Menentukan Rumus Fungsi Invers
115
Matematika
Alternatif Penyelesaian
Karena y = fx, maka y = 5x + 7 5x = y – 7
x =
x -7
5
Karena x = f
-1
y, maka f
-1
y =
x -7
5
Karena f
-1
y =
x -7
5
, maka f
-1
x =
x -7
5
,
= −
1 5
7 x
Jadi fungsi invers fx = 5x + 7 adalah
f x
x
−
= −
1
1 5
7
.
Contoh 3.8
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = 3x – 1. Tentukanlah fungsi inversnya. Alternatif Penyelesaian
Karena y = fx, maka y = 3x – 1
y x
x y
x y
= −
= + =
+ 3
1 3
1 1
3
Karena f
-1
y = x, maka
f y
y
-1
1 3
= +
Karena
f y
y
-1
1 3
= +
, maka
f x
x
−
= +
1
1 3
, Jadi fungsi invers fx = 3x – 1 adalah
f x
x
−
= +
1
1 3
.
116
Kelas XI SMAMASMKMAK
Contoh 3.9
a Tunjukan rumus fungsi komposisi f ◦ f
-1
x dan f
-1
◦ fx b Kesimpulan apa yang bisa kamu temukan?
Alternatif Penyelesaian
1 Berdasarkan Contoh 3.7, diketahui bahwa fx = 5x + 7 dan f
-1
x =
1 5
x – 7. a Rumus fungsi komposisi
f ◦ f-1x dan f-1 ◦ fx ditentukan sebagai berikut. f
◦ f
-1
x = f f
-1
x = 5f
-1
x + 7 = 5
1 5
x – 7 + 7 =
x – 7 + 7 =
x f
-1
◦ fx = f
-1
fx =
x − 7
5 =
f x − 7
5 =
5 + 7 x
− 7 5
= 5x
5 =
x b Berdasarkan hasil pada butir a disimpulkan bahwa nilai
f ◦ f
-1
x = f
-1
◦ fx = x = I x 2 Sebagai latihanmu, silahkan buktikan bahwa
f ◦ f -1x = f
-1
◦ fx = x = I x juga berlaku pada Contoh 3.8.
Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.7 dan Contoh 3.8 diperoleh sifat berikut
117
Matematika
Sifat 3.5
Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal D
f
dan daerah hasil R
f
sedangkan Ix = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f
-1
merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika
f
◦
f
-1
x = x = I x untuk setiap x ∈ D
f
, dan f
-1
◦
fx = x = I x untuk setiap x ∈ R
f
.
Sifat 3.5 di atas dapat digunakan untuk mengetahui apakah suatu fungsi merupakan fungsi invers dari fungsi f atau tidak. Agar kamu lebih memahami, perhatikan kembali
Contoh 3.10 berikut.
Contoh 3.10
Buktikanlah bahwa fx = 10x – 1 dan gx = x
+1 10
merupakan fungsi yang saling invers.
Alternatif Penyelesaian
Untuk membuktikan bahwa fx dan gx saling invers, cukup menunjukkan fungsi komposisi fgx = gfx = x.
Bukti. i fgx =
f x+1
10
ii gfx =
g10x – 1 = 10gx – 1
=
10 1
1 10
x −
+
=
10 10
1 x+1
−
=
10 10
x
= x + 1 – 1
= x =
x Karena fgx = gfx = x, maka kedua fungsi saling invers.
Perhatikan kembali Contoh 3.11 berikut.
Contoh 3.11
Diketahui fungsi f: R→R dengan fx = x – 1. Tentukanlah f
-1 -1
x
118
Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian
Untuk menentukan rumus f
–1 -1
x maka langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan f
-1
x sebagai berikut. Diketahui bahwa fx = x – 1, karena fx = y, maka: y = x – 1 atau x = y + 1
Oleh karena x = f
-1
y, maka f
-1
y = y + 1 sehingga f
-1
x = x + 1. Langkah kedua adalah menentukan fungsi invers dari f
-1
x, sebagai berikut. Misalkan f
-1
x = hx, maka fungsi invers dari hx adalah h
-1
x, yang ditentukan seperti berikut.
Misalkan h
-1
adalah fungsi invers fungsi h. Untuk setiap x ∈ D
h
dan y ∈ R
h
berlaku y = hx jika dan hanya jika x = h
-1
y. Karena hx = x + 1 dan hx = y, kita peroleh hubungan y = x + 1 atau x = y – 1.
Karena x = h
-1
y, maka h
-1
y = y – 1 sehingga h
-1
x = x – 1. Karena f
-1
x = hx dan h
-1
x = x – 1, maka f
-1 -1
x = x – 1. Jadi,f
-1 -1
x = x – 1. Perhatikan kembali rumus fungsi f
-1 -1
x yang kita peroleh dengan rumus fungsi fx yang diketahui, dari kedua nilai ini kita peroleh bahwa
f
-1 -1
x = fx = x – 1 Berdasarkan hasil uraian pada Contoh 3.11 di atas, maka diperoleh sifat fungsi invers
sebagai berikut.
Sifat 3.6
Jika f sebuah fungsi bijektif dan f
-1
merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari f
-1
adalah fungsi f itu sendiri, disimbolkan dengan f
-1 -1
= f
Contoh 3.12
Diketahui fungsi f dan g adalah fungsi bijektif yang ditentukan dengan fx = 2x + 5 dan gx = x – 2. Tentukanlah
a g ◦ fx dan f ◦ g x
b f
-1
x dan g
-1
x c
g ◦ f
-1
x dan f ◦ g
-1
x
119
Matematika
d g
-1
◦ f
-1
x dan f
-1
◦ g
-1
x e
hubungan antara g ◦ f
-1
x dengan f
-1
◦ g
-1
x f
hubungan antara f ◦ g
-1
x dengan g
-1
◦ f
-1
x
Alternatif Penyelesaian
a g ◦ fx dan f ◦ g x
i g ◦ f x = gfx
= fx – 2 = 2x + 5 – 2
= 2x + 3 ii
f ◦ g x = fgx = 2gx + 5
= 2x- 2 + 5 = 2x + 1
b f
-1
x dan g
-1
x i
f
-1
x fx = 2x + 5
karena fx = y maka y = 2x + 5 2x = y – 5
x y
= − 7
5
Karena f
-1
y = x maka
f y
y
−
= −
1
5 2
sehingga f
-1
x =
f y
y
−
= −
1
5 2
120
Kelas XI SMAMASMKMAK
ii g
-1
x gx = x – 2
karena gx = y maka y = x – 2 sehingga x = y + 2 karena g
-1
y = x maka g
-1
y = y + 2 sehingga g
-1
x = x + 2 c
g ◦ f
-1
x dan f ◦ g
-1
x i
g ◦ f
-1
x g ◦ fx = 2x + 3
Misalkan g ◦ f x = hx sehingga hx = 2x + 3
karena hx = y maka y = 2x + 3 sehingga
x y
= −3
2
karena h
-1
y = x maka h
-1
y
x y
= −3
2
sehingga h
-1
x
2 3
− =
x
karena g ◦ fx = hx maka g ◦ f
-1
x = h
-1
x sehingga
g ◦ f
-1
x ii
f ◦ g
-1
x f ◦ gx = 2x + 1
Misalkan f ◦ gx = kx sehingga kx = 2x + 1
karena kx = y maka y = 2x + 1 sehingga x
y =
−1 2
karena k
-1
y = x maka k
-1
y
2 1
− =
y
sehingga k
-1
x =
− x 1
2 karena
f ◦ gx = kx maka f ◦ g
-1
x = k
-1
x sehingga
f ◦ g
-1
x =
− x 1
2
121
Matematika
d g
-1
◦ f
-1
x dan f
-1
◦ g
-1
x i g
-1
◦ f
-1
x Pada butir b telah ditemukan bahwa g
-1
x = x + 2 dan f
-1
x = x
− 5 2
g
-1
◦ f
-1
x = g
-1
f
-1
x = f
-1
x + 2 =
x −
+ 5
2 2
= x
− + 5
4 2
2 1
− =
x
ii f
-1
◦ g
-1
x f
-1
◦ g
-1
x = f
-1
g
-1
x =
g x
−
−
1
5 2
= x +
− 2
5 2
= x
− 3 2
e hubungan antara g ◦ f
-1
x dengan f
-1
◦ g
-1
x Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi g
◦ f
-1
x sama dengan f
-1
◦ g
-1
x atau g ◦ f
-1
x = f
-1
◦ g
-1
x
2 1
− =
x
.
122
Kelas XI SMAMASMKMAK
f hubungan antara f ◦ g
-1
x dengan g
-1
◦ f
-1
x Hasil perhitungan di atas menunjukkan bahwa rumus fungsi
f ◦ g
-1
x sama dengan g
-1
◦ f
-1
x atau f ◦ g
-1
x = g
-1
◦ f
-1
x . Berdasarkan Contoh 3.12 di atas dapat kita simpulkan sifat berikut.
Sifat 3.7
Jika f dan g fungsi bijektif maka berlaku g ◦ f
-1
= f
-1
◦ g
-1
Agar kamu lebih memahami Sifat 3.7, selesaikanlah latihan berikut.
Latihan Fungsi f: R→R dan g: R→R ditentukan oleh rumus fx = 5x - 4 dan gx = 3x.
Tentukanlah rumus fungsi komposisi f ◦ g
-1
x dan g ◦ f
-1
x
Contoh 3.13
Tentukanlah invers fungsi fx berikut. a. fx = 2x – 4
b. fx = x
2
– 4x + 2 c. fx =
2 1
4 1
x x
- -
Alternatif Penyelesaian
a. Menentukan invers fx = 2x – 4 Misalkan
y = 2x – 4 sehingga x = y
+ 4 2
Dengan demikian, f
-1
x = x
+ 4 2
b. Menentukan invers fx = x
2
– 4x + 2 Misalkan
y = x
2
– 4x + 2 sehingga dengan kuadrat sempurna diperoleh: y = x
2
– 4x + 4 – 4 + 2 ⇔ y = x – 2
2
–2 ⇔ y +2 = x – 2
2
⇔ x – 2 = ±
+ y
2 ⇔ x = 2
± +
y 2
sehingga f
-1
x = 2
123
Matematika
c. Menentukan invers fx = 2
1 4
1 x
x -
- Misalkan
y = 2
1 4
1 x
x -
- sehingga dengan proses aljabar,
y = 2
1 4
1 x
x -
- ⇔ y4x – 1 = 2x – 1
⇔ 4xy – y = 2x – 1 ⇔ 4xy – 2x = y – 1
⇔ x4y – 2 = y – 1 ⇔ x =
y y
- -
1 4
2 sehingga
f
-1
x = x
x −
− 1
4 2
Uji Kompetensi 3.2
1. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar fx rupiah. Nilai keuntungan yang diperoleh mengikuti
fungsi fx = 100x + 500, x merupakan banyak potong kain yang terjual. a Jika dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 100 potong kain,
berapa keuntungan yang diperoleh? b Jika keuntungan yang diharapkan sebesar Rp500.000,00 berapa potong kain
yang harus terjual? c Jika
A merupakan himpunan daerah asal domain fungsi fx dan B merupakan himpunan daerah hasil range fungsi fx, gambarkanlah permasalahan butir
a dan butir b di atas. 2. Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut jika ada.
a fx = 2x
2
+ 5 b gx =
2 1
6 x
− c
hx = x
+ 2
3
3. Diketahui f dan g suatu fungsi dengan rumus fungsi fx = 3x+ 4 dan gx =
. 3
4 −
x
Buktikanlah bahwa f
-1
x = gx dan g
-1
x = fx.
124
Kelas XI SMAMASMKMAK