Menentukan Solusi Optimal Parametrik Dengan Menggunakan Metode Simplex

(1)

PARAMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN

METODE SIMPLEX

SKRIPSI

DUMARIA LESTAURIKA TAMBUNAN

020803024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2007

(2)

MENENTUKAN SOLUSI OPTIMAL PROGRAM LINIER PARAMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEX

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

DUMARIA LESTAURIKA TAMBUNAN 020803024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2007

(3)

Persetujuan

JUDUL : MENENTUKAN SOLUSI OPTIMAL PROGRAM LINIER PARAMETRIK DENGAN

MENGGUNAKAN METODE SIMPLEX

KATEGORI : SKRIPSI

NAMA : DUMARIA LESTAURIKA TAMBUNAN

NOMOR INDUK MAHASISWA : 020803024

PROGRAM STUDI : SARJANA (S1) MATEMATIKA

DEPARTEMEN : MATEMATIKA

FAKULTAS : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM ( FMIPA ) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Desember 2007

Komisi pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. F. Bu’ulolo, M.Si Dra. Esther Sorta M. Nababan, M.Sc Nip. 130810772 Nip. 131757011

Diketahui/disetujui oleh

Departemen matematika fmipa usu Ketua,

Dr. Saib suwilo, m.sc Nip. 131796149

(4)

PERNYATAAN

MENENTUKAN SOLUSI OPTIMAL PROGRAM LINIER PARAMETRIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE SIMPLEX

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2007

DUMARIA LESTAURIKA TAMBUNAN 020803024

(5)

PENGHARGAAN

Pertama sekali saya mengucapkan segala puji dan syukur kepada tuhan yang maha pengasih dan pemurah yang telah memberikan kekuatan dan penyertaannya kepada saya, sehingga saya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-baiknya.

Skripsi ini merupakan salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahasiswa/i departemen matematika, fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam. Pada skripi ini saya melakukan studi tentang menentukan solusi optimal program linier parametrik dengan menggunakan metode simplex.

Dalam kesempatan ini saya mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada ibu dra. Esther sorta m. Nababan, m.sc selaku pembimbing satu dan bapak drs. F. Bu’ulolo, m.si selaku pembimbing dua yang telah membimbing dan mengarahkan saya serta memberikan waktu, tenaga, pikiran dan bantuannya kepada saya sehingga skripsi ini dapat selesai tepat waktu.

Selanjutnya saya juga mengucapkan terima kasih kepada bapak dr. Eddy marlianto, m. Sc selaku dekan fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam universitas sumatera utara, bapak dr. Saib suwilo, m.sc dan bapak drs. Henry rani, m..si selaku ketua dan sekretaris departemen matematika di fmipa usu sekaligus selaku penguji skripsi dan seluruh staff pengajar matematika di fmipa beserta pegawai administrasi. Teristimewa, kepada kedua orang tua, keluarga, sahabat-sahabat saya, roma, rani, darwin, winda, okta dan semua pihak yang selama ini telah memberikan banyak bantuan doa dan dorongan semangat yang saya perlukan. Tuhan memberkati dan membalas segala kebaikan yang telah diberikan selama ini.

Sebagai seorang mahasiswa, penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan demi perbaikan penulisan ini dari berbagai pihak yang terkait di dalamnya.

Medan, Desember 2007 Penulis

(6)

ABSTRAK

Pada masalah program linier, parameter-parameter dalam model dapat mengalami perubahan. Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan yang terjadi pada parameter-parameter terhadap solusi optimal yang telah dicapai. Di sisi lain, program linier parametrik merupakan analisis tentang pengaruh perubahan kontinu parameter terhadap solusi optimal. Masalah program linier parametrik memperkenankan parameter terpilih ( b atau _i c_j ) diubah secara kontinu pada interval tertentu. Pada studi ini, masalah program linier parametrik akan diselesaikan dengan menggunakan metode simplex berdasarkan prosedur analisis sensitivitas. Variasi solusi optimal dengan interval perubahan parameter yang diizinkan akan ditemukan dengan menggunakan metode ini. Akhirnya, ketika parameter berubah secara kontinu ( b atau _i c_j ), variasi solusi optimal akan memberi kemudahan bagi pengambil keputusan untuk mengambil kebijakan dan memberi keuntungan maksimum.

(7)

ABSTRACT

In the linear programming problem, the parameters of models can be changed. The sensitivity analysis is the analysis that made for knowing the parameter changes effect on the optimal solution had been obtained. In other side, the parametric linear programming is the analysis about continuous parameter changes effect on the optimal solution. The parametric linear programming problem allows selected parameters ( b _i

or cj ) to be varied continuously over specified ranges. In this study, the parametric

linear programming problem will be solved by using simplex method based on sensitivity analysis procedure. The variations of optimal solution with the interval of parameter changes that allowed will be found by using this method. Finally, when the parameter change continuously ( b or _i c_j ), the variations of optimal solution will give simplicities for decision maker in order to take policies and give maximum benefit.

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar isi vii

Daftar tabel viii

Daftar gambar ix

Bab 1. Pendahuluan 1

1.1 latar belakang masalah 1

1.2 perumusan masalah 3

1.3 tinjauan pustaka 3

1.4 tujuan penelitian 5

1.5 kontribusi penelitian 5

1.6 metode penelitian 5

Bab 2. Landasan teori 6

2.1. Program linier 6

2.2. Solusi sistem persamaan linier melalui operasi pivot 12

2.3. Metode simplex 16

2.4. Metode dual simplex 24

2.5. Analisis sensitivitas 31

2.6. Programm linier parametrik 33

Bab 3. Pembahasan 36

3.1 prosedur penyelesain masalah program linier parametrik 36 3.2 penyelesain contoh masalah program linier parameetrik 41

Bab 4. Kesimpulan dan saran 60

4.1 Kesimpulan 60

4.2 saran 60

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 2.1 perubahan nilai pada tabel simplex 24 Tabel 3.1 solusi basis optimal untuk θ =0 42 Tabel 3.2 koefisien arus basis untuk

2 3 − =

θ 44 Tabel 3.3 solusi basis optimal untuk

2 3 − <

θ 45 Tabel 3.4 koefisien arus basis untuk

7 9 =

θ 46 Tabel 3.5 solusi basis optimal untuk

7 9 >

θ 46 Tabel 3.6 koefisien arus basis untuk θ =5 47

Tabel 3.7 solusi basis optimal untuk θ >5 48 Tabel 3.8 pemakaian prosedur program linier parametrik c_j 49

Tabel 3.9 solusi basis optimal untuk θ =0 52 Tabel 3.10 nilai sisi kanan untuk

2 1 =

θ 54 Tabel 3.11 solusi basis optimal untuk

2 1 >

θ 54 Tabel 3.12 nilai sisi kanan untuk

2 1 − =

θ 55 Tabel 3.13 solusi basis optimal untuk

2 1 − =

θ 56 Tabel 3.14 pemakaian prosedur program linier parametrik b 57 i

Tabel 3.15 variasi solusi optimal pada perubahan c_j 58

(10)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 nilai fungsi tujuan (

z

_maks ) untuk perubahan kontinu

c

_j 50 Gambar 3.2 solusi daerah layak z

( )

θ

untuk perubahan

c

Gambar 3.3 nilai fungsi tujuan (

maks

z

) untuk perubahan kontinu

b

_i 57 Gambar 3.4 solusi daerah layak z

( )

θ

untuk perubahan

b

_i 58

(11)

ABSTRAK

(12)

ABSTRACT

or cj ) to be varied continuously over specified ranges. In this study, the parametric

(13)

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam pemodelan program linier, semua parameter yang digunakan dalam model diasumsikan dapat diketahui secara pasti. Parameter-parameter ini terdiri dari koefisien batasan

( )

a_ij , nilai kuantitas batasan

( )

b , dan koefisien tujuan _i

( )

c_j . Biasanya model-model yang diformulasikan seolah-olah menunjukkan bahwa semua parameter diketahui dengan tepat. Namun kenyataannya, parameter-parameter tersebut sebenarnya adalah hasil perkiraan pengambil keputusan yang dapat mengalami perubahan karena faktor-faktor tertentu.

Faktor-faktor yang menyebabkan perubahan-perubahan parameter ini, umumnya merupakan faktor yang berada di luar kendali para pengambil keputusan. Faktor-faktor tersebut seperti situasi ekonomi, bencana alam, dan lain sebagainya. Apabila situasi ekonomi mengalami krisis, hal tersebut dapat menyebabkan terjadinya perubahan pada parameter-parameter koefisien tujuan. Demikian juga halnya dengan bencana alam, dapat menyebabkan terjadinya perubahan pada parameter-parameter nilai kuantitas batasan.

Pada saat terjadi perubahan, parameter-parameter mungkin ada yang sensitif terhadap perubahan. Artinya ada parameter-parameter yang bila nilainya berubah, solusi optimalnya berubah. Sementara ada parameter yang meskipun nilainya berubah, namun tidak mempengaruhi solusi optimal. Oleh karena itu perlu menganalisis perubahan ini dengan menggunakan analisis sensitivitas. Analisis sensitivitas merupakan analisis yang dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan yang terjadi pada parameter-perameter model program linier terhadap solusi optimal yang telah dicapai.

(14)

Bentuk lain dari analisis sensitivitas adalah program linier parametrik atau disingkat dengan program parametrik. Program parametrik merupakan analisis sensitivitas sistematis karena perubahan parameter terjadi secara kontinu. Oleh karena itu, program parametrik merupakan analisis sensitivitas lanjutan yang sangat berguna untuk memeriksa dampak dari hubungan parameter-parameter yang berubah secara kontinu dan bersamaan. Aplikasi masalah ini adalah penyelidikan pada pergantian nilai-nilai parameter. Misalnya, jika nilai _c_j menggambarkan keuntungan tiap unit masing-masing aktivitas, hal yang mungkin untuk menaikan nilai c_j aktivitas yang satu dilakukan dengan mengorbankan penurunan nilai _c_j dari aktivitas yang lain. Sama halnya, jika nilai b menggambarkan kuantitas masing-masing sumberdaya _i

yang tersedia, hal yang mungkin untuk menaikkan nilai _{b sumberdaya yang satu}_i dilakukan dengan menyetujui penurunan dari kuantitas persediaan sumberdaya yang lain. Masalah ini adalah masalah khusus dalam analisis sensitivitas sehingga dimasukkan ke dalam bagian analisis sensitivitas bentuk khusus, yaitu persoalan program linier parametrik atau program parametrik.

Pada tugas akhir ini, penulis mencoba meneliti perubahan solusi optimal awal yang disebabkan oleh perubahan parameter-parameter yang terjadi secara kontinu. Dalam hal ini penulis juga ingin meneliti interval yang diizinkan dari perubahan parameter-parameter tersebut hingga solusi tetap optimal. Metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah ini yaitu metode simplex.

Metode simplex pertama kali dikembangkan oleh ahli Matematika Amerika Serikat, G. B. Dantzig pada tahun 1947. Metode ini didefinisikan sebagai suatu prosedur aljabar di mana setiap iterasi melibatkan pemecahan suatu sistem persamaaan untuk mendapatkan pemecahan baru untuk pengujian optimalitas. Dalam metode simplex, model diubah ke dalam suatu tabel, kemudian dilakukan beberapa langkah sistematis pada tabel tersebut. Langkah-langkah matematis ini pada dasarnya merupakan refleksi proses pemindahan dari satu titik ekstrim ke titik ekstrim lainnya pada batas daerah solusi. Metode simplex bergerak dari satu solusi ke solusi yang lebih baik sampai solusi yang terbaik (optimal) diperoleh. Metode simplex dapat juga dinyatakan dengan menggunakan manipulasi matrix. Jadi, algoritma simplex baik

(15)

secara tabel dan bentuk matrix akan digunakan dalam menyelesaikan masalah ini. Penyelesaian masalah ini juga tidak terlepas dari penggunaan analisis sensitivitas dan metode dual simplex untuk memperoleh solusi optimal. Namun, metode simplex adalah metode yang utama digunakan dalam penyelesaian masalah program linier parametrik.

Oleh kerena itu, dalam tugas akhir ini penulis mengambil judul :

“ Menentukan Solusi Optimal Program Linier Parametrik Dengan Menggunakan Metode Simplex ”

1.2Perumusan Masalah

Masalah yang diangkat penulis adalah apakah masalah program linier parametrik dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simplex dan dengan syarat bahwa solusi yang dihasilkan adalah solusi optimal.

1.3 Tinjauan Pustaka

Mulyono ( 2000 ) menyatakan bahwa program linier parametrik adalah analisis yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menentukan urutan solusi dasar yang menjadi optimum jika perubahan dilakukan lebih jauh.

Budnick ( 1998 ) menyatakan bahwa program linier parametrik adalah suatu bentuk analisis sensitivitas yang secara otomatis memperkenankan parameter-parameter pilihan ( _{b atau}_i

c ) berubah secara kontinu pada interval tertentu. Pada saat parameter c_j mengalami perubahan, fungsi objektif dari model program linier :

(16)

Maksimum z=

∑

j j jx c 1

Digantikan oleh

Maksimum z

( )

θ =

∑

(

)

= +

j j

j x

c 1

θ α Di mana :

( )

θ : suatu modifikasi fungsi model program linier awal menjadi fungsi θ θ : besarnya tingkat perubahan parameter yang diizinkan terjadi

α : angka relatif perubahan parameter

c : keuntungan setiap satuan variabel keputusan j terhadap nilai z

x j : variabel keputusan ke- j

j : jenis aktivitas yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia

(

j=1,2,...,n

)

Hiller ( 2001 ) menyatakan bahwa pada persoalan di mana parameter b _i

berubah secara sistematis, modifikasi dilakukan pada model program linier asli, yaitu

b digantikan dengan b_i +α_iθ untuk _i=₁_,₂_,...,_m, di mana α_i adalah konstanta

masukkan yang diinginkan. Dengan demikian masalah menjadi Maksimum

( )

∑

= = n

j j jx c z

θ Dengan kendala

∑

aijxj ≤bi +αiθ untuk i=1,2,...,m

dan _x_j ≥₀ untuk

(

j=1,2,...,n

)

di mana :

a : banyaknya sumber ke-i yang diperlukan untuk menghasilkan setiap unit aktivitas j

b : banyaknya sumber atau fasilitas ke-i yang tersedia untuk dialokasikan pada setiap jenis aktivitas

(17)

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan dilakukannya penelitian ini adalah untuk membantu para pengambil keputusan dalam mengambil kebijakan pada saat terjadi perubahan parameter-parameter

( _{b atau}_i _c_j) secara kontinu dengan menggunakan metode simplex sehingga akhirnya

pengambil keputusan dapat memperoleh hasil yang optimal yaitu keuntungan maksimum.

1.5Kontribusi Penelitian

Penelitian ini memberikan beberapa manfaat, antara lain :

1. Membantu para pengambil keputusan dalam menyelesaikan masalah program parametrik dengan menggunakan metode simplex.

2. Membantu para pengambil keputusan menganalisis kontribusi yang dihasilkan ( untung atau rugi ) akibat pergantian nilai-nilai parameter yang terjadi sehingga dapat diperoleh keputusan optimal.

3. Menambah pengetahuan dan wawasan bagi penulis tentang penggunaan metode simplex pada program linier parametrik dan aplikasinya.

1.6Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengumpulkan berbagai informasi mengenai program parametrik. 2. Mempelajari dan merumuskan permasalahan dalam program parametrik.

3. Menyelesaikan masalah program parametrik dalam sebuah contoh kasus dengan menggunakan metode simplex.

(18)

BAB 2

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep-konsep dasar yang berhubungan dan mendukung penentuan solusi optimal masalah program linier parametrik. Dengan demikian, akan mempermudah dalam hal pembahasan pada bab berikutnya.

2.1 Program Linier

Program linier merupakan suatu metode optimisasi yang dapat dipakai untuk penyelesaian masalah yang muncul dengan fungsi tujuan dan kendala masalah dalam bentuk fungsi linier dari variabel-variabel keputusannya.

Kendala masalah program linier mungkin dalam bentuk kesamaan atau ketidaksamaan. Bentuk umum masalah program linier dapat dinyatakan dalam bentuk standar berikut.

1. Dalam bentuk Skalar

Minimum z =c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n Dengan kendala

m n mn m

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

. . .

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11



atau dalam bentuk

Minimum

∑

= n

j j jx c z

Dengan kendala

m i

b x

a _i

j j

ij , 1, 2,...,

= =

∑

₌

(19)

2. Dalam bentuk matrik Minimum _z=_cT_x

Dengan kendala 0 ≥ = x b x A di mana                     =                   =                   =                   = mn m m n n n m n a a a a a a a a a A c c c c b b b b x x x x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . , . 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 2 1 . . 2 1

Karakteristik masalah program linier dapat dibedakan dalam bentuk standar yaitu :

1. Fungsi tujuan adalah jenis meminimumkan. 2. Semua kendala berbentuk persamaan. 3. Semua variabel keputusan nonnegatif. 4. Semua nilai kuantitas batasan nonnegatif.

Setiap masalah program linier dapat diletakkan ke dalam bentuk standar dengan menggunakan transformasi berikut :

1. Pemaksimuman suatu fungsi z adalah ekivalen dengan peminimuman dari negatif fungsi yang sama dan sebaliknya.

Contoh : Fungsi tujuan

Minimum z=c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n Ekivalen kepada maksimum

n nx c x c x c z

(20)

2. Jika suatu kendala muncul dalam bentuk ketidaksamaan “ lebih kecil atau sama dengan “₍≤₎ seperti

k n kn k

k x a x a x b

a ₁ ₁ + ₂ ₂ + ≤

maka itu dapat diubah ke dalam bentuk kesamaan dengan menambahkan satu variabel pengurang tidak negatif sebagai berikut :

k n n kn k

k x a x a x x b

a 1 1 + 2 2 +...+ + ₊1 =

Sama halnya jika kendala muncul dalam bentuk ketidaksamaan “ lebih besar atau sama dengan “ (≥) seperti

k n kn k

k x a x a x b

a 1 1 + 2 2 + ≥

maka itu dapat diubah ke dalam bentuk kesamaan dengan mengurangkan suatu variabel seperti

k n n kn k

k x a x a x x b

a ₁ ₁ + ₂ ₂ +...+ − ₊₁=

dimana x_n₊₁ adalah variabel nonnegatif yang dikenal sebagai variabel penambah. Sisi kanan suatu persamaan dapat selalu dibuat tidak negatif dengan mengalikan kedua sisi dengan –1 dan arah pertidaksamaan dibalik jika kedua sisi dikalikan –1.

3. Variabel

Sebagian atau semua variabel dikatakan unrestricted jika mereka dapat memiliki nilai negatif atau positif. Variabel unrestricted dapat diekspresikan dalam dua variabel tidak negatif dengan menggunakan subsitusi

'' '

x x

x_j = j −

Di mana _x_j =Variabel unrestricted dan

0 , "

' ≥

x xj

Beberapa terminologi yang digunakan dalam program linier dan beberapa teorema penting yang berhubungan dengan masalah ini adalah sebagai berikut :

1. Himpunan Konvex, merupakan suatu koleksi dari titik-titik sedemikian hingga jika

x dan x merupakan setiap dua titik dalam koleksi, maka ₂

(21)

Jika S menyatakan himpunan konvex, maka S dapat didefinisikan secara matematika sebagai berikut :

Jika

2 1, x

x ∈ S , maka x∈S

di mana x=αx₁ +

( )

1−α x₂, 0≤α ≤1

2. Vertek ( titik ekstrim ), merupakan suatu titik pada himpunan konvex yang tidak terletak pada gabungan segmen garis kedua titik lain pada himpunan.

3. Solusi layak, merupakan setiap solusi dalam masalah program linier yang memiliki kendala-kendala Ax=b dan x≥0.

4. Solusi basis, merupakan suatu solusi di mana ( n-m ) variabel himpunan sama dengan nol. Solusi basis dapat diperoleh dengan membuat ( n-m ) variabel sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan dengan simultan.

5. Basis, merupakan koleksi dari variabel-variabel himpunan yang tidak sama dengan nol untuk memperoleh solusi basis.

6. Solusi layak basis, adalah solusi basis yang memenuhi kondisi nonnegatif dari persamaan

0 ≥

x ,

7. Solusi layak basis nondegenerasi, adalah suatu solusi layak basis yang secara tepat mempunyai m nilai x yang positif. _i

8. Solusi optimal, adalah suatu solusi layak yang mengoptimalkan fungsi tujuan.

9. Solusi basis optimal, merupakan suatu solusi layak basis yang mana fungsi tujuannya adalah optimal ( terbaik ).

(22)

Teorema 2.1.1 Daerah layak S dari suatu masalah program linier adalah konvex.

Bukti :Daerah layak S dari suatu masalah program linier standar didefinisikan sebagai S =

{

xAx=b,x≥0

}

. Misalkan titik

x dan x termasuk himpunan layak S ₂

sedemikian hingga

Ax₁ = ,x₁ ≥0 (1)

Ax₂ = , x₂ ≥0 (2)

Atau dengan mengalikan persamaan (1) dengan λ dan persamaan (2) dengan (1-λ) dan menjumlahkan mereka ,maka diperoleh

[

λx₁+(1−λ)x₂

]

= bλ +(1-λ) b = b

Ax_λ =

Di mana x =_λ λ x + (1-₁ λ)x . Jadi titik ₂ x memenuhi kendala dan jika _λ

0 ,

0≤λ≤ x_λ ≥ . Oleh karena itu teorema terbukti.

Teorema 2.1.2 Suatu titik x adalah suatu titik ekstrim dari himpunan

{

x:Ax=b,x≥0

}

jika dan hanya jika x adalah solusi layak basis.

Bukti : ⇐ Akan diperlihatkan jika x adalah solusi layak basis maka x juga merupakan titik ekstrim. Pertama-tama, diasumsikan _n−_m variabel akhir dari x adalah nonbasis sehingga

    =     =

B N

B x

x x

x .

Misalkan B menjadi basis invertibel sesuai untuk

x . Dengan kontradiksi akan

dibuktikan : Jika x bukan suatu titik ekstrim maka terdapat 2 (dua) titik layak yang berbeda, y dan z memenuhi x=λy+

( )

1−λ z dengan 0≤λ≤1. Pada basis yang sama _y dan _z dapat ditulis

    =

N B y y

y dan

    =

N B z z

z . Baik _y dan _z adalah layak,

sehingga _y_N ≥₀ dan _z_N ≥₀. Karena ₀=_x_N =λ_y_N +

( )

₁−λ _z_N dan 0≤λ ≤1, semua bagian pada sisi kanan adalah nonnegatif, dan karena itu dapat disimpulkan

(23)

= N

N z

y . Juga karena x,y,z adalah layak, mereka memenuhi kendala persamaan masalah sehingga Bx_B =By_B =Bz_B =b. Karena B adalah invertibel,

B B

B y z

x = = ,

kontradiksi dengan asumsi bahwa y dan z adalah titik yang berbeda dari x . Oleh karena itu, x adalah titik ekstrim.

⇒ Akan diperlihatkan jika x adalah titik ekstrim maka x adalah solusi layak basis. Ini juga akan dibuktikan dengan kontradiksi. Suatu titik ekstrim x harus menjadi layak sedemikian hingga Ax=b dan x≥0. Dengan mengurutkan variabel sehingga variabel nol terakhir dapat ditulis sebagai

    =

N B x x

x di mana x_N =0 dan x_B ≥0. Dapat ditulis A=

( )

B,N di mana _B dan N adalah koefisien yang sesuai untuk x _B

dan _{x , secara berturut-turut. (}_N _B dapat diasumsikan sebagai matriks bujur sangkar ).

Jika kolom _B bebas linier maka x adalah solusi layak basis dan tidak perlu dibuktikan. Jadi, dianggap kolom B adalah bergantung linier dan dikonstruksikan titik layak _y dan z memenuhi _x _y _z

2 1 2 1

= , dengan memperlihatkan itu, x tidak dapat menjadi titik ekstrim. Misalkan B menjadi kolom ke _i i dari B. Jika kolom B bergantung linier maka terdapat bilangan rill p ,...,₁ p_k yang tidak semuanya nol, sedemikian hingga B1p1+B2p2 +...+Bkpk =0. Jika p didefinisikan sebagai

(

)

T k p p

p= ₁,..., maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai _B_p =₀. Catatan,

(

)

Bx B Bx b

B _B ±λ_p = _B ±λ _p = _B = untuk semua nilai λ. Karena x_B >0 untuk setiap nilai positif terkecil ε akan dimiliki x_B +εp>0 dan x_B −εp>0. Misalkan

  

 + =

N B x

p x

y ε dan

  

 − =

N B x

p x

z ε . Kemudian diperoleh _x _y _z 2 1 2 1

= yang mana

mengekspresikan x sebagai kombinasi dari dua titik berbeda dalam himpunan konvex, ini tidak dapat terjadi atau kontradiksi dengan asumsi di atas karena x adalah suatu titik ekstrim. Jadi B adalah bebas linier dan oleh karena itu x adalah suatu solusi layak basis. 

(24)

2.2Solusi Sistem Persamaan Linier Melalui Operasi Pivot

Suatu sistem persamaan linier merupakan himpunan terbatas persamaan linier di mana tiap-tiap persamaan memiliki variabel yang sama. Suatu solusi sistem persamaan linier adalah suatu vektor yang secara simultan adalah solusi untuk tiap-tiap persamaan dalam sistem. Himpunan solusi sistem persamaan linier adalah himpunan dari semua solusi sistem.

Misalkan ada n buah sistem persamaan berikut :

1 1 2

12 1

11x a x ... a b

a + + + _n = (E1)

2 2 2

22 1

21x a x ... a b

a + + + _n = (E2) (3)

_ _

n n n

n x a x a b

a ₁ ₁+ ₂ ₂+...+ ₁ = (En)

Andaikan himpunan persamaan ini memiliki solusi khusus, satu cara penyelesaian sistem persamaan linier melalui pereduksian persamaan ke suatu bentuk yang diketahui seperti bentuk standar. Dari aljabar linier dasar dapat diketahui bahwa solusi dari persamaan (3) tidak akan berubah menurut operasi berikut :

1. Setiap persamaan Er digantikan oleh persamaan kEr di mana k merupakan suatu konstanta bukan nol, dan

2. Setiap persamaan Er digantikan oleh persamaan Er + kEs di mana Es merupakan persamaan lain dari sistem.

Dengan penggunaan operasi dasar ini, sistem persamaan (3) dapat direduksi ke suatu bentuk ekivalen yang sesuai seperti berikut. Pertama beberapa variabel x dipilih dan _i

dicoba dieliminasi dari semua persamaan kecuali persamaan ke j ( di mana a_ji tidak nol ). Ini dapat diselesaikan dengan membagi persamaan ke j dengan a_ji dan mengurangi hasil kelipatan _a_ki dari tiap-tiap persamaan lain,

. ,..., 1 , 1 ,..., 2 ,

1 k k n

(25)

Hasil sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut : ' 1 ' 1 1 ' 1 , 1 1 ' 1 , 1 2 ' 12 1 '

11x a x ... a x 0.x a x ... a x b

a + + + _i₋ _i₋ + _i + _i₊ _i₊ + + _n _n =

' 2 ' 2 1 ' 1 , 2 1 ' 1 , 2 2 ' 22 1 '

21x a x ... a x 0.x a x ... a x b

a + + + _i₋ _i₋ + _i + _i₊ _i₊ + + _n _n =

 ' 1 ' , 1 1 ' 1 , 1 1 ' 1 , 1 2 ' 2 , 1 1 ' 1 ,

1 − ... − − − 0. − + + ... − −

− + j + + j i i + i + j i i + + j n n = j

j x a x a x x a x a x b

a (4)

' ' 1 ' 1 , 1 ' 1 , 2 ' 2 1 '

1 j ... ji i 1. i ji i ... jn n j

j x a x a x x a x a x b

a + + + ₋ ₋ + + ₊ ₊ + + =

' 1 ' , 1 1 ' 1 , 1 1 ' 1 , 1 2 ' 2 , 1 1 ' 1 ,

1 + ... + − − 0. + + + ... + +

+ + j + + j i i + i + j i i + + j n n = j

j x a x a x x a x a x b

a  ' ' 1 ' 1 , 1 ' 1 , 2 ' 2 1 '

1 n ... ni i 0. i ni i ... nn n n

n x a x a x x a x a x b

a + + + ₋ ₋ + + ₊ ₊ + + =

Di mana dari keterangan menunjukkan bahwa ' ij

a dan b diubah dari sistem asli. '_j

Operasi pengeliminasian suatu variabel khusus ini dari semua persamaan, kecuali dari satu persamaan disebut operasi pivot. Sistem persamaan (4) dihasilkan oleh operasi pivot yang secara tepat memiliki solusi yang sama seperti himpunan asli dari persamaan (3), yaitu x yang memenuhi persamaan (3) juga memenuhi persamaan (4) dan sebaliknya.

Selanjutnya, jika persamaan (4) diambil dan dilakukan suatu operasi pivot yang baru dengan pengeliminasian x , _s s≠i, pada seluruh persamaan kecuali persamaan ke _t_,_t ≠ _j, nol atau 1 pada kolom ke _i tidak akan diganggu. Operasi pivot ini dapat diulang tiap kali dengan penggunaan suatu variabel dari persamaan yang berbeda hingga sistem persamaan (4) tereduksi ke bentuk :

" 1 3

1 0. 0. ... 0.

1x + x + x + + xn =b

" 2 3

1 1. 0. ... 0.

0x + x + x + + x_n =b

" 3 3

1 0. 1. ... 0.

0x + x + x + + xn =b (5)



" 3

1 0. 0. ... 1.

(26)

Sistem dari persamaan (5) ini dikatakan berada dalam bentuk standar dan telah diperoleh setelah mengadakan n operasi pivot. Dari bentuk standar, vektor solusi dapat diperoleh sebagai

" i

i b

x = , i=1,2,...,n (6) karena himpunan persamaan (5) telah diperoleh dari persamaan (4) hanya melalui operasi dasar. Sistem persamaan (5) ekivalen dengan sistem persamaan (3). Jadi sistem yang diberikan pada persamaan (6) merupakan solusi yang diinginkan untuk persamaan (3).

Sebelumnya, sistem persamaan dalam bentuk sistem kuadrat, yang terdiri dari n buah variabel dan persamaan. Sistem tersebut memiliki vektor solusi sebagai "

i b

x = , _i=₁_,₂_,...,_n. Sekarang sistem terdiri dari m persamaan dan n variabel dengan

n≥ . Untuk memperoleh solusinya, maka diandaikan sistem persamaan ini konsisten sehingga sedikitnya memiliki satu solusi.

1 1 2

12 1

11x a x ... a b

a + + + _n =

2 2 2

22 1

21x a x ... a b

a + + + _n = (7)



m mn m

m x a x a b

a ₁ ₁ + ₂ ₂ +...+ =

Jika operasi pivot berkenaan dengan setiap variabel m dilakukan, katakan

m x x

x₁, ₂,..., diubah, himpunan hasil persamaan dapat ditulis sebagai berikut :

Sistem Kanonik dengan Variabel Khusus x1,x2,...,xm " 1 "

1 1

" 1 , 1 2

1 0. ... 0. ...

1x + x + + x_m +a _m₊ x_m₊ + +a_nx_n =b

" 2 "

2 1

" 1 , 2 2

1 1. ... 0. ...

0x + x + + x_m +a _m₊ x_m₊ + +a _nx_n =b ₍₈₎



" "

1 "

1 , 2

1 0. ... 1. ...

0x + x + + x_m +a_m_m₊ x_m₊ + +a_mnx_n =b_m

(27)

Satu solusi khusus yang dapat selalu diambil dari persamaan (8) adalah

" i

i b

x = _,i=1,2,...,m ₍₉₎

x _,i=m+1,m+2,...,n

Solusi ini disebut suatu solusi basis karena vektor solusi berada tidak lebih dari m buah faktor tidak nol. Variabel pivot x_i,i=1,2,...,m disebut variabel basis dan variabel _{x lainnya,}_i _i=_m+₁_,_m+₂_,...,_n disebut variabel nonbasis. Tentu ini bukan hanya solusi, tapi itu adalah salah satu solusi termudah yang dapat diambil dari persamaan (8), itu memenuhi_x_j ≥₀_, _j =₁_,₂_,...,_n dan memenuhi persamaan

m i

b x

a _i

j j

ij , 1,2,..., 1

= =

∑

₌ . Oleh karena itu, solusi dapat disebut suatu solusi layak basis.

Ada kemungkinan untuk memperoleh solusi basis lainnya dari sistem standar persamaan (8). Suatu operasi pivot tambahan dapat dilakukan pada sistem setelah sistem dalam bentuk standar, menggunakan "

a ( bukan nol ) sebagai faktor pivot,

q> , dan menggunakan setiap baris p( di antara 1,2,...,m ). Sistem baru akan masih berada dalam bentuk standar, tapi dengan

x sebagai variabel pivot pengganti

x . Variabal xp yang merupakan variabel basis pada bentuk standar asli, tidak akan

lama menjadi variabel basis pada bentuk standar baru. Sistem standar baru ini mempunyai suatu solusi basis baru ( yang mana dapat menjadi layak atau tidak layak ) sama halnya pada persamaan (9). Nilai dari semua variabel basis dapat berubah, secara umum, ketika satu solusi basis bergerak ke solusi basis lainnya hanya satu variabel nol ( yang mana nonbasis pada bentuk standar asli ) menjadi bukan nol

( yang menjadi basis dalam sistem standar baru ) dan sebaliknya.

Dari keterangan di atas dapat dilihat bagaimana solusi basis berpindah ke solusi basis terdekat dengan operasi pivot. Jadi, satu cara untuk menemukan solusi optimal dari masalah program linier yang diberikan adalah dengan membangkitkan semua solusi dan memilih satu yang layak dan sesuai untuk nilai optimal fungsi tujuan. Hal inilah yang nantinya menjadi dasar penyelesaian masalah program linier dengan menggunakan metode simplex.

(28)

2.3Metode Simplex

Metode simplex pertama kali dikembangkan oleh George B. Dantzig pada tahun 1947. Metode ini telah terbukti efisien untuk memecahkan persoalan program linier dalam skala besar. Metode simplex adalah suatu prosedur aljabar di mana setiap iterasi melibatkan pemecahan suatu sistem persamaan untuk mendapatkan pemecahan baru dan untuk pengujian keoptimalan. Hal ini didasari dari penyelesaian sistem persamaan linier secara umum. Metode simplex sesungguhnya merupakan suatu algoritma, di mana algoritma simplex menguji secara berurutan himpunan penyelesaian layak basis hingga diperoleh penyelesaian optimal.

Titik awal algoritma simplex selalu dimulai dengan suatu himpunan persamaan yang mencakup fungsi tujuan bersama-sama kendala masalah dalam bentuk standar. Jadi, tujuan algoritma simplex adalah menemukan vektor x≥0 yang meminimumkan fungsi _z dan memenuhi persamaan-persamaan :

" 1 "

1 1

" 1 , 1 2

1 0. ... 0. ...

1x + x + + x_m +a _m₊ x_m₊ + +a_nx_n =b

2 "

2 1

" 1 , 2 2

1 1. ... 0. ...

0x + x + + x_m +a _m₊ x_m₊ + +a _nx_n =b (10) 

" "

1 "

1 , 2

1 0. ... 1. ...

0x + x + + x_m +a_m_m₊ x_m₊ + +a_mnx_n =b_m " 0 "

1 "

1 2

1 0. ... 0. ...

0x + x + + x_m −z+c_m₊ x_m₊ + +c_mnx_n =−z

di mana _a_ij_,_c_j_,_b_i dan z adalah konstanta, ₀ −z dinyatakan sebagai suatu variabel dasar dalam bentuk standar dari persamaan (10), solusi dasar yang dengan mudah ditarik dari persamaan (10) adalah

" i

i b

x = , i=1,2,...,m

" 0

z= (11) 0

(29)

Jika solusi basis ini layak, nilai _x_i_, _i=₁_,₂_,...,_n adalah nonnegatif dan karena m

b_i" ≥0, =1,2,..., (12)

Setelah ditemukan suatu solusi layak basis, maka akan diuji apakah solusi layak tersebut merupakan solusi optimal. Dengan melihat c"_j, j=1,2,...,n, solusi layak basis dapat dinyatakan optimal atau tidak. Teorema berikut menyediakan suatu pengertian dari pengidentifikasian titik optimal.

Teorema 2.4.1 Suatu solusi basis yang layak adalah suatu solusi optimal dengan suatu nilai fungsi tujuan minimum "

z jika semua harga koefisien c"_j, j=m+1,m+2,...,n

pada persamaan (10) nonnegatif.

Bukti : Dari baris akhir persamaan (10), dapat ditulis

z x c z

m i

i =

∑

+ = 1

" "

0 (13)

Satu-satunya cara setiap variabel x_m₊₁,x_m₊₂,...,n dapat diubah menjadi positif adalah dengan membuat nilai mereka sama dengan nol dan dibatasi menjadi nonnegatif. Tapi jika c_i" >0 untuk i=m+1,m+2,...,n, maka kenaikkan setiap x tidak dapat _i

menurunkn nilai dari fungsi tujuan z. Karena tidak berubah pada variabel nonbasis, untuk dapat menyebabkan z menurun, maka solusi yang dihadirkan harus menjadi optimal dengan nilai optimal _z sama dengan "

z .

Jadi, sebagai suatu kesimpulan, suatu solusi layak basis dapat disebut sebagai solusi layak optimal khusus jika c"_j >0 untuk semua variabel nonbasis

n m

m j

xj, = +1, +2,..., .

Jika setelah pengujian keoptimalan, arus solusi layak ditemukan tidak optimal, suatu perbaikan solusi basis diperoleh dari penyajian bentuk standar sebagai berikut.

(30)

Dari baris akhir persamaan (10), fungsi tujuan dapat ditulis sebagai berikut :

∑

+ = = + + = n m j j j i m i

ix c x

c z z 1 " 1 " "

0 (14)

" 0

= untuk solusi yang diberikan oleh persamaan (11) Jika sedikitnya satu "

c negatif, nilai dari z dapat direduksi dengan pembuatan x_j >0

yang sesuai. Dengan kata lain, variabel nonbasis _x_j yang mana harga koefisien " j c

negatif, dibuat menjadi suatu variabel basis untuk mereduksi nilai fungsi tujuan. Pada operasi pivot, satu dari variabel basis akan menjadi variabel nonbasis, dan karena itu nilai dari variabel basis yang baru diatur untuk menghasilkan nilai _z yang lebih kecil dari "

z . Jika di sana terdapat lebih dari satu c"_j <0, indeks s dari variabel nonbasis

x yang mana dibuat basis dipilih sedemikian hingga

" s

c minimum c"_j <0 (15) Jika terdapat lebih dari satu "

c yang mempunyai nilai minimum sama, maka salah

satu dari mereka dipilih sebagai " s

c secara sembarang.

Setelah diputuskan variabel _{x menjadi variabel basis, nilainya dari nilai nol}_s sekarang ini dinaikkan dan diperiksa pengaruhnya pada arus variabel baru. Oleh persamaan (10), ini dihubungkan sebagai

       ≥ − = ≥ − = ≥ − = 0 , 0 , 0 , " " 2 " 2 " 2 2 " 1 " 1 " 1 1 m s s m m m s s s s b x a b x b x a b x b x a b x

 (16)

0 , "

" "

0 + <

= z csxs cs

z (17)

Karena " <₀ s

c , persamaan (17) menganjurkan bahwa nilai x seharusnya s

menjadi lebih besar kemungkinannya untuk mereduksi nilai _z sebanyak mungkin. Akan tetapi, pada proses kenaikan nilai _{x , beberapa variabel}_s _x_i

(

_i=₁_,₂_,...,_m

)

pada

(31)

persamaan (16) dapat menjadi negatif. Itu terjadi jika semua koefisien m

ais 0, 1,2,...,

" ≤ = _{, maka}

x dapat dibuat terbatas besarnya tanpa pembuatan setiap

m i

x_i <0, =1,2,..., . Dalam sebuah contoh kasus, nilai minimum z adalah minus tak terbatas dan masalah program linier dikatakan memiliki solusi tidak terbatas.

Di sisi lain, jika sedikitnya satu " is

a positif, nilai maksimum x dapat diambil s

tanpa pembuatan x negatif. Jika di sana ada lebih dari satu _i a"_is >0 , nilai terbesar * s

yaitu x dapat diambil dari pemberian nilai minimum perbandingan _s

    " " is i a b yang mana 0 " > is

a . Jadi,

    = =

= _> "

" 0 . " " " " min is i a rs r s a b imum a b x is

. (18)

Kemudian r dipilih secara sembarang dalam kasus seri, asumsikan semua b_i" >0. Jika setiap "

b yang mana a"is >0 adalah nol pada persamaan (16) maka x tidak dapat s

dinaikkan oleh jumlah berapapun, seperti suatu solusi disebut suatu solusi degenerasi. Pada kasus solusi basis yang layak nondegenerasi, suatu solusi layak basis baru dapat dikonstruksikan dengan suatu nilai yang lebih rendah dari fungsi tujuan sebagai berikut.

Dengan pensubstitusian nilai * s

x yang diberikan oleh persamaan (16) dan (17) diperoleh : . , , 2 , 1 , 0 0 , , 2 , 1 , 0 * " " *        ≠ + + = = = ≠ = ≥ − = = s j dan n m m j x x r i dan m i x a b x x x j r s is i i s s   (19) " 0 * " "

0 c x z

z= + _s _s ≤ (20)

yang mana dengan cepat dapat dilihat untuk menjadi suatu solusi layak yang berbeda dari sebelumnya. Karena " >₀

a pada persamaan (18), suatu operasi pivot tunggal pada elemen "

(32)

standar baru yang mana solusi basis dari (19) dapat dengan mudah diperoleh. Juga persamaan (20) menunjukkan bahwa solusi layak basis ini sesuai untuk nilai fungsi tujuan yang lebih rendah dibandingkan persamaan (11). Solusi layak basis ini dapat lagi diperiksa keoptimalannya dengan melihat apakah semua " >₀

c pada bentuk standar baru. Jika solusi tidak optimal, maka prosedur keseluruhan harus diulangi, prosedur bergerak ke solusi basis lainnya dari satu solusi layak basis sekarang ini. Pada algoritma simplex, prosedur ini diulangi dalam suatu cara iteratif hingga algoritma menemukan salah satu hal berikut :

1. Suatu kelas dari solusi layak optimal yang mana _z→−∞ atau 2. Suatu solusi layak basis optimal dengan semua " ≥0

c , _i=₁_,₂_,_,_n

Karena hanya ada beberapa cara yang terbatas untuk memilih suatu himpunan m variabel basis yang keluar dari n variabel, proses iteratif algoritma simplex akan berakhir pada beberapa putaran yang terbatas.

Langkah-langkah metode simplex juga dapat diturunkan dalam bentuk matriks, tepatnya dengan menggunakan invers matriks. Suatu formula umum untuk langkah- langkah metode simplex dalam bentuk vektor matriks. Anggap bahwa masalah mempunyai n variabel dan m persamaan kendala yang bebas linier.

Minimum z=cTx Dengan kendala :

≥ =

x b Ax

Misalkan x menjadi suatu solusi layak basis dengan variabel terurut

    =

N B x x x

Di mana x adalah vektor variabel basis dan _B x adalah vektor variabel nonbasis _N

(sekarang ini bernilai nol). Fungsi tujuan dapat ditulis sebagai : T _N N B T

Bx c x

z = +

Di mana koefisien untuk variabel basis yaitu c dan koefisien untuk variabel nonbasis _B

yaitu _{c . Sama halnya kendala ditulis dengan}_N _B_x_B +_N_x_N =_b. Kendala dapat dituliskan kembali sebagai _x_B = _B−1_b−_B−1_N_x_N_{. Oleh perubahan nilai variabel}

(33)

s s s

s B

B x A x dan z z c x

x ^ ^ ^ ^ ^ ^ + ← −

← dapat digunakan untuk nonbasis, semua solusi

yang mungkin untuk _A_x=_b dapat diperoleh. Jika formula ini disubstitusikan ke dalam formula untuk z maka hasil yang diperoleh adalah :

N T B T N T

B B b c c B N x

z = −1 +( − −1 ) . Jika T T T _B

BB B c

y=( −1) = − maka z dapat dituliskan sebagai N T T N T x N y c b y

z= +( − ) . Vektor y merupakan vektor pengali simplex. Arus nilai variabel dan tujuan diperoleh dengan pembuatan x_N =0. Ini dinyatakan oleh

b B c z dan b B b

x_B T_B 1

^ 1 ^ − − ₌ = = .

Misalkan ^ j

c menjadi elemen pada vektor ( 1 )

N B c c

c T_N T_B

N = − − sesuai untuk x_j.

Koefisien cj ^

disebut harga reduksi dari _x_j. Maka _N

t N x c z z ^ ^ + = .

Untuk menguji keoptimalan, apa yang akan terjadi pada fungsi tujuan akan diperiksa jika tiap-tiap variabel nonbasis dinaikkan dari nol. Jika c^_j >0, fungsi tujuan akan naik, jika ^

c =0, tujuan tidak akan berubah dan jika c^_j <0, tujuan akan menurun. Oleh karena itu jika c^_j <0 untuk beberapa j maka fungsi tujuan dapat diperbaiki jika _x_j dinaikan dari nol. Jika basis sekarang tidak optimal maka suatu variabel _{x dengan}_s ^ <₀

c dapat dipilih untuk masuk basis.

Sekali variabel masuk x telah dipilih, kemudian nilai _s x harus ditentukan _s

besar kenaikannya sebelum kendala kenegatifan dilanggar. Ini menentukan variabel mana ( jika ada ) yang akan meninggalkan basis. Variabel basis didefinisikan oleh

B B b B Nx

x = −1 − −1 . Dan dengan pengecualian (x ), semua komponen s x adalah N

nol. Jadi x_B b Ax_s

^ ^

−

= di mana As ^

merupakan vektor B−1A_s dan As adalah kolom ke

s dari A. Komponen persamaan ini diperiksa dengan cara xB i bi ai,s xs

^ ^

)

( = −

Jika a_ik^ <0 maka (x )_B _i akan menurun ketika variabel masuk

x menaik dan (x )B i

akan sama dengan nol ketika x_s bi aik ^ ^

= . Jika ^ <₀ is

(34)

jika ^ is

a = 0 maka (x )_B _i akan tetap tidak berubah. Variabel

x

_s dapat dinaikkan sepanjang semua variabel tetap nonnegatif yaitu hingga ia menjangkau nilai,

    

  

> ≤

≤

= ^

, ^ ^ ^

0 ;

1 min

s i is

i s

a a b m i

imum x

Perbandingan minimum dari tes perbandingan mengidentifikasikan variabel nonbasis baru, dan karena itu menentukan solusi layak basis baru dengan x sebagai variabel _s

basis baru. Formula :

menentukan nilai baru fungsi tujuan dan variabel basis pada basis sekarang. Variabel

x diberikan nilai ^

x ; sisa variabel nonbasis tetap nol.

Jika ^ ≤₀ is

a untuk semua nilai i, maka tidak ada satupun basis akan menurun nilainya ketika _{x dinaikan dari nol, sehingga}_s _{x dapat dibuat lebih besar}_s secara sembarang. Pada kasus ini fungsi tujuan akan menurun tanpa batas ketika

∞ →

x , mengidentifikasikan bahwa program linier tidak mempunyai minimum terbatas. Seperti suatu masalah dikatakan “ tidak terbatas “.

Dengan demikian metode simplex dapat diperlihatkan sebagai berikut. Metode diawali dengan suatu matriks basis B sesuai untuk solusi layak basis,

1 ^

≥ =

=_b _B−_b

x_B . Langkah-langkah algoritma diberikan sebagai berikut :

1. Tes keoptimalan. Hitung vektor = −1 B c

y TB

T _{. Hitung koefisien}

N T T N T

N c y

c = − .

Jika 0

≥

T N

c maka basis sekarang optimal, prosedur iteratif dihentikan. Sebaliknya, pilih suatu variabel x yang memenuhi _s cs^ <0 sebagai variabel masuk.

2. Langkah. Hitung As B 1A_s ^

−

= , koefisien kendala sesuai untuk variabel masuk. Temukan suatu indeks i yang memenuhi

(35)

    

  

=min_≤_≤ ; , 0

^ ^

1 ,

^ ^

s i is i m

i s

r r

a a

b imum a

Tes perbandingan ini menentukan variabel yang keluar dan “ elemen pivot “

s r

a , ^

. Jika a^is ≤₀ untuk semua i, maka masalah tidak terbatas.

3. Pivot – Perbaharui matriks basis dan vektor variabel basis x _B. Kembali ke langkah pertama.

Perhitungan pada metode simplex dapat disajikan dalam bentuk tabel di mana tabel menggunakan invers matrix basis. Langkah-langkah yang digunakan pada tabel sesuai dengan langkah-langkah algoritma simplex di atas. Pada bagian dasar dari tabel berisi koefisien kendala program linier dalam bentuk standar. Bagian atas baris tabel terdiri dari koefisien fungsi tujuan.Untuk memberi tekanan, nilai tujuan dikalikan -1, baris atas tabel diberikan label −_z. Kolom pertama tabel berisi variabel basis dan label kolom sisi kanan mencatat nilai −_z dan variabel basis. Karena matrix basis dasar adalah _B=_I, entri pada bagian dasar kolom “ sisi kanan “ adalah

b B b

x_B 1

− =

= dan entri pada baris dasar adalah harga reduksi c^ sekarang. Pada setiap iterasi entri dalam tabel akan disajikan pada bagian basis sekarang sehingga kolom “ sisi kanan “ akan mencakup _b^ dan baris atas akan mencakup _c^. Suatu formula umum akan diberikan untuk tabel. Suatu program linier dalam bentuk standar dengan n variabel dan m kendala persamaan. Pada iterasi ini, vektor dari variabel basis dan nonbasis secara tepat diasumsikan sebagai

(

)

B x x x

x = ₁, ₂,..., dan

(

)

n m

N x x x

x = ₊₁, ₊₂,..., . Tabel yang sesuai untuk program linier asli dan perubahannya ditunjukkan oleh tabel 2.1

(36)

Tabel 2.1 Perubahan Nilai pada Tabel Simplex

Iterasi Variabel

Basis Persamaan

Koefisien Dari

Sisi Kanan z

Variabel Asli

Variabel Slack

0 - z ( 0 ) 1

T B

c cTN 0

x ( 1,2,…,m ) 0 B N b

… … … …

n - z ( 0 ) 1 0

T N

c _- T B

c B−1N

- _cT_B _b

B 1

−

x ( 1,2,…,m ) 0 _I B−1N B−1b

2.4Teori Dualitas dan Metode Dual Simplex

Setiap model program linier memiliki dua bentuk yaitu primal dan dual. Bentuk asli dari suatu model program linier disebut bentuk primal, sedangkan bentuk alternatif yang dikembangkan dari bentuk primal disebut dual.

Kegunaan bentuk dual bagi para pengambil keputusan adalah bahwa dengan mereka dapat melihat alternatif permasalahan dari sisi yang berbeda. Bentuk primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang, sedangkan bentuk dual memberikan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Suatu masalah minimum dalam bentuk standar jika semua kendala bertipe “ ≥ “ dan semua variabel nonnegatif.

Minimum _z=_cT_x

Dengan kendala Ax=b

x≥0 Memiliki bentuk dual Maksimum w=bTy

Dengan kendala _AT_y≤_c

(37)

Jika masalah primal memiliki n variabel dan m kendala maka masalah dual akan mempunyai m variabel ( satu variabel dual untuk satu kendala primal ) dan n kendala ( satu kendala dual untuk satu variabel primal ). Koefisien pada tujuan primal merupakan koefisien pada sisi sebelah kanan dual, dan sebaliknya. Matrix kendala pada dual adalah transpos dari matrix pada primal. Masalah dual adalah masalah memaksimumkan, di mana semua kendala bertipe “≤” dan semua kendala nonnegatif. Ini mengarah kepada bentuk standar untuk masalah maksimum. Kedua bentuk permasalahan di atas disebut pasangan primal dual dan itu dapat dilihat dari relasi berikut, bahwa dual dari dual adalah primal.

Teorema 2.5.1 Dual dari program linier dual adalah program linier primal.

Bukti : Masalah minimum dalam bentuk standar Minimum z=cTx

Dengan kendala Ax≥b

x≥0 Program dualnya yaitu : Maksimum w=bTy

Dengan kendala _AT_y≤_c

_y≥₀

Ini ekivalen dengan masalah minimum berikut dalam bentuk standar : Minimum w' =−bTy

Dengan kendala −_AT_y≥−_c

_y≥₀

Dual masalah ini adalah Maksimum _z' =−_cT_x

Dengan kendala −Ax≤−b

(38)

Program linier ini ekivalen dengan program Minimum _z=_cT_x

Dengan kendala Ax≥b

x≥0

yang adalah program linier primal. 

Beberapa teorema berikut mendukung sifat-sifat dasar yang berhubungan dengan masalah program linier dual.

Teorema 2.5.2 Misalkan x menjadi suatu titik layak untuk masalah primal dalam bentuk standar dan misalkan _y menjadi suatu titik layak untuk masalah dual, maka

w y b x c

z = T ≥ T =

Bukti : Kendala untuk masalah dual menunjukkan bahwa

A y

cT ≥ T . Karena _x≥₀_,

w y b b y Ax y x c

z = T ≥ T = T = T = . 

Teorema 2.5.3 Pada pasangan masalah primal dan dual, jika satu masalah mempunyai solusi optimal maka masalah yang lain juga mempunyai salusi optimal dan nilai optimal keduanya adalah sama.

Bukti : Untuk mempermudah, perlu asumsi bahwa

1. Masalah primal mempunyai solusi optimal ( karena peran primal dan dual dapat berganti )

2. Masalah primal dalam bentuk standar. 3.

x , solusi untuk primal adalah solusi layak basis optimal.

Dengan mengurutkan variabel dan menulis

x dalam bagian variabel basis dan

nonbasis :

    =

N B x x

x_* dan menulis A=

(

B N dan

)

    =

N B c c

c maka XB B b

−

= . Jika

x adalah harga reduksi optimal memenuhi c −cTBB−1N ≥0

N atau

T N T

BB N c

(39)

Misalkan

y menjadi vektor pengali simplex sesuai untuk solusi layak basis ini;

B c B

y* 1

−

= atau 1

−

=c B

y TB

T _{. Akan ditunjukkan bahwa} *

y adalah layak untuk dual

dan bTy_* =cTx_*. Maka dari teorema 2.5.1 menunjukkan bahwa y adalah solusi _*

untuk dual. Pemeriksaan kelayakan :

(

B B c A y T B T 1 * −

= N

)

(

T B c

) (

B T

BB N c

c −1 ≤ T

)

N c

c = ,

oleh karena itu _AT_y ≤_c

* dan y memenuhi kendala dual. Nilai tujuan untuk primal

dan dual adalah

z x c b B c b y w z b B c b y y b w b B c x c x c z B T B T B T T B T T T B B T B T = = = = = = = = = = = − − − 1 1 1 sehingga *

y adalah layak untuk dual dan mempunyai nilai dual yang sama dengan

nilai optimal primal. Oleh karena itu, dari teorema 2.5.1, y adalah optimal untuk _*

dual atau oleh karena z adalah batas atas untuk T _B c B y

w, _* = − menyelesaikan dual dan oleh karena itu teorema terbukti. 

Metode simplex primal memulai penyelesaian masalah program linier primal dengan solusi layak basis dan mengiterasikannya hingga kondisi optimal terpenuhi. Masalah dual juga dapat memakai metode simplex, dimulai dengan suatu solusi layak untuk program dual dan diiterasikan hingga kondisi optimal dual terpenuhi.

Kondisi optimal untuk primal sesuai dengan kondisi optimal untuk dual. Hasil ini diturunkan sebagai bagian dari pembuktian teorema 2.5.1 di mana itu ditunjukkan bahwa kondisi optimal primal − −1 ≥₀

N B c c BT

N adalah sama untuk kondisi optimal

dual _AT_y≤_c_{. Di mana}

B c B

y= −1 merupakan vektor pengali simplex sesuai pada

(40)

tidak layak dual. Tiap iterasi mereduksi ketidaklayakan dual hingga keoptimalan primal terpenuhi.

Metode dual simplex bekerja pada cara “ dual”. Bergerak melalui suatu barisan layak dual tapi basis tidak layak primal, mereduksi ketidaklayakan primal hingga kondisi primal terpenuhi. Walaupun metode dual simplex dapat dilihat sebagai penggunaan metode simplex untuk masalah dual, namun metode dual simplex dapat juga diimplementasikan secara langsung dalam hubungan masalah primal, jika suatu solusi layak tersedia. Misalkan masalah diselesaikan secara mendasar pada bentuk standar dengan beberapa b<0, harga koefisien relatif untuk variabel basis c_B =0 dan semua lainnya c_N ≥0. Karena beberapa b negatif, solusi primal akan tidak layak dan kerena semua c≥0, solusi dual yang sesuai akan menjadi layak. Oleh karena itu metode dual simplex berakhir ketika basis sekarang adalah layak primal dan sebaliknya, iterasi metode dual simplex dimulai dengan pemeriksaan nilai x_B ≥0. Jika tidak demikian, beberapa entri

( )

x_B _s <0 digunakan untuk menjadi baris pivot.

Dengan menggunakan argumen yang sama, iterasi metode dual simplex diturunkan seperti pada metode simplex primal. Andaikan bahwa suatu variabel

( )

x_B _r

tidak layak hingga elemen sebelah kanannya _b^ <₀ seperti keterangan di atas. Sementara kendala ke s pada basis sekarang mempunyai bentuk :

( )

, = <

∑

∈

r N

j j s r

B a x b

di mana N merupakan himpunan indeks variabel nonbasis dan

   _a^_s_,_j

merupakan

entri pada baris s dari B−1A. Jika beberapa entri , 0

j r

a dan variabel nonbasis _x_j

digantikan

( )

s B

x pada basis, maka nilai baru x_j akan menjadi 0

, ^

j s

s a

, yang mana

variabel basis baru akan menjadi layak. Tidak semua variabel nonbasis dapat masuk basis karena kondisi layak dual ( keoptimalan primal ) harus tetap terpenuhi. Jika x_j adalah variabel masuk, maka harga reduksi baru akan memenuhi

(41)

j s l s j l l a a c c c , ^ , ^ ^ ^ − = −

untuk _l =₁_,₂_,...,_n

( jika _l= _j maka 0

c ). Karena tiap cl ^

harus menjadi nonnegatif, rasio terkecil

        j s j a c , ^ ^

dengan , ₀ ^

j s

a menentukan mana harga reduksi menjadi nol pertama kali.

Tes perbandingan memerlukan perhitungan

j r j a c , ^ ^

untuk setiap variabel nonbasis j

yang mana , 0

j s

a . Jadi itu penting untuk mengetahui elemen pada baris pivot. Sebaliknya, baris pivot harus dihitung. Elemen nonbasis pada baris yang masuk ditunjukkan oleh

j T

s B A

e −1 di mana _{e adalah kolom ke s dari matriks identitas}_s

m× . Elemen ini dapat dihitung oleh = −1

B eTs T

σ yaitu penghitungan baris _r dari

−

B kemudian pembentukan σTA_j untuk semua variabel nonbasis j . Harga

perhitungan akhir ini hampir sama ketika langkah penetapan harga

   _c^_j

pada

metode simplex primal.

Pivot yang ditunjukkan seperti pada metode simplex primal. Sebaliknya kolom pivot dihitung menggunakan At B 1A_t

−

= dan harga reduksi sekarang ini menggunakan

j s t s t j j a a c c c , ^ , ^ ^ ^ ^ −

← . Akhirnya x dan _B B terbaharui. −1

Selanjutnya metode simplex dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada basis asli, harga reduksi harus memenuhi 0

≥

c . Ada 3 (tiga) langkah utama; tes kelayakan, langkah, dan pivot :

1. Tes kelayakan. Jika 1 0

≥ =

=_b _B−_b

x_B , maka basis sekarang adalah suatu solusi. Sebaliknya,

( )

r B

x dipilih sebagai variabel keluar, di mana 0.

(42)

2. Langkah. Pada baris pivot ( baris dengan elemen

j T s j

r c B A

a , 1

−

= , di mana c _s

merupakan kolom ke s dari matriks identitas ) temukan suatu indeks t yang memenuhi

       

= _≤ _≤ ^

, ^

1 ,

^ ^

min

j s

j n

j t

s t

a c imum a

; , 0

j s

a , x_j nonbasis.

Ini menentukan variabel masuk x dan elemen pivot _t as,t ^

. Jika tidak terdapat indeks t , maka masalah primal tidak layak dan masalah tidak terbatas.

3. Pivot. Hal ini menggambarkan program linier pada hubungan basis baru.

Metode dual simplex juga memberikan langkah-langkah yang mudah pada penyelesaian masalah dual dalam bentuk tabel.

1. Baris r dipilih sebagai baris pivot sedemikian hingga b−r = minimum <0

−

2. _{Kolom s sebagai kolom pivot sehingga}

       

− =

− −

− <

−

rj j a

s r s

a c imum a

rj 0

, ^ _

min

Jika semua a−rj ≥0, primal tidak akan mempunyai satupun solusi layak (optimal).

3. Adakan suatu operasi pivot pada ars

−

4. Uji keoptimalan. Jika semua b−i ≥0 maka solusi sekarang adalah optimal dan karena itu prosedur iteratif dihentikan. Selain itu, kembali ke langkah (1)

(43)

2.6 Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas adalah analisis yang dilakukan untuk mengetahui pengaruh perubahan yang terjadi pada parameter-parameter persoalan program linier terhadap solusi optimal yang telah dicapai. Analisis ini juga sering disebut dengan analisis pasca optimal, yaitu suatu analisis yang dilakukan setelah solusi optimal diperoleh.

Tujuan umum dari analisis sensitivitas adalah untuk menentukan parameter-parameter sensitif ( yaitu parameter-parameter yang tidak dapat diubah tanpa mengubah penyelesaian optimal ), melakukan estimasi parameter-parameter dengan lebih tepat, serta memilih penyelesaian yang tetap lebih baik untuk sejumlah nilai-nilai yang layak dimiliki oleh parameter-parameter yang sensitif. Tujuan yang lain adalah untuk mengurangi perhitungan-perhitungan dan menghindari perhitungan ulang, bila terjadi perubahan pada satu atau beberapa koefisien model program linier pada saat penyelesaian optimal telah dicapai.

Teknik analisis sensitivitas bergantung pada kondisi layak dan optimal untuk suatu program linier.Basis sekarang adalah layak jika −1 ≥₀

B dan itu optimal jika 0

1 ≥

−_c _B− _N

c TB T

N . Dari sudut pandang ilmu pasti, semua analisis sensitivitas dapat

diingat sebagai konsekuensi formula ini. Pendekatan umum analisis sensitivitas adalah

1. Apakah perubahan parameter mempengaruhi kondisi optimal dan seberapa besar data dapat berubah sebelum kondisi optimal dilanggar ? Jika basis sekarang tidak optimal, maka metode simplex primal digunakan untuk memperbaiki keoptimalan.

2. Apakah perubahan parameter mempengaruhi kondisi layak dan seberapa besar parameter dapat berubah sebelum kondisi layak dilanggar. Jika basis sekarang tidak layak, maka metode dual simplex digunakan untuk memperbaiki ketidaklayakan.

Secara umum, ketika suatu parameter berubah, salah satu akibat yang mungkin terjadi adalah :

(44)

1. Solusi optimal tidak berubah, begitu juga variabel basis dan nilainya juga tidak berubah.

2. Variabel basis tetap sama tetapi nilainya berubah. 3. Variabel basis dan nilainya sama-sama berubah.

Ada 5 ( lima ) tipe dasar perubahan parameter yang mempengaruhi solusi optimal. Kelima tipe itu adalah :

1. Perubahan koefisien fungsi tujuan (_c_j) 2. Perubahan konstan sisi kanan (b ) _i

3. Perubahan kendala atau koefisien matrix _A 4. Penambahan variabel baru

5. Penambahan kendala baru

Tetapi dalam masalah ini, perubahan parameter yang berhubungan dengan program linier parametrik hanyalah pada tipe 1 (satu) dan 2 (dua). Beberapa aturan umum dapat diuraikan untuk penyelesaian analisis sensitivitas dengan harga reduksi

N B c c

c TB

T N T

N 1

− −

= adalah sebagai berikut.

1. Perubahan pada koefisien fungsi tujuan

( )

_c_j Perubahan ini terdiri dari dua bagian, yaitu :

1. Perubahan koefisien fungsi tujuan variabel basis

( )

c_B . Jika cB =c_B +∆c_B

−

maka untuk menentukan agar basis tetap optimal

dengan memeriksa bahwa

( )

B T B T

B c x

c ≥− ∆

terpenuhi. Jika basis tidak

berubah maka T _B

c B y

y= + − ∆

−

dan

( )

T _B

B x

c z

z= + ∆

−

Jika basis berubah, metode simplex primal digunakan untuk memperbaiki keoptimalan pada masalah pengganggu.

(1)

Tabel 3.14 Pemakaian Prosedur Program Linier Parametrik _b_i

Interval Vari.

Basis Pers.

Koefisien dari _Sisi

Kanan

z x1 x2 x3 x4 x5

2 1

1≤ ≤−

− θ

z (0) 1 0 3 0 4 0 28+28θ

x5 (1) 0 0 1 0 0 1 3+2θ

x1 (2) 0 1 2 0 1 0 7+7θ

x3 (3) 0 0 -3 1 -2 0 -6-12θ

2 1 2 1 ≤ ≤ − θ

z (0) 1 0 0 1 2 0 22+16θ

x5 (1) 0 0 0

3 1

3 2

− 1 1-2θ

x1 (2) 0 1 0

3 2

3 1

− 0 3-θ

x2 (3) 0 0 1

3 1

−

3 2

0 2+4θ

2 1

≥

z (0) 1 0 0 2 0 3 25+10θ

x4 (1) 0 0 0

2 1

− 1

2 3

− 3θ

2 3

+ −

x1 (2) 0 1 0

2 1 ₀ 2 1 − 2 5

x2 (3) 0 0 1 0 0 1 3+2θ

Gambar 3.3 Nilai fungsi tujuan ( zmaks ) untuk perubahan kontinu i b 1/2 1 -1/2 -1 10 20 30 40 Zmax

θ

10

25 +

θ

16

22 +

θ

28 max

=

+

(2)

Gambar 3.4 Solusi daerah layak z

( )

θ untuk perubahan b _i

Variasi solusi optimal yang dihasilkan dengan variabel keputusan asli pada perubahan kontinu parameter _c_j atau b dapat disimpulkan ke dalam kedua tabel berikut. _i

Tabel 3.15 Variasi Solusi Optimal untuk Perubahan j

θ −∞

2 3

−

7 9

5 +∞

x1 0 2 4 4

x2 6 6 3 0

z 30-6θ 36-2θ 27+5θ 12+8θ 1 2 3

1 2 3 0 III I II 1 − = θ

1 2 3 4 1 2 3 4 II III 2 / 1 − = θ I

1 2 3 4 5 1 2 3 4 II I

III θ =−1/2

0 1 2 3 4

1 2 3 4 II III 0 = θ I

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 II I III 1 = θ 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x

(3)

Tabel 3.15 Variasi Solusi Optimal untuk Perubahan _b_i

θ -1

2 1

−

2 1

+∞ x1 7+7θ 3-θ

2 5

x2 0 2+4θ 3+2θ

z 28+28θ 22+16θ 25+10θ

Kedua contoh masalah program linier parametrik ini diambil dari buku Introduction to Operations Research dan Linier and Nonlinier Programming dengan hasil optimal yang sama seperti pada Tabel 3.15 dan 3.16.

(4)

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Masalah program linier parametrik dapat diselesaikan dengan menggunakan metode simplex kecuali pada kasus khusus, perubahan kontinu parameter b , di mana untuk _i

b < 0 maka metode dual simplex turut digunakan untuk memperbaiki solusi optimal.

Jadi dengan menggunakan metode simplex, masalah program linier parametrik dapat diselesaikan dengan mudah dan sederhana.

Pada program linier parametrik terjadi perubahan pada pada parameter _c_j atau i

b secara kontinu dan berurutan sehingga akhirnya menghasilkan variasi solusi

optimal sesuai batas perubahan parameter yang diizinkan terjadi seperti pada tabel 3.15 dan tabel 3.16. Hal ini nantinya akan mempermudah para pengambil keputusan untuk mengambil keputusan terbaik atau disebut sebagai keputusan optimal, keputusan yang memberikan keuntungan maksimum.

Solusi masalah program linier parametrik dapat digunakan dalam berbagai kasus di dunia nyata seperti perencanaan produksi suatu produk dengan keterbatasan bahan mentah atau waktu dan perencanaan muatan barang pada pesawat udara dengan keterbatasan volume dan berat muatan tetapi ingin memperoleh hasil yang sebesar-besarnya.

4.2 Saran

Program linier parametrik hanya mencakup perubahan kontinu pada parameter _c_j atau i

b , tetapi ada juga bentuk analisis sensitivitas yang lain yaitu perubahan simultan pada

(5)

berminat untuk meneliti, mungkin dapat melanjutkan penelitian ini yang berhubungan dengan perubahan kontinu parameter a_ij.

(6)

DAFTAR PUSTAKA

Budnick, F. S., Dennis M., Richard M. 1998. Principles of Operation Research

for Management. Second edition. Homewood, Illinois : Irwin.

Hiller, F. S. dan Liberman, G. J. 2001. Introduction to Operatoins Research. Seventh edition. New York : McGraw-Hill Companies.

Mulyono, Sri. 2004. Riset Operasi. Jakarta : Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia. Nachrowi, D. N. dan Usman, H. 2004. Teknik Pengambilan Keputusan. Jakarta :

Gramedia Widiasarana Indonesia.

Napitupulu, J. et al. 1998. Operation Research. Malang : Bagian Penerbitan Institut Teknologi Nasional Malang.

Pinney, W. E. dan Mcwilliams, D. B. 1982. Management Science an Introduction to

Quantitative Analysis for Management. New York : Harper & Row, Inc.

Rao, S. S. 1984. Optimization Theory and Aplication. Second edition. New Delhi, India : Wiley Eastern Limited.

Sakarovitch, M. 1983. Linear Programming. U. S. A : Dowden & Culver, Inc.

Sofer, A. dan Stephen, G. N. 1996. Linear and Nonlinear Programming. Singapore : McGraw-Hill Companies.