Analisis Pareto Optimal Dengan Pembobotan Dalam Menentukan Solusi Goal Programming

ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN

DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

SRI KEUMALAWATI

050803046

(Operasi Riset)

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN

DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains

SRI KEUMALAWATI

050803046

(Operasi Riset)

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2009

PERSETUJUAN

JuduL : ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING.

Kategori : SKRIPSI

Nama : SRI KEUMALAWATI

Nomor Induk Mahasiswa : 050803046

Program Studi : SARJANA (SI) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Desember 2009 Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Bambang Irawan, M.Sc. Drs. Marwan Harahap, M.Eng

NIP: 194704211976031001 NIP: 194612251974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc. NIP: 194601091988031004

PERNYATAAN

ANALISIS PARETO OPTIMAL DENGAN PEMBOBOTAN DALAM

MENENTUKAN SOLUSI GOAL PROGRAMMING SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Desember 2009

Sri Keumalawati NIM: 050803046

PENGHARGAAN

Bismillahirrahmanirrahim

Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT Yang Maha Esa dan Kuasa atas segala-galanya, dengan limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan

Skripsi ini merupakan salah satu syarat yang harus dipenuhi dan diselesaikan oleh seluruh mahasiswa fakultas FMIPA Departemen matematika. Pada skripsi ini penulis mengambil judul skripsi tentang Analisis Pareto Optimal Dengan

Pembobotan dalam menentukan Solusi Goal Programming.

Demikian, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku dosen dan pembimbing I yang telah memberikan banyak bimbingan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tugas akhir ini.

2. Bapak Drs. Bambang Irawan, M.Sc selaku dosen dan pembimbing II atas bantuan dan penjelasan yang diberikan demi selesainya skripsi ini.

3. Bapak Drs. H. Haluddin Panjaitan dan ibu Dra. Elly Rosmaini, M.si selaku komisi penguji atas masukan dan saran yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Bapak Dr. Saib Suwilo M.Sc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.si selaku ketua dan sekretaris departemen matematika FMIPA USU

5. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlyanto M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

6. Ayahanda Marzuki Ibr, dan Ibunda Zulkhairani, yang sangat saya kasihi dan sayangi atas doa dan dukungan moril maupun materil yang diberikan selama ini.

7. Adek-adek tersayang: D’Raudhah, D’Fahmi, D.Arif Fardillah, D’Lisa

(sepupu), D’Hasya(sepupu), D’Tasya, D’Intan, dan D’Dira(sepupu) yang

selalu memberikan motivasi dan semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

8. Ayahanda Husaini/M’da, Y’Bit/Mbit, Y’nas/B’Aini, C’li/C’Nu, y’lut dan kel

tercint serta semua ahli famili yang saya sayangi, yang selalu memberikan nasehat serta motivasi serta bantuannya.

9. Yang Special Aa Feri yang selama ini memberi support dan motivasi yang tidak bosan sehingga saya lebih semangat dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

10.Rekan-rekan kuliah: D’Eel, D’Eci, Novita, Wulan, Febri dan stambuk 2005 seperjuangan yang tidak terlupakan dukungan dan bantuannya

11.Adek-adek kost: D’Ririn, D’Irma, D’Sari dan D’Sandra Rizal tercinta yang telah memberikan motivasi dan bantuannya.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis, semoga segala kebaikan dalam bentuk bantuan yang telah diberikan mendapat balasan dari Yang Maha Kuasa.

Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca.

Hormat saya, Penulis

ABSTRAK

Tujuan dari tulisaan ini adalah untuk menanggani masalah efisiensi pada masalah Goal Programming. Hal ini adalah membuktikan bahwa ketika banyak masalah Multiple Objective Programming berusaha untuk mengoptimalkan secara simultan untuk memperoleh satu himpunan yang tidak dapat membandingkan pertentangan dan tujuan dibawah beberapa kendala, Karena tujuan umumnya bertentangan. Solusi diperoleh melalui model Goal Programmingyang merupakan kompromi terbaik yang dapat dibuat di antara tujuan, solusi ini dapat memenuhi syarat sebagai solusi yang memuaskan (mendekati target).

ABSTRACT

The aim of this paper is to deal with the problem of efficiency in the Goal

Programming (GP) model. Indeed, it’s proved that when the Multiple Objective

Programming (MOP) problem seeks to optimize simultaneonsly a set of incommensurable and conflicting objectives under some constraint, since the objectives are generally conflicting the solution, obtained through the Goal Programming model present the best compromise that can be made between these objectives this solution can qualified as the most satisfactory solution.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar tabel ix

Daftar Gambar x

BAB 1 Pendahuluan

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 3

1.3Tinjauan Pustaka 3

1.4Tujuan Penelitian 5

1.5Konstribusi penelitian 5

1.6Metodologi Penelitian 5

BAB II Landasan Teori

2.1 Goal Programming 10

2.2 Formulasi dan Model Goal Programming 11

2.3 Metode untuk menyelesaikan Goal Programming 14

2.4 Aplikasi Goal programming 14

2.5 Pareto Optimality 20

2.6 Konsep Solusi Pareto Optimal 23

2.7 Preferensi Pengambilan keputusan 24

BAB III Pembahasan

3.1 Analisis Pareto Optimal dengan Pembobotan

dalam menentukan Solusi Goal programming. 25 3.2 Masalah Perencanaan Usahatani pada dua

jenis tanaman (pear dan peach) 26

BAB IV Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 40

4.2 Saran 41

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

2.1 Data perencanaan usahatani 14

2.2 Tabel simpleks maksimasi 16

3.1 Tabel simpleks maksimum Z1 30

3.2 Tabel titik ekstrim Z1 32

3.3 Tabel minimize Z2 33

3.4 Tabel titik ekstrim Z2 34

3.5 Tabel matriks pay-off 35

3.6 Tabel penafsiran variabel efisien dengan titik ekstrim 36

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

3.1 Bagan pengambilan keputusan 29

3.2 Grafik maksimum Z1 32

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Analisis Pareto optimal adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik operasi riset yang memakai model matematika dalam menentukan solusi optimal untuk suatu solusi mungkin di mana suatu peningkatan di (dalam) nilai sekurang-kurangnya satu fungsi tujuan lainnya, ukuran hanya dapat dicapai dengan penurunan nilai sedikitnya satu ukuran lain dari setiap fungsi tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan. Salah satu prinsip yang paling terkenal di dunia manajemen, termasuk Quality Management adalah Prinsip Pareto.

Semua masalah dalam dunia nyata erat kaitannya dengan pengambilan keputusan dalam menghadapi masalah tujuan ganda atau istilah lain adalah masalah Multiple Objective Programming. Dalam menangani permasalahan Multiple Objective Programming, orang harus berhati-hati menerapkan prinsip optimalitas. Prinsip optimalitas untuk menyelesaikan permasalahan dengan satu tujuan (single objective problem) tidaklah serta-merta dapat diterapkan di sini, apalagi mempertimbangkan kemungkinan adanya satu tujuan dengan tujuan lainnya adalah saling bertentangan (Conflicting).

Model matematis untuk mencari suatu solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan melalui argumentasi logis untuk mereduksikan sebagian kemungkinan-kemungkinan keputusan yang banyak jumlahnya itu, untuk memperoleh solusi fisibel yang dapat diterima [4].

Pareto Optimality adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini di antara tujuan-tujuan tersebut. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Vilfredo (1906). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan Multiple Objective Programming.

Model Programming dapat dianggap sebagai kasus khusus di mana diperoleh solusi terbaik dengan meminimumkan total jumlah dan bobot nilai deviasi. Fungsi tujuan Goal Programming minimum jumlah variabel deviasi yang terkait dengan berbagai tujuan, sebagai berikut:

Min Z =

p

i

i i 1

Dengan:

p i

untuk dan

X x

g x

f

i i

i

i i i i

,..., 2 , 1 0

;

;

Keterangan _i , _i : Deviasi positif dan deviasi negatif antara tingkat pencapaian

x

f_i dan tingkat aspirasi gi dan X diperoleh solusi fisibel[3].

Di antara solusi Pareto Optimal itulah harus ditentukan solusi yang dianggap

“terbaik” (preferred solution) sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan.

Konsep Optimum menurut formulasi tujuan tunggal yang menekankan pada ketunggalan solusi, secara format dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Setiap alternatif x* X adalah optimal hanya dan bila hanya untuk alternatif

yang lainnya x Xberlaku hubungan f x* f x . Untuk suatu himpunan variabel keputusan X dari fungsi f, akan selalu terdapat sekurang-kurangnya satu optimum x*[5].

1.2Perumusan Masalah

Pendekatan parametrik adalah salah satu metoda untuk mendapatkan himpunan solusi Pareto Optimal. Formulasi persoalan tujuan ganda adalah sebagai berikut:

Maks, f x f₁ x_i,...,x_k ,..., f_n x₁,...,x_k

Subject to: x ,...,1 xk Td

Dengan cara mentransformasikan terlebih dahulu persoalan program tujuan ganda menjadi format program tujuan tunggal adalah:

Maks, _{p k}

n

p p k

k

i x w w w f x x

x

f ,..., : ,..., ₁,...,

1 1

Subject to: x ,...,₁ x_k T_d

Keterangan::

wp : Bobot yang diberikan terhadap fungsi tujuan p. Dengan cara

memberikan bobot yang berbeda-beda 0 w_p 1 akan diperoleh solusi Pareto Optimal pada daerah fisibel T0.

Solusi yang dihasilkan akan berbentuk solusi Pareto Optimal juga disebut

“solusi kompromi terbaik” yaitu solusi yang akan dinyatakan melalui pemberian nilai bobot w.

Pada program Goal Programming tidak mengenal solusi optimal yang mempunyai solusi ketunggalan dengan diperoleh solusi Pareto Optimal, akan diidentifikasikan suatu solusi optimal di antara sekian solusi fisibel yang menghasilkan nilai tertinggi dalam fungsi tujuan.

1.3 Tinjauan Pustaka

Andaikan suatu masalah Goal Programming. Nilai vektor fungsi tujuan

k f f

f ₁,..., terdiri dari k nilai real fungsi tujuan f_i :Rn Radalah optimisasi secara simultan. Variabel keputusan x termasuk daerah fisibel n

R

tujuan z f x adalah berada di ruang tujuan Rk, asumsikan yang diberikan adalah bertentangan, bahwa semua tidak dapat diperoleh optimal sama dengan vektor keputusan x. Berdasarkan asumsi semua bagian fungsi tujuan adalah minimum. Karena masalah Goal Programming diperoleh bentuk.

Minimum. f₁ x,..., f_k x

Subject to:

S x

Minimum dari nilai vektor fungsi tujuan f dinyatakan sebagai Pareto Optimal. Sebuah vektor keputusan x * S merupakan solusi Pareto Optimal tidak ada vektor keputusan x S yang lain, dengan demikian f_i x f_i x* for i =1,2,…,k dan f_j x f_j x* untuk terendah satu j. Rasio solusi terakhir dari pengambilan keputusan adalah solusi Pareto Optimal[2].

Model matematis tujuan majemuk, yang cirinya yang tidak mengenal solusi tunggal menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif Pareto Optimal yang kemudian perlu direduksi oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi yang terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut. Solusi Pareto Optimal yang dikembangkan dengan penggunaan parametrik yang diusulkan oleh Geoffrion dengan formulasi berikut ini.

Min. f₁ x 1 f₂ x Subject to:

a x f

b ₃

0 X g X T

X _d

Keterangan:

x f dan x f x

f₁ , _{2 3} : tiga fungsi tujuan yang dipilih dengan vektor keputusan n

R x

Td : daerah fisibel variabel keputusan g(x) fungsi kendala

vektor k m

R R G :

: parameter yang berubah di antara (0 1)

Dalam penentuan solusi terbaik di antara himpunan solusi Pareto Optimal tersebut dapat diperoleh melalui tradeoffs di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dapat memberikan solusi yang paling memuaskan yang mungkin dicapai[11].

1.4 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan tulisan ini adalah dengan menggunakan bobot-bobot berinterval (parametric programming) mula-mula sejumlah titik-titik efisien (solusi non-inferior atau Pareto Optimal) akan dikembangkan. Dengan ditetapkannya parameter itu, semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh.

Setelah solusi-solusi efisien di daerah fisibel diketahui, tahap berikutnya adalah memilih kesekian banyak titik-titik efisien tersebut suatu solusi “terbaik”.

1.5 Kontribusi Penelitian

Selain untuk tambahan literatur dan pengetahuan pembaca yang sedang mempelajari Goal Programming, semoga penelitian ini bermanfaat bagi pembaca dan peneliti lain yang ingin meneliti masalah yang menggunakan konsep yang sama dan secara umum dapat memberi kontribusi pada pengguna Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi optimal yang mungkin dicapai pengambilan keputusan.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dalam bentuk studi literatur dalam berbagai buku teks dan jurnal. Usulan langkah-langkah untuk Pareto Optimal dalam menentukan solusi Goal Programming dengan model pembobotan adalah sebagai berikut:

Min. p i i i i i w w Z 1 Subject to: ; ,..., 2 , 1 0 ; ,..., 2 , 1 p i untuk dan R x X p i untuk g x f i i n i i i i Keterangan: i i w

w , : vektor pembobotan yang diberikan terhadap deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan i.

Catatan (disimpan): Asumsikan X adalah compact dan fi (for i=1,2,…,p) kontinu

dari X, formulasi tersebut mempunyai solusi. Tidak ada jaminan bahwa solusi ini adalah Pareto Optimal.

Pada penentuan Pareto Optimal secara umum, banyak tipe dari masalah Goal Programming di mana himpunan variabel keputusan adalah compact dan fungsi tujuan adalah kontinu. Akan diperoleh solusi optimal dan mendominasi nanti[5]. Teorema:

Andaikan X adalah compact dan fungsi fi (for i=1,2,…,p) adalah kontinu

p i i X x x f Min 1 Untuk: p i x f x f dan X x x

X , _{i i} , 1,2,..., adalah Pareto Optimal, Jika tidak

bukan solusi Pareto Optimal. Bukti:

Dengan kontribusi x X, Karena X adalah compact dan fungsi fi (for i=1,2,…,p)

adalah kontinu, X adalah compact. Akibatnya, Program (2) setidaknya memiliki satu solusi. Untuk menunjukkan bahwa ada solusi dari program (2) adalah solusi Pareto Optimal dengan membiarkan x0menjadi solusi untuk program (2). Prosedur untuk mencari solusi Pareto Optimal yang mendominasi ini.

Prosedur: Asumsikan bahwa teorema di atas diperoleh solusi Pareto Optimal. Langkah 1: Pandang program (1) jika x menjadi solusi dari program ini. Langkah 2: Pandang program (2) jika x0 Xmenjadi solusi dari program ini.

-Jika

p

i

p

i i

i x f x

f

1 1

0

, maka x adalah solusi program (2). Ini berarti bahwa Pareto Optimal.

-Jika

p

i

p

i i

i x f x

f

1 1

0

, yaitu x adalah bukan solusi program (2). Dengan alternatif-alternatif x0 X, akan diperoleh f_i x0 f_i x for i 1,2,..., p dan ada j yang seperti itu f_j x0 f_j x . Oleh karena itu x0 adalah Pareto Optimal dan mendominasi x. Pengambilan keputusan dapat mengambil sebagai

keputusan yang optimal[3].

Metodologi Goal Programming dengan metode Interactive Linear Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut:

a. Formulasi persoalan Goal Programming.

b. Pendekatan pembobotan (parametric) sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal.

c. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off.

d. Menentukan solusi “terbaik” atau solusi “optimal” dengan

menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti .

Definisi:

X* adalah solusi non-inferior atau Pareto Optimal untuk persoalan Min f(x) d.p

d T

X : jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan X Td , di mana *

x f x

Teorema 1: Lihat persamaan

Min. f₁ x 1 f₂ x (1)

Subject to:

a x f

b ₃

0 X g X T

X _d

I. f1 adalah selalu tidak akan pernah bertambah (monotonically

non-increase) untuk (0 1)dan f2 adalah selalu tidak akan pernah

berkurang (monotonically non-decrease) untuk (0 1).

II. Setiap solusi X dari persamaan (1) adalah Pareto Optimal untuk _0,1 . III. Solusi Pareto Optimal bukanlah solusi yang tunggal dan karenanya merupakan

suatu himpunan alternatif solusi-solusi yang banyak jumlahnya itu. Teorema 2:

I. Min. f₁ dan Maks. f₂ sebagaimana persamaan (1) adalah selalu tidak akan pernah berkurang (monotonically non-decrease) untuk harga di antara (0 1).

II. Setiap solusi X dari persamaan (1) adalah Pareto Optimal untuk )

1 0

( .

Lema 1:

Teorema (2) di atas mengandung arti bahwa setiap solusi Pareto Optimal persamaan ini adalah alternatif dari solusi “terbaik” (preferred solution) dengan batas-batas harga yang terletak di antara (0 1), dan dapat dinyatakan secara visual dalam bentuk kurva tradeoffs.

Definisi:

Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui proses perimbalan (tradeoffs) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan.

Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs (penilaian tolak angsur) di antara tujuan-tujuan, sasaran-sasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut.

Dengan menerapkan dasar-dasar teoritis yang telah dibahas dapat disusun oleh algoritma Interaktif optimisasi multiobjective dengan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Buatlah formulasi model optimisasi multiobjectif dalam bentuk Linear Programming.

Langkah 2: Buatlah tabel matriks pay-off untuk tiga fungsi tujuan f1,,f2, dan f3.

Langkah 3: Carilah dari tabel matriks pay-off tersebut batas-batas atas (upper) dan bawah (lower) fungsi-fungsi tujuan f1,,f2, dan f3.

Langkah 4: Bagilah rentangan f3 menjadi tiga kendala pembatas untuk

masing-masing.

Langkah 5: Buatlah kurva tradeoffs antara f1 dengan ,f2 mengubah nilai )

1 0

( secara parametrik,dan f3 diperlakukan sebagai tiga rentangan

kendala pembatas.

Min. f1 x 1 f2 x

Subject to:

a x f

b ₃

0 X g X T

X _d .

Langkah 6: Dengan menerapkan konsep penalti dapat menentukan solusi “terbaik” di antara solusi Pareto Optimal yang terlihat secara grafik pada kurva tradeoffs masing-masing tiga rentang kendala.

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari Pareto Optimal pada Goal Programming yang akan digunakan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini, akan membahas masalah pembobotan dalam menentukan solusi Optimal pada Goal Programming. Beberapa konsep dan metoda analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming akan dipergunakan pada bab pembahasan

.

Goal Programming

Program tujuan ganda yang dalam bahasa Inggris disebut Multiple Objective Programming atau Goal Programming adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik operasi riset yang memakai model matematika yang merupakan modifikasi khusus dari program linear.

Goal Programming pertama kali diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper pada tahun 1961. Jadi boleh dikatakan sebagai suatu teknik analisis dalam kelompok operasi riset yang umurnya masih muda dibandingkan dengan teknik-teknik analisis yag lain. Akan tetapi dewasa ini penerapan teknik analisis ini sudah menyusup hampir keseluruh bidang pembangunan dan disiplin ilmu, seperti: bidang perencanaan sumber daya alam, bidang perencanaan akademis, perencanaan keuangan, dan lain-lain.

Adapun tujuan dari analisis Goal Programming adalah untuk meminimumkan jarak antara dan deviasi terhadap tujuan, target atau sasaran yang telah ditetapkan

dengan usaha yang dapat ditempuh untuk mendapatkan target atau tujuan tersebut secara memuaskan atau memenuhi target (paling tidak mendekati target) sesuai dengan syarat ikatan yang ada, yang membatasinya berupa sumber daya yang tersedia, teknologi yang ada, kendala tujuan, dan sebagainya[6].

Formulasi dan Model Goal Programming

Metodelogi Goal Programming adalah bergerak dalam masalah-masalah yang tujuannya unidimensional (tujuan tunggal) ataupun Multidimensional (tujuan ganda, dan lebih dari dua). Formulasi Goal Programming hampir sama dengan formulasi Linear Programming. Tahap pertama, ditetapkan peubah-peubah pengambilan keputusan, selanjutnya spesifikasi yang dihadapi dan yang ingin di analisis, menurut prioritasnya (mana prioritas pertama, kedua, dan seterusnya). Urutan prioritas ini dapat disusun dalam skala kardinal maupun ordinal. Asumsi-asumsi yang berlaku Goal Programming adalah peubah-peubah deviasional yang terdiri dari peubah deviasi positif dan deviasi negatif.

Model umum dari Goal Programming (tanpa faktor prioritas di dalam strukturnya) adalah sebagai berikut.

Min. m i i i i W Z 1 = _i m i i i i W W 1 Subject to; tujuan n i i i i j ij m i untuk b X a ,..., 2 , 1 1 n j fungsi kendala n j k j kj p i untuk C atau X g ,..., 2 , 1 ; 1 ,..., 2 , 1

0 , 0 , , i i i i j X Keterangan: i

i , : jumlah unit deviasi positif dan deviasi negatif terhadap tujuan

(bi)

i

i W

W , : timbangan atau penalty (ordinal atau kardinal) yang diberikan terhadap suatu unit deviasi negatif atau deviasi positif terhadap tujuan (bi)

aij : koefisien teknologi fungsi kendala tujuan, yaitu yang

berhubungan dengan tujuan peubah pengambilan keputusan (Xj).

Xj : peubah pengambilan keputusan

bi : tujuan atau target yang ingin dicapai

gkj : koefisien fungsi kendala biasa.

Ck : jumlah sumber daya k yang tersedia

Catatan: bahwa jika tidak dapat mencapai deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target yang ditetapkan secara sekaligus atau simultan, maka salah satu dari peubah deviasional atau ke dua-duanya akan menjadi nol seperti yang ditunjukkan berikut ini: i i i i i i i i i i i i i i Z l jika l Z Z l jika dan Z l jika o Z l jika Z l , , 0 , , Keterangan: li = target

Keadaan di mana koefisien teknologi aij yang berhubungan dengan fungsi kendala

tujuan, dan gkj yang berhubungan dengan fungsi kendala sumber daya harus ditetapkan

secara eksplisit. Hal ini berarti bahwa tradeoffs di antara fungsi tujuan tidak perlu dikuantifikasikan. tetapi satu tujuan dengan tujuan lainnya saling bertentangan. Dengan demikian harus ditetapkan terlebih dahulu mana di antara berbagai tujuan tersebut yang diutamakan dan diprioritaskan

Faktor prioritas dapat ditentukan mana tujuan yang lebih penting sebagai prioritas ke-1, dan tujuan yang kurang penting ditentukan sebagai prioritas ke-2, dan seterusnya. Pembagian prioritas tersebut adalah pengutamaan (preemptive). Jadi harus di susun dalam suatu urutan (rangking) menurut prioritasnya, sehingga dapat dinyatakan faktor prioritas sebagai Pi (untuk i=1,2,…,m). Faktor-faktor prioritas

tersebut memiliki hubungan sebagai berikut: Pi >>>P2 >>>P3>>>Pi+1

Untuk: >>> = ”jauh lebih tinggi daripada”

Dengan demikian, model umum yang memiliki struktur timbangan pengutamaan (preemptive weights) dengan urutan ordinal.

Min. Z = ( )

1 , , i m i s i s i y i

yW PW

P Subject to; tujuan n i i i i j ij m i untuk b X a ,..., 2 , 1 1 n j fungsi kendala n j k j kj p i untuk C atau X g ,..., 2 , 1 ; 1 ,..., 2 , 1 0 , 0 , , i i i i j X Keterangan: i

i , : deviasi positif dan deviasi negatif dari tujuan atau target ke-i s

y P

y i

W_, : timbangan relatif dari i dalam urutan rangking ke-y. s

i

W_, : timbangan relatif dari _i dalam urutan rangking ke-s[6].

Metode Untuk Menyelesaikan Goal Programming

Pada perumusan Goal programming diberikan pembobotan yang khusus pada tujuan-tujuan yang ingin dicapai dan pada berbagai prioritas yang diberikan dalam mencapai tujuan-tujuan tersebut. Hal ini dilakukan terhadap tujuan atau sasaran tidak mungkin tercapai karena menunjukkan tidak terdapat preferensi terhadap mana yang lebih diutamakan dan diberikan bobot yang lebih berarti daripada yang lain dan baik

i

i maupun diberikan bobot yang lebih besar daripada nol

Aplikasi Goal Programming

Model perencanaan di bidang pertanian

Tabel 2.1: Data Perencanaan Usahatani

No Variabel Keputusan

Tanaman Pear (X1/ha)

Tanaman Peach (X2/ha)

Ketersediaan Sumberdaya Modal

tahunan

Pemangkasan

(jam/musim) Panen

Max. traktor (jam)

1 NPV (Rp/ha) 6250 5000

2

Sumber

penghasilan:

Modal tahun1 550 400 15000

Tahun 2 200 175 22000

tahun 3 300 250 29000

Tahun 4 325 200 36000

3

Tenaga kerja

tahunan

Pemangkasan 120 100 4000

Panen 400 450 2000

Mesin Pengolahan

(jam/ha) 35 35 1000

Tujuan Usahatani:

1. Maksimumka NPV (Net Present Value)

3. Minimimumkan tenaga kerja musiman untuk pemangkasan dan panen 4. Minimimumkan sewa traktor

(adalah kepentingan yang saling bertentangan) Strategi dengan Linear Programming biasa: 1. NPV dimaksimumkan

2. Tujuan lain sebagai kendala sumberdaya

3. Total sumber penghasilan: Surplus tahun 1 dimasukkan sebagai tambahan tahun berikutnya.

Pendekatan program linier

Maks. Z= 6250 X1 + 5000 X2

Subject to:

500X1 + 400X2 15.000

750X1 + 575X2 22.000

1050X1 + 825X2 29.000

1375X1 + 1025X2 36.000

120X1 + 180 X2 4000

400X1 2000

450X2 2000

35X1 +35X2 1000

Menguji optimalitas dengan metode simpleks sebagai berikut: A. Maksimasi

Tabel 2.2: Tabel simpleks Maksimasi Iterasi 0

Basis C

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X3 0 500 400 1 0 0 0 0 0 0 0 15000

X4 0 750 575 0 1 0 0 0 0 0 0 22000

X5 0 1050 825 0 0 1 0 0 0 0 0 29000

X6 0 1375 1025 0 0 0 1 0 0 0 0 36000

sxX7 0 120 180 0 0 0 0 1 0 0 0 4000

X8 0 400 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2000

X9 0 0 450 0 0 0 0 0 0 1 0 2000

X10 0 35 35 0 0 0 0 0 0 0 1 1000

Zj-Cj 6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Iterasi 1

Basis C

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X3 0 0 400 1 0 0 0 0 -1.25 0 0 12,500

X4 0 0 575 0 1 0 0 0 -1.875 0 0 18,250

X5 0 0 825 0 0 1 0 0 -2.625 0 0 23,750

X6 0 0 1025 0 0 0 1 0 -3.4375 0 0 29,125

X7 0 0 180 0 0 0 0 1 -0.3 0 0 3,400

X1 6250 1 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 5

X9 0 0 450 0 0 0 0 0 0 1 0 2,000

X10 0 0 35 0 0 0 0 0 -0.0875 0 1 825

Iterasi 2

Basis C

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X3 0 0 0 1 0 0 0 0 -1.25 -0.889 0 10,722.22

X4 0 0 0 0 1 0 0 0 -1.875 -1.278 0 15,694.44

X5 0 0 0 0 0 1 0 0 -2.625 -1.833 0 20,083.33

X6 0 0 0 0 0 0 1 0 -3.4375 -2.278 0 24,569.44

X7 0 0 0 0 0 0 0 1 -0.3 -0.4 0 2,600

X1 6250 1 0 0 0 0 0 0 0.0025 0 0 5

X2 5000 0 1 0 0 0 0 0 0 0.0022 0 4.4444

X10 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.0875 -0.078 1 669.4444

Zj-Cj 0 0 0 0 0 0 0 -15.625 0 0 53472.22

Solusinya:

X1 = 5 ha

X2 = 4.44 ha

NPV = 53.472

Tenaga kerja panen digunakan semua Sumberdaya lainnya tidak habis digunakan, ada sisa sumberdaya. Menurut Linear Programming ini optimal karena:

1. Tujuan yang diformulasikan sebagai kendala dipenuhi dulu sebelum NPV 2. Setiap solusi yang layak harus memenuhi fungsi kendala

Pendekatan tujuan tunggal dengan banyak fungsi kendala seperti ini lazimnya menghasilkan solusi yang tidak memuaskan, sehingga muncullah pendekatan Multiple Criteria atau sering disebut Goal Programming[8].

Dalam model Goal Programming, formula ketidak-samaan seperti di atas dianggap sebagai tujuan (g) dan bukan sebagai kendala Right hand side values (RHS) merupakan target yg dapat tercapai atau hanya dapat didekati. Untuk setiap fungsi tujuan diberi dua macam variabel ( _i dan _i ) untuk mengubahnya menjadi persamaan:

6250X1 + 5000X2 + 1 1 = 200.000 g1

500X1 + 400X2 + 2 2 = 15.000 g2

750X1 + 575X2 + 3 3 = 22.000 g3

1050X1 + 825X2 + 4 4 = 29.000 g4

1375X1 + 1025X2 + 5 5 = 36.000 g5

120X1 + 180 X2 + 6 6 = 4000 g6

400X1 + 7 7 = 2000 g7

450X2 + 8 8 = 2000 g8

35X1 +35X2 + 9 9 = 1000 g9

Pengambil kepuntusan ingin meminimumkan NPV Simpangan negatif ( i ) : Di bawah pencapaian

Simpangan positif ( _i ) : Tujuan yang melebihi target (Over achievement)

0 ,

0 ,

0 _{i i i}

i atau

Min _{i i}

Tujuan Goal Prorgamming adalah meminimumkan deviasi

Mendefinisikan semua tujuan yang relevan dengan situasi perencanaan menetapkan prioritas tujuan: Qi >>>> Qj

Prioritas tinggi dipenuhi lebih dahulu: Lexicographic order Q1 : untuk g2, g3, g4, g5 adalah 2 , 3 , 4 , 5

Q2 : untuk g9 : 9

Q3 : untuk g1: 1

Sehingga diperoleh fungsi tingkat pencapaian fi(x) sebagai berikut:

Min A = [ ( _{2 3 4 5} ), ( ₉ ), ( ₁ ), ( ₆ , ₇ , ₈ )] Subject to:

Q3: 6250X1 + 5000X2 + 1 1 = 200.000 g1

Q1: 500X1 + 400X2 + 2 2 = 15.000 g2

750X1 + 575X2 + 3 3 = 22.000 g3

1050X1 + 825X2 + 4 4 = 29.000 g4

1375X1 + 1025X2 + 5 5 = 36.000 g5

Q4: 120X1 + 180 X2 + 6 6 = 4000 g6

400X1 + 7 7 = 2000 g7

450X2 + 8 8 = 2000 g8

Q2: 35X1 +35X2 + 9 9 = 1000 g9

9 ,..., 1 2

, 1

0

, , ,

j dan i

X_{i j j}

Solusi optimum : X1 = 19.18 X2 = 9.38

Variabel deviasi:

1 = 33.250 1 = 0

2 = 699 2 = 0

3 = 2.221 3 = 0

4 = 1.122 4 = 0

0

7 7 = 5672

0

8 8 = 2211

0 9 6 5 9 6 5

Prioritas I (Q1) : g5 tercapai

Prioritas II (Q2) : g9 tercapai

Dibandingkan dengan penyelesaian Linear Programming pada sebelumnya, sehingga diperoleh nilai NPV lebih tinggi. Sumberdaya habis dipakai masih kurang sumber daya yang digunakan dan modal masih ada sisanya.

Pareto Optimality

Pareto Optimal merupakan penyelesaian atau proses keputusan dengan cara mengevaluasi alternatif-alternatif keputusan dari solusi Goal Programming yang banyak jumlahnya itu, untuk memilih alternatif terbaik yang dapat diterima. Karena cirinya yang tidak mengenal ketunggalan, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif Pareto Optimal yang dikenal juga solusi non-dominance atau non-inferior.

Definisi:

Solusi Non-inferior adalah suatu keadaan di mana tidak mungkin diperoleh pengurangan (pengecilan) dari setiap fungsi tujuan tanpa dalam waktu yang bersamaan mengakibatkan pertambahan (pembesaran) sekurang-kurangnya satu fungsi tujuan lainnya.

Atau dapat dinyatakan:

X* adalah solusi non-inferior atao Pareto Optimal untuk persoalan Min. f(x) d.p

d T

X :jika dan hanya jika tidak terdapat keadaan X T_d ,di mana f x f x* ,

dan f_p x f_p x* untuk beberapa fungsi tujuan p=1,2,…,n.

Dengan pendekatan parametrik mengevaluasi alternatif-alternatif solusi Pareto Optimal. Di antara solusi Pareto Optimal itulah harus ditentukan solusi yang dianggap

“terbaik” (preferred solution) sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan.

Definisi:

Solusi optimum adalah solusi terbaik dari hasil gabungan fungsi-fungsi tujuan yang memenuhi kendala tertentu, sesuai dengan preferensi pengambil keputusan melalui

proses perimbalan (tradeoffs) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan sepadan.

Metodologi Goal Programming dengan metode Interactive Linear Programming yang mempunyai struktur dari matematika rancangan sebagai berikut:

e. Formulasi persoalan Goal Programming.

f. Pendekatan pembobotan (parametric) sebagai pembangkit solusi Pareto Optimal.

g. Mencari batas-batas optimisasi dengan tabel matriks pay-off.

h. Menentukan solusi “terbaik” atau solusi “optimal” dengan

menggunakan kurva tradeoffs dan faktor penalti [11].

Solusi Pareto Optimal yang dikembangkan dengan penggunaan pendekatan parametrik yang diusulkan oleh Geoffrion dengan formulasi berikut ini.

Min. f1 x 1 f2 x

Subject to:

a x f

b ₃

0 X g X T

X _d

Keterangan:

x f dan x f x

f₁ , _{2 3} : tiga fungsi tujuan yang dipilih dengan vektor keputusan n

R x

Td : daerah fisibel variabel keputusan g(x) fungsi kendala

vektor k m

R R G :

: parameter yang berubah di antara (0 1)

a,b : batas atas dan bawah koefisien

Metoda Goal Programming yang diusulkan adalah berbentuk interaktif, di mana hasil akhir optimisasi merupakan alternatif-alternatif Pareto Optimal akan dianalisa secara kuantitatif antara lain adalah menyatakan dalam bentuk tabel matriks pay-off, kurva trade-off, dan cara pemilihan solusi “terbaik” (konsep faktor penalti ), sebagai berikut:

1. Matriks pay-off

Terlebih dahulu suatu himpunan Pareto Optimal dapat diperoleh dengan menggunakan pendekatan parametrik. Dengan memberikan salah satu fungsi tujuan bobot maksimum (misal W=0,999), maka fungsi tujuan lainnya diberi bobot minimum (misal W=0,001) untuk masing-masing fungsi tujuan f1, ,f2, dan f3 dan hitung nilai

masing-masing fungsi tujuan sehingga diperoleh solusi optimal untuk setiap fungsi tujuan tersebut yaitu *

3 *

2 *

1 , f ,dan f

f yang masing-masing terdiri atas 3 (tiga) nilai:

1 3 1 2 1 1 1 *

1 : x x ,x ,x

f 2 3 2 2 2 1 2 *

2 : x x ,x ,x

f 3 3 3 2 3 1 3 *

3 : x x ,x ,x

f

Selanjutnya susunlah nilai dari fungsi tujuan tersebut ke dalam suatu satu tabel di mana baris-baris (rows) menyatakan nilai solusi optimal (x1,x2,x3) dan kolom-kolom

(columns) menunjukkan batas-batas harga setiap fungsi tujuan ( * 3 * 2 * 1 , f , f

f ). Dengan

demikian carilah nilai terbesar dan terkecil dari masing-masing kolom. Misal Mp

sebagai nilai terbesar dan mp sebagai nilai terkecil. Ulangi hal tersebut di atas untuk

p=1,…,3. dan nilai-nilai tersebut disebut sebagai batas atas dan batas bawah setiap

fungsi tujuan itu. 2. Kurva tradeoffs

Mengembangkan nilai tradeoffs antara f1 vs f2 secara pendekatan parametrik yaitu

dengan mengubah-ubah bobot W1 dari 0,999 0,001 dan W2 dari 0,001 0,999 .

Pilih dari masing-masing kurva yang telah disajikan secara visual tersebut satu solusi terbaik yang sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan (untuk setiap strategi akan diperoleh 3 solusi optimal).

3. Faktor penalti .

Dalam model ini kriteria untuk menentukan solusi terbaik itu disebut sebagai faktor

penalti . Faktor penalti dikembangkan berdasarkan konsep perimbalan (tradeoffs)

yang mampu menggambarkan seberapa jauh pengorbanan f1 vs f2. Dari sisi lain faktor

Berdasarkan dari kriterianya tidak akan diperoleh solusi yang optimal yang tunggal dan dengan menggunakan bobot-bobot berinterval (parametric programming) mula-mula sejumlah titik-titik efisien akan dievaluasikan, maka semua titik-titik ekstrim di sekitar permukaan efisien dari daerah fisibel dapat diperoleh, di sinilah peranan pengambilan keputusan menjadi penting artinya. Karena itu perlu terlebih dahulu melakukan tradeoffs (penilaian tolak angsur) di antara tujuan-tujuan, sasaran-sasaran yang akan dioptimisasikan itu dengan demikian cirinya yang tidak mengenal ukuran tunggal, menyebabkan solusi yang dihasilkan berbentuk alternatif-alternatif yang kemudian perlu dievaluasikan oleh pengambil keputusan, sebelum memperoleh solusi terbaik di antara alternatif-alternatif tersebut[4].

Konsep Solusi Pareto Optimal

Setelah solusi-solusi efisien (Pareto Optimal) di daerah fisibel diketahui, selanjutnya memilih dari sekian banyak titik-titik efisien tersebut suatu solusi yang “terbaik”. Pada permasalahan Goal Programming yang tidak mengenal solusi Optimal yang tunggal dan memuaskan dengan mendapatkan solusi Pareto Optimal yang disebut Non-dominance atau efficiency atau non-inferior.

Interprestasi grafis dari konsep Pareto Optimal untuk persoalan optimisasi tujuan

ganda yang mengandung pengertian yang bersifat “duality” dan dapat dinyatakan

melalui dua konsep ruang; Minimum. f x

Subject to:

0 )

(x T

f

T0=ruang fungsi tujuan (objective space)

Minimum. f x

Subject to:

d T x

Td=ruang variable keputusan (decision space)

2.7 Preferensi Pengambilan Keputusan

Solusi Pareto Optimal bukan merupakan solusi yang tunggal karena kenyataannya penentuan satu himpunan Pareto optimal, belum cukup untuk memperoleh solusi terbaik. Dengan demikian untuk mendapatkan solusi yang terbaik di antara himpunan solusi Pareto Optimal tersebut akan dilakukan penambahan satu kriteria yaitu melalui proses perimbalan (tradeoff) di antara fungsi-fungsi tujuan yang tidak dalam keadaan tidak sepadan. Menurut Hurbert Simon, solusi terbaik itu dapat dipandang sebagai solusi yang paling memuaskan yang mungkin dicapai pengambil keputusan, sesuai preferensinya menghadapi kendala tertentu[7].

BAB III

PEMBAHASAN

Analisis Pareto Optimal dengan Pembobotan dalam Menentukan Solusi Goal Programming.

Dalam rangka mencari penyelesaian Goal Programming dengan menghadapi suatu persoalan yang satu tujuan dengan tujuan lain saling bertentangan (multiple and conflicting goals). Dengan demikian persoalan ini dapat diselesaikan dari fungsi tujuan yang majemuk (lebih dari dua) melalui proses reduksi dari alternatif-alternatif yang banyak jumlahnya itu, untuk memperoleh keputusan terbaik melalui preferensi pengambilan keputusan yang dapat diterima.

Permasalahan menentukan Pareto optimal pada Goal programming adalah suatu penyelesaian yang banyak dilakukan dengan pendekatan parametrik dengan diperoleh solusi yang majemuk akan dievaluasikan solusi yang banyak itu, yang akhirnya diperoleh solusi yang efisien. Solusi optimal dari masalah dasar diperlihatkan menjadi suatu cara khusus dari titik ekstrim pada solusi pareto optimal.

Perencanaan dalam konteks Goal Programming melalui tahap-tahap sebagai berikut:

1. Pembentukan tabel matriks pay-off untuk memperoleh batas-batas tertinggi dan terendah nilai masing-masing fungsi tujuan .

2. Membangkitkan alternatif-alternatif solusi Pareto Optimal berdasarkan pendekatan parametrik.

3. membuat Proses perimbalan (tradeoff) di antara fungsi-fungsi tujuan, untuk memperoleh solusi yang optimum sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan[9].

Apabila variabel keputusan merupakan aspek sistem yang akan dikendalikan, maka parameter merupakan sesuatu yang ditetapkan dari luar dan tidak dikendalikan. Sehingga pada perolehan solusi akhir yang memenuhi semua kendala adalah solusi fisibel. Pada umumnya himpunan solusi fisibel itu tidak terhingga banyaknya, algoritma metoda simpleks mampu bekerja untuk mencapai titik optimal dengan mencari solusi hanya pada titik-titik ekstrim daerah fisibel saja.

Permasalahan Pareto Optimal dengan pembobotan dapat diformulasikan dalam bentuk Goal programming. Jika diberikan pembobotan (pendekatan parametrik) pada Goal programming akan dapat menentukan solusi optimal yang merupakan alternatif-alternatif solusi Pareto optimal, dari alternatif-alternatif-alternatif-alternatif yang banyaknya itu, pengambil keputusan akan menentukan pilihan yang sesuai dengan preferensinya. Solusi itulah yang disebut sebagai solusi yang optimal.

Dalam menentukan atau memilih solusi optimal itu adalah menggunakan konsep faktor penalty, melalui kurva tradeoff yang diajukan untuk pengambil keputusan secara visual. Hal ini menyangkut dengan fungsi tujuan yang dinyatakan dalam bentuk tabel pay-off matrix dan kurva tradeoff. Pada tahap ini pembahasan difokuskan ke dalam proses pemilihan titik-titik optimum secara interatif dalam masalah Goal Programming.

3.2 Masalah Perencanaan Usahatani pada Dua Jenis Tanaman (pear dan peach). Pada permasalahan sebelumnya akan dilakukan pendekatan parametrik untuk mendapatkan solusi yang optimal yang sesuai dengan preferensi pengambilan keputusan, untuk mendapatkan solusi yang memuaskan atau memenuhi target yang telah ditetapkan.

Misalnya: Mengevaluasikan alternatif-alternatif

g2, g3, g4, dan g5, sebagai kendala yang harus dipenuhi sebagai kendala

g1, g6, g7, g8, dan g9, sebagai tujuan, ada lima macam simpangan yang perlu

pembobotan untuk mendapatkan solusi Pareto Optimal, Simpangan diberi pembobot sesuai dengan kepentingan relatif dari masing-masing tujuan. Target NPV = 175.600

Maks NPV sesuai dengan perubahan kendala.

Variabel fungsi tujuan: mencerminkan persentase simpangan dari target, bukan simpangan absolut.

Model: Meminimumkanl penjumlahan dari target persentase deviasi Minimize: % 100 1000 2000 % 100 2000 % 100 4000 % 100 600 . 175 9 5 8 4 7 3 6 2 1

1 W W W W

W

Subject to:

500X1 + 400X2 15.000

750X1 + 575X2 22.000

1050X1 + 825X2 29.000

1375X1 + 1025X2 36.000

6250X1 + 5000 X2 + 1 1 = 175.600

120X1 + 180 X2 + 6 6 = 4000

400X1 + 7 7 = 2000

450X2 + 8 8 = 2000

35X1 +35X2 + 9 9 = 1000

9 ,..., 6 1 2 , 1 0 , , , j dan j i

X_{i j j}

Untuk:

W1, …, W5 : pembobot bagi simpangan deviasi. Pembobot ini dapat sama, atau dapat

Misalnya: Petani lebih mementingkan pendapatan atau penghasilannya daripada sewa tenaga kerja dan sewa traktor. Penerapannya harus dilandasi oleh logika ilmiah yang kuat dan benar. Lima situasi di mana GP tidak bagus, yaitu:

1. Solusi optimal dengan menggunakan Goal Programming identik dengan solusi optimal yang diperoleh dengan Linear Programming biasa

2. Trade-off antar goal dalam prioritas tertentu dapat dilakukan, tetapi trade-off lintas prioritas tidak dapat dilakukan

3. Kepekaan Goal Programming untuk menghasilkan situasi optimal inferior 4. Maksimisasi dari fungsi pencapaian f(x) “Achievement Function” dari Goal

Programming tidak sama dengan “optimizing the utility function” dari

pengambilan keputusan. 5. Prioritas terlalu banyak.

Sebagian kecil Goal Programming apabila beberapa tujuan (misalnya struktur biaya usahatani) harus diintroduksi sebagai rasio atau sebagai sebagian tujuan

Minmax Goal Programming adalah minimum maksimun deviasi. Pencapaian dari semua Goal harus lebih besar dibanding dengan target yang ingin dicapai.

Min. Subject to:

j

j j j

j x b

f

Gambar 3.1 Bagan Pengambilan Keputusan

Konsep klasik tentang optimal diganti dengan ideal efisiensi atau Non-dominansi. Masalah optimisasi simultan beberapa tujuan yang menghadapi seperangkat kendala (biasanya linear). Mencoba mengidentifikasi variabel yang mengandung solusi efisien (non-dominated dan Pareto Optimal). Untuk menghasilkan variabel yang efisien adalah:

Eff. Z(X) = [ Z1(X), Z2(X), …………. Zq(X) ]

Subject to:

X € F

Keterangan:

Eff : mencari solusi yang efisien F : Variabel fisibel

Misalnya : Petani mempunyai dua tujuan:

1. Memaksimumkan NPV investasinya dalam pengembangan kebun 2. Meminimumkan jumlah jam kerja tenaga kerja-upahan dalam panen. Kendala luas kebun minimum 10 ha

DM Goal Programming

Evaluasi alternatef-alternatif

MOP

Modelnya adalah:

Eff. Z(X) = [ Z1(X), Z2(X) ]

Untuk: Z1(X) : 6250 X1 + 5000 X2

Z2(X) : - 400 X1– 450 X2

Subject to:

500X1 + 400X2 15.000

750X1 + 575X2 22.000

1050X1 + 825X2 29.000

1375X1 + 1025X2 36.000

120X1 + 180 X2 4000

35X1 +35X2 1000

X1 + X2 10

X1, X2 0

Penyelesaian: Menguji optimisasi dengan menggunakan software QM Tabel 3.1 Tabel simpleks Maksimun Z1 Iterasi 0

Basis C

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

B

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

X4 0 500 400 0 1 0 0 0 0 0 0 18,500

X5 0 750 575 0 0 1 0 0 0 0 0 15,000

X6 0 1,050 825 0 0 0 1 0 0 0 0 22,000

X7 0 1,375 1,025 0 0 0 0 1 0 0 0 29,000

X8 0 120 180 0 0 0 0 0 1 0 0 36,000

X9 0 35 35 0 0 0 0 0 0 1 0 4,000

X10 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 1,000

Iterasi 1

Basis C

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

B

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

X4 0 0 -100 500 1 0 0 0 0 0 -500 10,000

X5 0 0 -175 750 0 1 0 0 0 0 -750 14,500

X6 0 0 -225 1,050 0 0 1 0 0 0 -1,050 18,500

X7 0 0 -350 1,375 0 0 0 1 0 0 -1,375 22,250

X8 0 0 60 120 0 0 0 0 1 0 -120 2,800

X9 0 0 0 35 0 0 0 0 0 1 -35 650

X1 6,250 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 10

Zj-cj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 62500

Iterasi 2

Basis C

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

B

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

X4 0 0 -100 500 1 0 0 0 0 0 -500 10,000

X5 0 0 -175 750 0 1 0 0 0 0 -750 14,500

X6 0 0 -225 1,050 0 0 1 0 0 0 -1,05 18,500

X7 0 0 -350 1,375 0 0 0 1 0 0 -1,37 22,250

X8 0 0 60 120 0 0 0 0 1 0 -120 2,800

X9 0 0 0 35 0 0 0 0 0 1 -35 650

X1 6,250 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 10

Zj-cj 0 -1,250 6250 0 0 0 0 0 0 -6,250 62,500

Iterasi 3

Basis C

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

B

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

X4 0 0 27.273 0 1 0 0 -0.364 0 0 0 1,909.09

X5 0 0 15.909 0 0 1 0 -0.546 0 0 0 2,363.64

X6 0 0 42.273 0 0 0 1 -0.764 0 0 0 1,509.09

X3 0 0 -0.255 1 0 0 0 0.0007 0 0 -1 16.1818

X8 0 0 90.546 0 0 0 0 -0.087 1 0 0 858.182

X9 0 0 8.9091 0 0 0 0 -0.026 0 1 0 83.6364

X1 6,250 1 0.7455 0 0 0 0 0.0007 0 0 0 26.1818

X 2

1 37 5 X 1 + 1 0 2 5 X 2 = 3 6 0 0 0

35 X 1 + 3 5 X 2 = 1 0 0 0 D

C

E X 1 + X 2 > = 1 0

F

1 2 0 X 1 + 1 8 0 X 2 = 4 0 0 0 A B

X

Iterasi 4

Basis C

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

B

6250 5000 0 0 0 0 0 0 0 0

X4 0 0 0 0 1 0 0 -0.286 0 -3.1 0 1,653.06

X5 0 0 0 0 0 1 0 -0.5 0 -1.8 0 2,214.29

X6 0 0 0 0 0 0 1 -0.643 0 -4.7 0 1,112.24

X3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -1 18.5714

X8 0 0 0 0 0 0 0 0.1714 1 -10 0 8.1633

X2 _{5,000 0 1 0 0 0 0 -0.003 0 0.1 0 9.3878}

X1 6,250 1 0 0 0 0 0 0.0029 0 -0.1 0 19.1837

Zj-cj 0 0 0 0 0 0 -3.571 0 -38 0 166.837

Gambar 3.2 Grafik Maksimum Z1

Variabel fisibel F adalah Poligon ABCDE, dan deskripsi untuk titik ekstrim adalah sebagai berikut:

Tabel 3.2 Tabel titik ekstrim Z1

Peubah keputusan Fungsi tujuan

X1 X2 Z1 (NPV)

26.18182 0 163.636.4

0 22.2222 111.111.1

0 10 .50.000

10 0 62.500

19.18367 9.387755 166.836.7

Tabel 3.3 Tabel minimize Z2 Iterasi 0

Basis Cj

400 450 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X4 0 500 400 0 1 0 0 0 0 0 0 15,000

X5 0 750 575 0 0 1 0 0 0 0 0 22,000

X6 0 1,050 825 0 0 0 1 0 0 0 0 29,000

X7 0 1,375 1,025 0 0 0 0 1 0 0 0 36,000

X8 0 120 180 0 0 0 0 0 1 0 0 4,000

X9 0 35 35 0 0 0 0 0 0 1 0 1,000

X10 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 10

cj-zj 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 10

Iterasi 1

Basis Cj

400 450 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X4 0 0 -100 500 1 0 0 0 0 0 -500 10,000

X5 0 0 -175 750 0 1 0 0 0 0 -750 14,500

X6 0 0 -225 1,050 0 0 1 0 0 0 -1,050 18,500

X7 0 0 -350 1,375 0 0 0 1 0 0 -1,375 22,250

X8 0 0 60 120 0 0 0 0 1 0 -120 2,800

X9 0 0 0 35 0 0 0 0 0 1 -35 650

X1 400 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 10

cj-zj 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0

Iterasi 2

Basis Cj

400 450 0 0 0 0 0 0 0 0

B

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

X4 0 0 -100 500 1 0 0 0 0 0 -500 10,000

X5 0 0 -175 750 0 1 0 0 0 0 -750 14,500

X6 0 0 -225 1,050 0 0 1 0 0 0 -1,050 18,500

X7 0 0 -350 1,375 0 0 0 1 0 0 -1,375 22,250

X8 0 0 60 120 0 0 0 0 1 0 -120 2,800

X9 0 0 0 35 0 0 0 0 0 1 -35 650

X1 400 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 10

Z2 : J a m ke rja T K

1 2. 0 0 0

C’

D’ 1 0 . 0 0 0

F B’

5 0 0 0

I d ea l p o i n t E’

A’

7 0. 0 0 0 1 1 0. 0 0 0

1 7 0 . 0 0 0 Z1 = N P V

A’B’C’-- --- -- --- -- -- th e ef f i ci en t s et d a l a m ru a n g tu ju a n A B C --- --- -- -- --- th e ef f i ci en t s et d a l a m ru a n g p eu b a h

Gambar 3.3 Grafik Minimize Z2 Tabel 3.4 Tabel titik ekstrim Z2

Peubah Keputusan Fungsi Tujuan

X1 X2 Z2 (jam kerja sewaan)

26.18182 0 10.472.73

0 22.2222 10.000

0 10 4.500

10 0 4.000

19.18367 9.387755 11.897.96

19.04672 9.532809 11.904.76

Variabel efisien adalah kurva transformasi yang mengukur hubungan antara dua fungsi tujuan. Slope dari garis A’B’ dan B’C’ mencerminkan trade-off (opportunity cost) di antara ke dua tujuan.

) ' ' ( ) ' ( ) ' ' ( ) ' ( ' ' x B f x B f x A f x A f B A T

f A (x’) dan f B (x’) merupakan dua fungsi tujuan, sehingga diperoleh trade off antara

Setiap jam kerja menghasilkan NPV = 25.28

Besarnya tradeoffs ini menjadi pertimbangan dalam menentukan pilihan oleh pengambilan keputusan (Decision Maker).

Matriks pay-off untuk dua tujuan: Tabel 3.5 Matriks Pay-off

NPV Jam kerja sewaan

NPV 166.750 11.893

Jam kerja sewaan 62.500 4.000

Baris I : Maks NPV (166.750) sesuai dengan tenaga kerja-sewaan 11.893

Baris II :Tenaga kerja sewaan minimum (4000 jam) sesuai dengan NPV= 62.500 Konflik antara tujuan NPV dan tujuan sewaan tenaga kerja yaitu Maks, NPV menghasilkan tenaga kerja-sewa yang tinggi (300%) dan Min tenaga kerja sewa menghasilkan NPV rendah (50%). Elemen dalam diagonal utama matriks pay-off disebut Ideal Point (solusi dimana semua tujuan mencapai nilai optimumnya) Kalau ada konflik di antara tujuan, ideal point adalah tidak fisibel. Kebalikan dari Ideal Point

adalah “Anti Ideal” atau “Nadir Point” .

Perbedaan antara Ideal Point dan Nadir Point, merupakan kisaran nilai dari fungsi tujuan. Ide dasar metode ini adalah:

1. Mengoptimalkan salah satu tujuan, sedangkan tujuan-tujuan lainnya dianggap

“Restraints”

2. Variabel efisien diperoleh dengan pembobotan kendala dari tujuan-tujuan yang dianggap sebagai restraints

Misalnya: Problematik MOP dengan fungsi tujuan:

jam Rp B

A T

/ 28 . 25

000 . 4 472 . 10

500 . 62 625 . 163 ' '

Maks, Zk (X)

Subject to: X € F

Zj (X) Lj j = 1, 2, ……., k-1, ……k+1, …., q

Keterangan:

Zk(X) : tujuan yang dioptimalkan

Lj : RHS, divariasi secara parametrik

Misalnya: NPV ditetapkan sebagai tujuan yang harus dioptimalkan, aplikasi metode kendala ini menghasilkan Linear Programming parametrik sbb:

Maks. 6250X1 + 5000X2 (NPV)

Subject to: X € F (kendala teknis)

400X1 + 450X2 L1 ( tenaga kerja /jam)

Nilai L1 beragam antara 4000 – 11.893 jam/ha. Dengan jalan pembobotan L1 untuk

nilai-nilai antara 4000 – 11.893 akan diperoleh variabel efisien. Nilai L1 beragam dalam kisaran 4000 – 11.893 jam/ha.

Tabel 3.6 Penafsiran variael efisien dengan titik ekstrim

X1 X2 Z1 Z2 RHS (L1)

19.189,38 166.750 11.893 11.893 23.593,47 164.788 11.000 11.000

26.050 163.713 10.500 10.500 26.180 163.625 10.472 10.472

25.0 0 156.25 10.000 10.000

22.500 140.625 9.000 9.000 20.000 125.000 8.000 8.000 17.500 109.375 7.000 7.000 15.000 93.75 6.000 6.000 12.500 78.125 5.000 5.000 11.250 70.312 4.500 4.500 10.000 62.500 4.000 4.000 Ide dasar metode ini adalah:

1. Mengkombinasikan semua tujuan menjadi satu fungsi tujuan tunggal 2. Setiap fungsi tujuan diberi pembobot , kemudian baru dijumlahkan (+) 3. Himpunan yang efisien diperoleh melalui variasi parametrik dari pembobot.

Misalnya : Masalah MOP dengan q-tujuan yang harus dimaksimumkan: Maks, W1Z1(X) + W2Z2(X) + ………. + WqZq(X)

Subject to: X € F W 0

Model Linear Programming parametriknya sebagai berikut: Maks, W1(6250X1 + 5000X2) + W2(-400X1– 450X2)

Subject to: X € F (kendala teknis)

W1,W2 0

Dengan menetapkan : W1 + W2 = 1 dan memvariasikannya secara parametrik, maka

diperoleh:

Untuk: 0.4 W1 1 Titik optimalnya C atau C’

0 W2 0.6

Untuk: 0.1 W1 0.4 Titik optimalnya B atau B’

0.6 W2 0.9

Untuk: 0 W1 0.1 Titik optimalnya A atau A’

0.9 W2 1.0

W (pembobotan) sebagai preferensi pengambil keputusan terhadap masing-masing tujuan, bukan menyatakan kepentingan dari masing-masing tujuan. W merupakan parameter yang dapat divariasikan secara sistematik untuk menghasilkan himpunan efisien. Metode ini berada di antara Goal Programming.

Metode ini bekerja meminimumkan deviasi. Misalnya: Maks NPV = 166.750

Tenaga kerja = 6000/jam Traktor = 1000/jam

Model: Eff. Z , Z₁ , ,Z₂ , ,Z₃ , Untuk:

1

1 ,

Z Z₂ , ₂ Z₃ , ₃

Subject to:

1375X1 + 1925X2 36.000

X1 + X2 10

120X1 + 180X2 4000

400X1 + 450X2 + 1 1 = 6000

35X1 + 35X2 + 2 2 = 1000

6250X1 + 5000X2 + 3 3 = 166.750

3 ,..., 1 0 , 0 , ₂ 1 i untuk X X i i Penyelesaian:

Dengan menggunakan software QM for Windows Tabel 3.7: Tabel Simpleks Efektif

Sehingga diperoleh:

Solusi optimum: X1= 26.1818 X2=0

Variabel deviasi:

1 = 1 = 0

2 = 0 2 = 16.1818

3 = 858.1819 3 = 0

4 = 0 4 = 4.472.728

X1 X2 d- 1 d+ 1

d- 2 d+ 2 d- 3 d+ 3 d- 4 d+ 4 d- 5 d+ 5 d- 6 d+

6 RHS

Goal/Cnstrnt 1 0 110 0.2909 -0.2909 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 4472.727

Goal/Cnstrnt 2 1 1.4 0.0007 -0.0007 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26.18182

Goal/Cnstrnt 3 0 12 -0.0873 0.0873 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 858.1818

Goal/Cnstrnt 4 0 0.4 0.0007 -0.0007 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 16.18182 Goal/Cnstrnt 5 0 -14 -0.0255 0.0255 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 83.63637 Goal/Cnstrnt 6 0 -3750 -4.5455 4.5455 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 3.118.636

Priority 3 0 44 0.1164 -0.1164 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1.789.091

Priority 2 0 -3375 -4.0909 4.0909 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2.806.769 Priority 1 0 -12.6 -0.0229 0.0229 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 75.27271

5 83.6363.7 5 = 0

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya dalam menyelesaikan masalah analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming, penulis dapat menyimpulkan bahwa:

1. Untuk menyelesaikan masalah Goal Programming dua variabel

i

i maupun akan menunjukkan berapa banyak kekurangn dan kelebihan

dari target keuntungan NVP = 200.000.

2. Perumusan Goal Programming ini diperoleh solusi optimumnya adalah X1 = 19.18 dan X2 = 9.38, 1 = 33.250, 1 = 0, 2 = 699, 2 = 0, 3 =2.221,

3 = 0, 4 = 1.122, 4 = 0, 7 0, 7 = 5672, 8 0, 8 = 2211, 0

9 6 5 9 6

5 .

3. Jika nilai target yang tercapai, maka ke dua variabel deviasi bernilai 0 (nol), sehingga _{5 6 9 5 6 9} 0 , dan diperoleh:

Prioritas I (Q1) : g5 tercapai, prioritas II (Q2) : g9 tercapai, prioritas IV (Q4) : g6

tercapai.

4. Solusi optimum variabel deviasi yang efisien atau alternatif Pareto Optimal diberikan bobot yang sesuai dengan kepentingan relatif dari masing-masing tujuan Solusi optimum: X1= 26.1818, X2= 0 dan 1 = 1 = 0, 2 = 0, 2 =16.1818, 3 = 858.1819, 3 = 0, 4 = 0, 4 = 4.472.728, 5 83.6363.7, 5 = 0, 6 3.118.636, 6 = 0.

4.2 Saran

Dari kesimpulan sebelumnya penulis dapat menyarankan sebagai berikut:

1. Sebaiknya permasalahan Goal Programming yang saling bertentangan (conflicting) dapat diselesaikan dengan pendekatan parametrik untuk mendapatkan solusi yang tunggal (solusi yang optimal).

2. Seharusnya dalam mengevaluasi Solusi Pareto Optimal perlu diperhatikan dengan teliti titik-titik ekstrim yang efisien, karena di sinilah peranan pengambilan keputusan untuk memperoleh solusi optimal.

DAFTAR PUSTAKA

1. Azis, I.J. 1991. “Konsep Pareto Optimal”. of journal Prisma. edisi Januari.

Jakarta: LP3ES.

2. Barichard, V.Ehrgott, M.Gandibleux, X. and T’Kindt, V,”Multi. 2008. Objective Programming”. Jerman.

3. French, S. Hartley, R. Thomas, L.C. and White, D.J. 1983.”Multi Objective

Decision Making”. New York: Academic Press.

4. Handl, J. and Knowles, J. 1989. “Implicitions for Interpreting the Pareto Set

and for Decision Making”. UK: University of Manchester.

5. Larbani, M. and Aounini, B. 2007.“On the Pareto Optimality in Goal Programming”. Journal of Goal Programming model. ASAC.

6. Nasendi, B.D dan Anwar. A. 1985. ”Program Linier dan Variasinya. Jakarta: Gramedia.

7. Neumann, F. Wegener, I. 2008. ” Can Single-Object ive Optimization Profit from Multi Objective Optimization”. journal of MOP. Germany: Durtmund.

8. Rardin, R, L. 1998. ”Optimization in Operations Research”. New jersey:

Prentice Hall International. Inc.

9. Wagner, H.M. 1969. ”Principle of Operation Research”. Pricenton Hall.

Englewood cliffs, N.J.

10.Zeleny, M. 1977. ”Multiple Criteria Decisioan Making”. Management

Science, Vol.8. North Hoiland Publishing.

Misalnya : Masalah MOP dengan q-tujuan yang harus dimaksimumkan: Maks, W1Z1(X) + W2Z2(X) + ………. + WqZq(X)

Subject to: X € F W 0

Model Linear Programming parametriknya sebagai berikut: Maks, W1(6250X1 + 5000X2) + W2(-400X1– 450X2)

Subject to: X € F (kendala teknis)

W1,W2 0

Dengan menetapkan : W1 + W2 = 1 dan memvariasikannya secara parametrik, maka

diperoleh:

Untuk: 0.4 W1 1 Titik optimalnya C atau C’

0 W2 0.6

Untuk: 0.1 W1 0.4 Titik optimalnya B atau B’

0.6 W2 0.9

Untuk: 0 W1 0.1 Titik optimalnya A atau A’

0.9 W2 1.0

W (pembobotan) sebagai preferensi pengambil keputusan terhadap masing-masing tujuan, bukan menyatakan kepentingan dari masing-masing tujuan. W merupakan parameter yang dapat divariasikan secara sistematik untuk menghasilkan himpunan efisien. Metode ini berada di antara Goal Programming.

Metode ini bekerja meminimumkan deviasi. Misalnya: Maks NPV = 166.750

Tenaga kerja = 6000/jam Traktor = 1000/jam

Model: Eff. Z , Z₁ , ,Z₂ , ,Z₃ , Untuk:

1

1 ,

Z Z₂ , ₂ Z₃ , ₃

Subject to:

1375X1 + 1925X2 36.000

X1 + X2 10

120X1 + 180X2 4000

400X1 + 450X2 + 1 1 = 6000

35X1 + 35X2 + 2 2 = 1000

6250X1 + 5000X2 + 3 3 = 166.750

3 ,..., 1 0 , 0 , ₂ 1 i untuk X X i i Penyelesaian:

Dengan menggunakan software QM for Windows

Tabel 3.7: Tabel Simpleks Efektif

Sehingga diperoleh:

Solusi optimum: X1= 26.1818 X2=0

Variabel deviasi

:

1 = 1 = 0

2 = 0 2 = 16.1818

3 = 858.1819 3 = 0

4 = 0 4 = 4.472.728

X1 X2 d- 1 d+ 1

d- 2 d+ 2 d- 3 d+ 3 d- 4 d+ 4 d- 5 d+ 5 d- 6 d+

6 RHS

Goal/Cnstrnt 1 0 110 0.2909 -0.2909 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 4472.727 Goal/Cnstrnt 2 1 1.4 0.0007 -0.0007 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26.18182 Goal/Cnstrnt 3 0 12 -0.0873 0.0873 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 858.1818 Goal/Cnstrnt 4 0 0.4 0.0007 -0.0007 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 16.18182 Goal/Cnstrnt 5 0 -14 -0.0255 0.0255 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 83.63637 Goal/Cnstrnt 6 0 -3750 -4.5455 4.5455 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 3.118.636 Priority 3 0 44 0.1164 -0.1164 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1.789.091 Priority 2 0 -3375 -4.0909 4.0909 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 2.806.769 Priority 1 0 -12.6 -0.0229 0.0229 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 75.27271

0 0 0 -1 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0

5 83.6363.7 5 = 0

6 3.118.636 6 = 0

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari pembahasan pada bab-bab sebelumnya dalam menyelesaikan masalah analisis Pareto Optimal dengan pembobotan dalam menentukan solusi Goal Programming, penulis dapat menyimpulkan bahwa:

1. Untuk menyelesaikan masalah Goal Programming dua variabel

i

i maupun akan menunjukkan berapa banyak kekurangn dan kelebihan

dari target keuntungan NVP = 200.000.

2. Perumusan Goal Programming ini diperoleh solusi optimumnya adalah X1 = 19.18 dan X2 = 9.38, 1 = 33.250, 1 = 0, 2 = 699, 2 = 0, 3 =2.221,

3 = 0, 4 = 1.122, 4 = 0, 7 0, 7 = 5672, 8 0, 8 = 2211,

0

9 6 5 9 6

5 .

3. Jika nilai target yang tercapai, maka ke dua variabel deviasi bernilai 0 (nol), sehingga _{5 6 9 5 6 9} 0 , dan diperoleh:

Prioritas I (Q1) : g5 tercapai, prioritas II (Q2) : g9 tercapai, prioritas IV (Q4) : g6

tercapai.

4. Solusi optimum variabel deviasi yang efisien atau alternatif Pareto Optimal diberikan bobot yang sesuai dengan kepentingan relatif dari masing-masing tujuan Solusi optimum: X1= 26.1818, X2= 0 dan 1 = 1 = 0, 2 = 0,

2 =16.1818, 3 = 858.1819, 3 = 0, 4 = 0, 4 = 4.472.728, 5 83.6363.7, 5 = 0, 6 3.118.636, 6 = 0.

4.2 Saran

Dari kesimpulan sebelumnya penulis dapat menyarankan sebagai berikut:

1. Sebaiknya permasalahan Goal Programming yang saling bertentangan (conflicting) dapat diselesaikan dengan pendekatan parametrik untuk mendapatkan solusi yang tunggal (solusi yang optimal).

2. Seharusnya dalam mengevaluasi Solusi Pareto Optimal perlu diperhatikan dengan teliti titik-titik ekstrim yang efisien, karena di sinilah peranan pengambilan keputusan untuk memperoleh solusi optimal.

DAFTAR PUSTAKA

1. Azis, I.J. 1991. “Konsep Pareto Optimal”. of journal Prisma. edisi Januari. Jakarta: LP3ES.

2. Barichard, V.Ehrgott, M.Gandibleux, X. and T’Kindt, V,”Multi. 2008. Objective Programming”. Jerman.

3. French, S. Hartley, R. Thomas, L.C. and White, D.J. 1983.”Multi Objective Decision Making”. New York: Academic Press.

4. Handl, J. and Knowles, J. 1989. “Implicitions for Interpreting the Pareto Set and for Decision Making”. UK: University of Manchester.

5. Larbani, M. and Aounini, B. 2007.“On the Pareto Optimality in Goal Programming”. Journal of Goal Programming model. ASAC.

6. Nasendi, B.D dan Anwar. A. 1985. ”Program Linier dan Variasinya. Jakarta: Gramedia.

7. Neumann, F. Wegener, I. 2008. ” Can Single-Object ive Optimization Profit from Multi Objective Optimization”. journal of MOP. Germany: Durtmund. 8. Rardin, R, L. 1998. ”Optimization in Operations Research”. New jersey:

Prentice Hall International. Inc.

9. Wagner, H.M. 1969. ”Principle of Operation Research”. Pricenton Hall. Englewood cliffs, N.J.

10. Zeleny, M. 1977. ”Multiple Criteria Decisioan Making”. Management Science, Vol.8. North Hoiland Publishing.

11. Zuhal. 1995 .”Ketenagalistrikan Indonesia”. Jakarta: Ganessa Prima.