7
5 5
4 2030000
1790000 2500000
= x
y z
Determinan untuk matriks masalah 2.10 di atas :
Maka det
A =
4 3
5 3
4 7
5 5
4 A
= 4
3 5
3 4
7 5
5 4
4 3
5 3
4 7
= × ×
+ × ×
+ × ×
− × ×
− × ×
− × ×
= − 4 4 4
3 5
5 5
3 7
5 4
5 4
5 7
3 3
4 32
x =
2030000 1790000
2500000 3
4 7
5 5
4 4
3 5
3 4
7 5
5 4
= − −
= 17520000
32 547500
79
Matematika
y =
4 3
5 2030000
1790000 2500000
5 5
4 4
3 5
3 4
7 5
5 4
= − −
= 18960000
32 592500
z =
4 3
5 3
4 7
2030000 1790000
2500000 4
3 5
3 4
7 5
5 4
= − −
= 3740000
32 116875
Oleh karena itu, biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00
Cobalah kamu selesaikan masalah tersebut dengan cara menentukan invers matriks. Mintalah bimbingan dari gurumu.
d. Metode Kofaktor
Terlebih dahulu kamu memahami tentang minor suatu matriks. Minor suatu matriks
A dilambangkan dengan M
ij
adalah determinan matriks bagian dari A yang
diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Jika A adalah sebuah matriks bujur sangkar berordo n × n, maka minor elemen
a
ij
yang dinotasikan dengan M
ij
, dideinisikan sebagai determinan dari sub matriks A berordo
n-1 × n-1 setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan.
Misalkan matriks A =
a a
a a
a a
a a
a
11 21
31 12
22 32
13 23
33
minor elemen a
11
adalah
a a
a a
a a
a a
a
11 21
31 12
22 32
13 23
33
sehingga M
11
a a
a a
22 32
23 33
80
Kelas XI SMAMASMKMAK
M
11
, M
12
, dan M
13
merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke–1 dari matriks A. Matriks kofaktor matriks A dilambangkan
C M
c M
a a
a a
ij i
j ij
ij i
j i
j
= − = −
= −
+ +
+
1 1
1
11 22
23 32
33
dan det
c c
c c
11 1 1
12 1 2
13 1
3 21
1 4
7 5
4 19
1 3
5 5
4 13
1 3
5 4
7 1
= − = −
= − =
= − =
=
+ +
+
− =
= − = −
= − = −
= −
+ +
+
1 3
7 5
4 23
1 4
5 5
4 9
1 4
5 3
7 13
2 1 22
2 2 23
2 3 31
c c
c 1
1 3
4 5
5 5
1 4
3 5
5 5
1 4
3 3
4 7
3 1
32 3 2
33 3 3
+ +
+
= − = −
= − = −
= c
c
Dari masalah di atas diperoleh matriks kofaktor A, dengan menggunakan rumus :
CA= a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a +
− +
− +
22 32
23 33
21 31
23 33
21 31
22 32
21 32
13 33
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
11 31
13 33
11 31
12 32
12 22
13 23
11 21
13 23
11 2
− +
− +
1 1
12 22
19 23
5 13
9 5
1 13
7 a
a
=
− −
− −
−
Matriks adjoin dari matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks
tersebut, dilambangkan dengan adj A = C
ij t
, yaitu:
Adj A
c c
c c
c c
c c
c
t
=
=
−
11 21
31 12
22 32
13 23
33
19 1
13 1
23 9
13 5
5 7
− −
− −
81
Matematika
Dari masalah 2.10 di atas, diperoleh inver matriks A. Dengan rumus :
A A
adj A
−
=
1
1 det
Sehingga:
A adj
A
−
= =
− −
− −
− −
=
1
1
1 32
19 13
1 23
9 13
5 5
7
det
A 1
19 32
13 32
1 32
23 32
9 32
13 32
5 32
5 32
7 32
− −
−
−
Berdiskusilah dengan temanmu satu kelompok, coba tunjukkan bahwa AA
-1
= A
-1
A = I, dengan
I adalah matriks identitas 3 × 3.
Bentuk matriks permasalahan 2.10 adalah 4
3 5
3 4
7 5
5 4
2030000
=
x y
z 1
1790000 2500000
Bentuk ini dapat kita nyatakan dalam bentuk persamaan AX = B. Untuk memperoleh
matriks X yang elemen-elemennya menyatakan biaya sewa hotel, biaya transportasi
dan biaya makan, kita kalikan matriks A
-1
ke ruas kiri dan ruas kanan persamaan AX
= B, sehingga diperoleh
X A B
= =
−
− −
− −
−
1
19 13
13 32
1 32
23 32
9 32
13 32
5 32
5 32
7 32
×
2030000 1790000
2500000
X =
547500 592500
116875
Hasil yang diperoleh dengan menerapkan cara determinan dan cara invers, diperoleh hasil yang sama, yaitu; biaya sewa hotel tiap malam adalah Rp547.500,00; biaya
transportasi adalah Rp592.500,00; dan biaya makan adalah Rp116.875,00.
Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan
