Tujuan Penelitian Kontribusi Penelitian Metode Penelitian

Dalam penentuan solusi terbaik di antara himpunan solusi Pareto Optimal tersebut dapat diperoleh melalui tradeoffs di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dapat memberikan solusi yang paling memuaskan yang mungkin dicapai[11].

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan tulisan ini adalah dengan menggunakan bobot-bobot berinterval parametric programming mula-mula sejumlah titik-titik efisien solusi non- inferior atau Pareto Optimal akan dikembangkan. Dengan ditetapkannya parameter itu, semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh. Setelah solusi-solusi efisien di daerah fisibel diketahui, tahap berikutnya adalah memilih kesekian banyak titik- titik efisien tersebut suatu solusi “terbaik”.

1.5 Kontribusi Penelitian

Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang sedang mempelajari Goal Programming, semoga penelitian ini bermanfaat bagi pembaca dan peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang menggunakan konsep yang sama dan secara umum dapat memberi kontribusi pada pengguna Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi optimal yang mungkin dicapai pengambilan keputusan.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur dalam berbagai buku teks dan jurnal. Usulan langkah-langkah untuk Pareto Optimal dalam menentukan solusi Goal Programming dengan model pembobotan adalah sebagai berikut: 5 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Min. p i i i i i w w Z 1 Subject to: ; ,..., 2 , 1 ; ,..., 2 , 1 p i untuk dan R x X p i untuk g x f i i n i i i i Keterangan: i i w w , : vektor pembobotan yang diberikan terhadap deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan i. Catatan disimpan: Asumsikan X adalah compact dan f i for i=1,2,…,p kontinu dari X, formulasi tersebut mempunyai solusi. Tidak ada jaminan bahwa solusi ini adalah Pareto Optimal. Pada penentuan Pareto Optimal secara umum, banyak tipe dari masalah Goal Programming di mana himpunan variabel keputusan adalah compact dan fungsi tujuan adalah kontinu. Akan diperoleh solusi optimal dan mendominasi nanti[5]. Teorema: Andaikan X adalah compact dan fungsi f i for i=1,2,…,p adalah kontinu p i i X x x f Min 1 Untuk: p i x f x f dan X x x X i i ,..., 2 , 1 , , adalah Pareto Optimal, Jika tidak bukan solusi Pareto Optimal. Bukti: Dengan kontribusi X x , Karena X adalah compact dan fungsi f i for i=1,2,…,p adalah kontinu, X adalah compact. Akibatnya, Program 2 setidaknya memiliki satu solusi. Untuk menunjukkan bahwa ada solusi dari program 2 adalah solusi Pareto Optimal dengan membiarkan x menjadi solusi untuk program 2. Prosedur untuk mencari solusi Pareto Optimal yang mendominasi ini. 6 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Prosedur: Asumsikan bahwa teorema di atas diperoleh solusi Pareto Optimal. Langkah 1: Pandang program 1 jika x menjadi solusi dari program ini. Langkah 2: Pandang program 2 jika X x menjadi solusi dari program ini. -Jika p i p i i i x f x f 1 1 , maka x adalah solusi program 2. Ini berarti bahwa Pareto Optimal. -Jika p i p i i i x f x f 1 1 , yaitu x adalah bukan solusi program 2. Dengan alternatif-alternatif X x , akan diperoleh p i for x f x f i i ,..., 2 , 1 dan ada j yang seperti itu x f x f j j . Oleh karena itu x adalah Pareto Optimal dan mendominasi x . Pengambilan keputusan dapat mengambil sebagai keputusan yang optimal[3]. Metodologi Goal Programming dengan metode Interactive Linear Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut: a. Formulasi persoalan Goal Programming. b. Pendekatan pembobotan parametric sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal. c. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off. d. Menentukan solusi “terbaik” atau solusi “optimal” dengan menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti . Definisi: X adalah solusi non-inferior atau Pareto Optimal untuk persoalan Min fx d.p d T X : jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan d T X , di mana x f x f , dan x f x f p p untuk beberapa fungsi tujuan p=1,2,…,n. 7 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Teorema 1: Lihat persamaan Min. x f x f 2 1 1 1 Subject to: a x f b 3 X g X T X d I. 1 f adalah selalu tidak akan pernah bertambah monotonically non- increase untuk 1 dan 2 f adalah selalu tidak akan pernah berkurang monotonically non-decrease untuk 1 . II. Setiap solusi X dari persamaan 1 adalah Pareto Optimal untuk 1 , . III. Solusi Pareto Optimal bukanlah solusi yang tunggal dan karenanya merupakan suatu himpunan alternatif solusi-solusi yang banyak jumlahnya itu. Teorema 2: I. Min. 1 f dan Maks. 2 f sebagaimana persamaan 1 adalah selalu tidak akan pernah berkurang monotonically non-decrease untuk harga di antara 1 . II. Setiap solusi X dari persamaan 1 adalah Pareto Optimal untuk 1 . Lema 1: Teorema 2 di atas mengandung arti bahwa setiap solusi Pareto Optimal persamaan ini adalah a lternatif dari solusi “terbaik” preferred solution dengan batas-batas harga yang terletak di antara 1 , dan dapat dinyatakan secara visual dalam bentuk kurva tradeoffs. Definisi: Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui proses perimbalan tradeoffs di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan. 8 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs penilaian tolak angsur di antara tujuan-tujuan, sasaran-sasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut. Dengan menerapkan dasar-dasar teoritis yang telah dibahas dapat disusun oleh algoritma Interaktif optimisasi multiobjective dengan langkah-langkah berikut: Langkah 1: Buatlah formulasi model optimisasi multiobjectif dalam bentuk Linear Programming. Langkah 2: Buatlah tabel matriks pay-off untuk tiga fungsi tujuan f 1,, f 2, dan f 3. Langkah 3: Carilah dari tabel matriks pay-off tersebut batas-batas atas upper dan bawah lower fungsi-fungsi tujuan f 1,, f 2, dan f 3. Langkah 4: Bagilah rentangan f 3 menjadi tiga kendala pembatas untuk masing- masing. Langkah 5: Buatlah kurva tradeoffs antara f 1 dengan , f 2 mengubah nilai 1 secara parametrik, dan f 3 diperlakukan sebagai tiga rentangan kendala pembatas. Min. x f x f 2 1 1 Subject to: a x f b 3 X g X T X d . Langkah 6: Dengan menerapkan konsep penalti dapat menentukan solusi “terbaik” di antara solusi Pareto Optimal yang terlihat secara grafik pada kurva tradeoffs masing-masing tiga rentang kendala. Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari Pareto Optimal pada Goal Programming yang akan digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini, akan membahas masalah pembobotan dalam menentukan solusi Optimal pada Goal Programming. Beberapa konsep dan metoda analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming akan dipergunakan pada bab pembahasan . Goal Programming Program tujuan ganda yang dalam bahasa Inggris disebut Multiple Objective Programming atau Goal Programming adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik operasi riset yang memakai model matematika yang merupakan modifikasi khusus dari program linear. Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada tahun 1961. Jadi boleh dikatakan sebagai suatu teknik analisis dalam kelompok operasi riset yang umurnya masih muda dibandingkan dengan teknik-teknik analisis yag lain. Akan tetapi dewasa ini penerapan teknik analisis ini sudah menyusup hampir keseluruh bidang pembangunan dan disiplin ilmu, seperti: bidang perencanaan sumber daya alam, bidang perencanaan akademis, perencanaan keuangan, dan lain-lain. Adapun tujuan dari analisis Goal Programming adalah untuk meminimumkan jarak antara dan deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mendapatkan target atau tujuan tersebut secara memuaskan atau memenuhi target paling tidak mendekati target sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya[6] . Formulasi dan Model Goal Programming Metodelogi Goal Programming adalah bergerak dalam masalah-masalah yang tujuannya unidimensional tujuan tunggal ataupun Multidimensional tujuan ganda, dan lebih dari dua. Formulasi Goal Programming hampir sama dengan formulasi Linear Programming. Tahap pertama, ditetapkan peubah-peubah pengambilan keputusan, selanjutnya spesifikasi yang dihadapi dan yang ingin di analisis, menurut prioritasnya mana prioritas pertama, kedua, dan seterusnya. Urutan prioritas ini dapat disusun dalam skala kardinal maupun ordinal. Asumsi-asumsi yang berlaku Goal Programming adalah peubah-peubah deviasional yang terdiri dari peubah deviasi positif dan deviasi negatif. Model umum dari Goal Programming tanpa faktor prioritas di dalam strukturnya adalah sebagai berikut. Min. m i i i i W Z 1 = i m i i i i W W 1 Subject to; tujuan n i i i i j ij m i untuk b X a ,..., 2 , 1 1 n j fungsi kendala n j k j kj p i untuk C atau X g ,..., 2 , 1 ; 1 ,..., 2 , 1 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. , , , i i i i j X Keterangan: i i , : jumlah unit deviasi positif dan deviasi negatif terhadap tujuan b i i i W W , : timbangan atau penalty ordinal atau kardinal yang diberikan terhadap suatu unit deviasi negatif atau deviasi positif terhadap tujuan b i a ij : koefisien teknologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan X j . X j : peubah pengambilan keputusan b i : tujuan atau target yang ingin dicapai g kj : koefisien fungsi kendala biasa. C k : jumlah sumber daya k yang tersedia Catatan: bahwa jika tidak dapat mencapai deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah deviasional atau ke dua-duanya akan menjadi nol seperti yang ditunjukkan berikut ini: i i i i i i i i i i i i i i Z l jika l Z Z l jika dan Z l jika o Z l jika Z l , , , , Keterangan: l i = target Z i = tujuan 12 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Keadaan di mana koefisien teknologi a ij yang berhubungan dengan fungsi kendala tujuan, dan g kj yang berhubungan dengan fungsi kendala sumber daya harus ditetapkan secara eksplisit. Hal ini berarti bahwa tradeoffs di antara fungsi tujuan tidak perlu dikuantifikasikan. tetapi satu tujuan dengan tujuan lainnya saling bertentangan. Dengan demikian harus ditetapkan terlebih dahulu mana di antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan dan diprioritaskan Faktor prioritas dapat ditentukan mana tujuan yang lebih penting sebagai prioritas ke-1, dan tujuan yang kurang penting ditentukan sebagai prioritas ke-2, dan seterusnya. Pembagian prioritas tersebut adalah pengutamaan preemptive. Jadi harus di susun dalam suatu urutan rangking menurut prioritasnya, sehingga dapat dinyatakan faktor prioritas sebagai P i untuk i=1, 2,…,m. Faktor-faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut: P i P 2 P 3 P i+1 Untuk: = ”jauh lebih tinggi daripada” Dengan demikian, model umum yang memiliki struktur timbangan pengutamaan preemptive weights dengan urutan ordinal. Min. Z = 1 , , i m i s i s i y i y W P W P Subject to; tujuan n i i i i j ij m i untuk b X a ,..., 2 , 1 1 n j fungsi kendala n j k j kj p i untuk C atau X g ,..., 2 , 1 ; 1 ,..., 2 , 1 , , , i i i i j X Keterangan: i i , : deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target ke-i s y P P , : faktor-faktor prioritas 13 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. y i W , : timbangan relatif dari i dalam urutan rangking ke-y. s i W , : timbangan relatif dari i dalam urutan rangking ke-s[6]. Metode Untuk Menyelesaikan Goal Programming Pada perumusan Goal programming diberikan pembobotan yang khusus pada tujuan- tujuan yang ingin dicapai dan pada berbagai prioritas yang diberikan dalam mencapai tujuan-tujuan tersebut. Hal ini dilakukan terhadap tujuan atau sasaran tidak mungkin tercapai karena menunjukkan tidak terdapat preferensi terhadap mana yang lebih diutamakan dan diberikan bobot yang lebih berarti daripada yang lain dan baik i i maupun diberikan bobot yang lebih besar daripada nol Aplikasi Goal Programming Model perencanaan di bidang pertanian Tabel 2.1: Data Perencanaan Usahatani No Variabel Keputusan Tanaman Pear X1ha Tanaman Peach X2ha Ketersediaan Sumberdaya Modal tahunan Pemangkasan jammusim Panen Max. traktor jam 1 NPV Rpha 6250 5000 2 Sumber penghasilan: Modal tahun1 550 400 15000 Tahun 2 200 175 22000 tahun 3 300 250 29000 Tahun 4 325 200 36000 3 Tenaga kerja tahunan Pemangkasan 120 100 4000 Panen 400 450 2000 Mesin Pengolahan jamha 35 35 1000 Tujuan Usahatani: 1. Maksimumka NPV Net Present Value 2. Minimimumkan pinjaman modal selama 4 tahun 14 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. 3. Minimimumkan tenaga kerja musiman untuk pemangkasan dan panen 4. Minimimumkan sewa traktor adalah kepentingan yang saling bertentangan Strategi dengan Linear Programming biasa: 1. NPV dimaksimumkan 2. Tujuan lain sebagai kendala sumberdaya 3. Total sumber penghasilan: Surplus tahun 1 dimasukkan sebagai tambahan tahun berikutnya. Pendekatan program linier Maks. Z= 6250 X 1 + 5000 X 2 Subject to: 500X 1 + 400X 2 15.000 750X 1 + 575X 2 22.000 1050X 1 + 825X 2 29.000 1375X 1 + 1025X 2 36.000 120X 1 + 180 X 2 4000 400X 1 2000 450X 2 2000 35X 1 +35X 2 1000 X 1, X 2 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Menguji optimalitas dengan metode simpleks sebagai berikut: A. Maksimasi Tabel 2.2: Tabel simpleks Maksimasi Iterasi 0 Basis C 6250 5000 B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X3 500 400 1 15000 X4 750 575 1 22000 X5 1050 825 1 29000 X6 1375 1025 1 36000 sxX7 120 180 1 4000 X8 400 1 2000 X9 450 1 2000 X10 35 35 1 1000 Zj-Cj 6250 5000 Iterasi 1 Basis C 6250 5000 B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X3 400 1 -1.25 12,500 X4 575 1 -1.875 18,250 X5 825 1 -2.625 23,750 X6 1025 1 -3.4375 29,125 X7 180 1 -0.3 3,400 X1 6250 1 0.0025 5 X9 450 1 2,000 X10 35 -0.0875 1 825 Zj-Cj 5000 -15.625 31.250 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Iterasi 2 Basis C 6250 5000 B X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X3 1 -1.25 -0.889 10,722.22 X4 1 -1.875 -1.278 15,694.44 X5 1 -2.625 -1.833 20,083.33 X6 1 -3.4375 -2.278 24,569.44 X7 1 -0.3 -0.4 2,600 X1 6250 1 0.0025 5 X2 5000 1 0.0022 4.4444 X10 -0.0875 -0.078 1 669.4444 Zj-Cj -15.625 53472.22 Solusinya: X 1 = 5 ha X 2 = 4.44 ha NPV = 53.472 Tenaga kerja panen digunakan semua Sumberdaya lainnya tidak habis digunakan, ada sisa sumberdaya. Menurut Linear Programming ini optimal karena: 1. Tujuan yang diformulasikan sebagai kendala dipenuhi dulu sebelum NPV 2. Setiap solusi yang layak harus memenuhi fungsi kendala Pendekatan tujuan tunggal dengan banyak fungsi kendala seperti ini lazimnya menghasilkan solusi yang tidak memuaskan, sehingga muncullah pendekatan Multiple Criteria atau sering disebut Goal Programming[8]. Dalam model Goal Programming, formula ketidak-samaan seperti di atas dianggap sebagai tujuan g dan bukan sebagai kendala Right hand side values RHS merupakan target yg dapat tercapai atau hanya dapat didekati. Untuk setiap fungsi tujuan diberi dua macam variabel i i dan untuk mengubahnya menjadi persamaan: Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. 6250X 1 + 5000X 2 + 1 1 = 200.000 g 1 500X 1 + 400X 2 + 2 2 = 15.000 g 2 750X 1 + 575X 2 + 3 3 = 22.000 g 3 1050X 1 + 825X 2 + 4 4 = 29.000 g 4 1375X 1 + 1025X 2 + 5 5 = 36.000 g 5 120X 1 + 180 X 2 + 6 6 = 4000 g 6 400X 1 + 7 7 = 2000 g 7 450X 2 + 8 8 = 2000 g 8 35X 1 +35X 2 + 9 9 = 1000 g 9 Pengambil kepuntusan ingin meminimumkan NPV Simpangan negatif i : Di bawah pencapaian Simpangan positif i : Tujuan yang melebihi target Over achievement , , i i i i atau Min i i Tujuan Goal Prorgamming adalah meminimumkan deviasi Mendefinisikan semua tujuan yang relevan dengan situasi perencanaan menetapkan prioritas tujuan: Qi Qj Prioritas tinggi dipenuhi lebih dahulu: Lexicographic order Q1 : untuk g 2 , g 3 , g 4 , g 5 adalah 5 4 3 2 , , , Q2 : untuk g 9 : 9 Q3 : untuk g 1 : 1 Q4 : untuk g 6 , g 7 , g 8 : 8 7 6 , , Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Sehingga diperoleh fungsi tingkat pencapaian f i x sebagai berikut: Min A = [ 5 4 3 2 , 9 , 1 , 8 7 6 , , ] Subject to: Q 3 : 6250X 1 + 5000X 2 + 1 1 = 200.000 g 1 Q 1: 500X 1 + 400X 2 + 2 2 = 15.000 g 2 750X 1 + 575X 2 + 3 3 = 22.000 g 3 1050X 1 + 825X 2 + 4 4 = 29.000 g 4 1375X 1 + 1025X 2 + 5 5 = 36.000 g 5 Q 4 : 120X 1 + 180 X 2 + 6 6 = 4000 g 6 400X 1 + 7 7 = 2000 g 7 450X 2 + 8 8 = 2000 g 8 Q 2 : 35X 1 +35X 2 + 9 9 = 1000 g 9 9 ,..., 1 2 , 1 , , , j dan i X j j i Solusi optimum : X 1 = 19.18 X 2 = 9.38 Variabel deviasi: 1 = 33.250 1 = 0 2 = 699 2 = 0 3 = 2.221 3 = 0 4 = 1.122 4 = 0 7 7 = 5672 8 8 = 2211 9 6 5 9 6 5 Prioritas I Q 1 : g 5 tercapai Prioritas II Q 2 : g 9 tercapai Prioritas IV Q 4 : g 6 tercapai 19 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Dibandingkan dengan penyelesaian Linear Programming pada sebelumnya, sehingga diperoleh nilai NPV lebih tinggi. Sumberdaya habis dipakai masih kurang sumber daya yang digunakan dan modal masih ada sisanya. Pareto Optimality Pareto Optimal merupakan penyelesaian atau proses keputusan dengan cara mengevaluasi alternatif-alternatif keputusan dari solusi Goal Programming yang banyak jumlahnya itu, untuk memilih alternatif terbaik yang dapat diterima. Karena cirinya yang tidak mengenal ketunggalan, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif Pareto Optimal yang dikenal juga solusi non-dominance atau non-inferior. Definisi: Solusi Non-inferior adalah suatu keadaan di mana tidak mungkin diperoleh pengurangan pengecilan dari setiap fungsi tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan mengakibatkan pertambahan pembesaran sekurang-kurangnya satu fungsi tujuan lainnya. Atau dapat dinyatakan: X adalah solusi non-inferior atao Pareto Optimal untuk persoalan Min. fx d.p d T X :jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan d T X ,di mana x f x f , dan x f x f p p untuk beberapa fungsi tujuan p=1,2,…,n. Dengan pendekatan parametrik mengevaluasi alternatif-alternatif solusi Pareto Optimal. Di antara solusi Pareto Optimal itulah harus ditentukan solusi yang dianggap “terbaik” preferred solution sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan. Definisi: Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui 20 Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. proses perimbalan tradeoffs di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan. Metodologi Goal Programming dengan metode Interactive Linear Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut: e. Formulasi persoalan Goal Programming. f. Pendekatan pembobotan parametric sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal. g. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off. h. Menentukan solusi “terbaik” atau solusi “optimal” dengan menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti [11]. Solusi Pareto Optimal yang dikembangkan dengan penggunaan pendekatan parametrik yang diusulkan oleh Geoffrion dengan formulasi berikut ini. Min. x f x f 2 1 1 Subject to: a x f b 3 X g X T X d Keterangan: x f dan x f x f 3 2 1 , : tiga fungsi tujuan yang dipilih dengan vektor keputusan n R x T d : daerah fisibel variabel keputusan gx fungsi kendala vektor m k R R G : : parameter yang berubah di antara 1 a,b : batas atas dan bawah koefisien Metoda Goal Programming yang diusulkan adalah berbentuk interaktif, di mana hasil akhir optimisasi merupakan alternatif-alternatif Pareto Optimal akan dianalisa secara kuantitatif antara lain adalah menyatakan dalam bentuk tabel matriks pay-off, kurva trade-off , dan cara pemilihan solusi “terbaik” konsep faktor penalti , sebagai berikut: Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. 1. Matriks pay-off Terlebih dahulu suatu himpunan Pareto Optimal dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan parametrik. Dengan memberikan salah satu fungsi tujuan bobot maksimum misal W=0,999, maka fungsi tujuan lainnya diberi bobot minimum misal W=0,001 untuk masing-masing fungsi tujuan f 1, , f 2, dan f 3 dan hitung nilai masing-masing fungsi tujuan sehingga diperoleh solusi optimal untuk setiap fungsi tujuan tersebut yaitu 3 2 1 , , f dan f f yang masing-masing terdiri atas 3 tiga nilai: 1 3 1 2 1 1 1 1 , , : x x x x f 2 3 2 2 2 1 2 2 , , : x x x x f 3 3 3 2 3 1 3 3 , , : x x x x f Selanjutnya susunlah nilai dari fungsi tujuan tersebut ke dalam suatu satu tabel di mana baris-baris rows menyatakan nilai solusi optimal x 1 ,x 2 ,x 3 dan kolom-kolom columns menunjukkan batas-batas harga setiap fungsi tujuan 3 2 1 , , f f f . Dengan demikian carilah nilai terbesar dan terkecil dari masing-masing kolom. Misal M p sebagai nilai terbesar dan m p sebagai nilai terkecil. Ulangi hal tersebut di atas untuk p=1,…,3. dan nilai-nilai tersebut disebut sebagai batas atas dan batas bawah setiap fungsi tujuan itu. 2. Kurva tradeoffs Mengembangkan nilai tradeoffs antara f 1 vs f 2 secara pendekatan parametrik yaitu dengan mengubah-ubah bobot W 1 dari 001 , 999 , dan W 2 dari 999 , 001 , . Pilih dari masing-masing kurva yang telah disajikan secara visual tersebut satu solusi terbaik yang sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan untuk setiap strategi akan diperoleh 3 solusi optimal. 3. Faktor pen alti . Dalam model ini kriteria untuk menentukan solusi terbaik itu disebut sebagai faktor penalti . Faktor penalti dikembangkan berdasarkan konsep perimbalan tradeoffs yang mampu menggambarkan seberapa jauh pengorbanan f 1 vs f 2 . Dari sisi lain faktor penalty dapat pula berperan sebagai indikator perubahan nilai. Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010. Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan dengan menggunakan bobot-bobot berinterval parametric programming mula-mula sejumlah titik-titik efisien akan dievaluasikan, maka semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh, di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs penilaian tolak angsur di antara tujuan-tujuan, sasaran- sasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut[4]. Konsep Solusi Pareto Optimal Setelah solusi-solusi efisien Pareto Optimal di daerah fisibel diketahui, selanjutnya memilih dari sekian banyak titik-titik efisi en tersebut suatu solusi yang “terbaik”. Pada permasalahan Goal Programming yang tidak mengenal solusi Optimal yang tunggal dan memuaskan dengan mendapatkan solusi Pareto Optimal yang disebut Non- dominance atau efficiency atau non-inferior. Interprestasi grafis dari konsep Pareto Optimal untuk persoalan optimisasi tujuan ganda yang mengandung pengertian yang bersifat “duality” dan dapat dinyatakan melalui dua konsep ruang; Minimum. x f Subject to: T x f T =ruang fungsi tujuan objective space Minimum. x f Subject to: d T x T d =ruang variable keputusan decision space Ke dua-duanya memperlihatkan suatu bentuk sebarang daerah fisibel[11]. Sri Keumalawati : Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming, 2010.

2.7 Preferensi Pengambilan Keputusan