BAB 4 Ling ka ra n
4.4. Kua sa Ling ka ra n
140
c. Jika titik P berada di dalam lingkaran maka kuasa titik P terhadap lingkaran adalah
negatif. sehingga memperoleh panjang garis singgungnya inajiner. Hal ini sesuai dengan kenyataan geometrik bahwa garis singgung suatu lingkaran tidak bisa
dikonstruksi dari sebuah titik di dalam lingkaran.
4.4.2. Garis Kuasa
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua
lingkaran berupa garis lurus dan disebut garis kuasa.
Jika diberikan dua lingkaran L
1
dan L
2
maka garis kuasa dapat dicari. Misalkan kita akan menentukan persamaan garis kuasa lingkaran L
1
≡ x
2
+ y
2
+ a
1
x +
b
1
y + c
1
dan lingkaran L
2
≡ x
2
+ y
2
+ a
2
x + b
2
y + c
2
dan misalkan Px
P
, y
P
adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap L
1
dan L
2
. Menurut 9 maka kuasa titik P terhadap lingkaran L
1
adalah K
P
= x
P 2
+ y
P 2
+ a
1
x
P
+ b
1
y
P
+ c
1
dan kuasa titik P terhadap lingkaran L
1
adalah K
P
= x
P 2
+ y
P 2
+ a
2
x
P
+ b
2
y
P
+ c
2
Kuasa titik P terhadap kedua lingkaran adalah sama sehingga: x
P 2
+ y
P 2
+ a
1
x
P
+ b
1
y
P
+ c
1
= x
P 2
+ y
P 2
+ a
2
x
P
+ b
2
y
P
+ c
2
BAB 4 Ling ka ra n
4.4. Kua sa Ling ka ra n
141
⇔ a
1
– a
2
x
P
+ b
1
– b
2
y
P
+ c
1
– c
2
= 0
Jika titik P dijalankan maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran L
1
dan L
2
yaitu a
1
– a
2
x + b
1
– b
2
y + c
1
– c
2
= 0 10
Secara simbolis persamaan garis kuasa lingkaran L
1
= 0 dan L
2
= 0 dituliskan sebagai :
L
1
– L
2
= 0 11
Contoh :
Tentukan titik pada sumbu-x yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran L
1
≡ x – 1
2
+ y – 4
2
= 16 dan L
2
= x
2
+ y
2
+ 2x – 6y – 15 = 0, dan tentukan kuasa titik tersebut terhadap kedua lingkaran.
Jawab: Menurut 11 maka persamaan garis kuasa kedua lingkaran adalah L
1
– L
2
= 0. Jadi persamaan garis kuasanya adalah :
x – 1
2
+ y – 4
2
–16 – x
2
+ y
2
+ 2x – 6y – 15 = 0 ⇔
–4x – 2y + 16 = 0
BAB 4 Ling ka ra n
4.4. Kua sa Ling ka ra n
142
⇔ 2x + y – 8 = 0
Semua titik yang berada pada garis ini mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran L
1
dan L
2
di atas. Sedangkan titik yang ditanyakan adalah berada pada sumbu-x, yaitu titik potong sumbu-x dengan garis kuasa. Jadi ordinat titik yang
dicari adalah y = 0. Substitusi ke garis kuasa diperoleh absis titik yang dicari yaitu
2x + 0 – 8 = 0, atau x = 4. Jadi koordinat titik yang dicari adalah P–4, 0 dan kuasa titik P terhadap kedua
lingkaran adalah K
P
= 4 – 1
2
+ 0 – 4
2
– 16 = 9
4.4.3. Titik Kuasa
Misalkan L
1
, L
2
, L
3
adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus konsentris. Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis
kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa
. Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan
ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga.
BAB 4 Ling ka ra n
4.5. Ke lua rg a Ling ka ra n
143
Contoh:
Tentukan titik kuasa lingkaran L
1
≡ x
2
+ y
2
+ 3x + 5y – 7 = 0; L
2
≡ x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 6 = 0; dan L
3
≡ x
2
+ y
2
+ 4x – 2y – 2 = 0.
Jawab: Garis kuasa lingkaran L
1
dan L
2
adalah L
1
– L
2
= 0 yaitu 5x + y – 1 = 0
1 Garis kuasa lingkaran L
1
dan L
3
adalah L
1
– L
3
= 0 yaitu x
– 7y + 5 = 0 2
Dari persamaan simultan 1 dan 2 menghasilkan penyelesaian x = 118 dan y
= 1318. Dengan demikian koordinat titik kuasa ketiga lingkaran tersebut adalah 118, 1318.
4 4
. .
5 5
. .
K K
e e
l l
u u
a a
r r
g g
a a
L L
i i
n n
g g
k k
a a
r r
a a
n n
Seperti diperlihatkan pada seksi 3.10, bahwa jika sebuah persamaan linier memuat satu konstanta sembarang, atau parameter, maka persamaan itu menyatakan
sebuah himpunan semua garis pada bidang. Situasi yang sama juga ada untuk
lingkaran. Persamaan lingkaran yang memuat parameter disebut keluarga lingkaran.
BAB 4 Ling ka ra n
4.5. Ke lua rg a Ling ka ra n
144
Misalkan persamaan x – 2
2
+ y – 3
2
= r
2
akan menyatakan keluarga lingkaran yang berpusat di 2, 3 lihat gambar 4.4.
Gambar 4.4
Dengan memberikan nilai tertentu untuk r maka akan menunjuk pada lingkaran tertentu secara unik.
Persamaan dalam bentuk x – h
2
+ y ± h
2
= h
2
akan menyatakan keluarga lingkaran yang meyinggung kedua sumbu koordinat perhatikan gambar 4.5.
Gambar 4.5 2, 3
X Y
O
BAB 4 Ling ka ra n
4.6. Be rka s Ling ka ra n
145
Juga sangat memungkinkan mempunyai keluarga lingkaran yang mempunyai dua parameter. Sebagai contoh, persamaan
x – h
2
+ y – 2h
2
= r
2
menyatakan keluarga lingkaran yang mempunyai pusat pada garis y = 2x, tetapi dengan jari-jari sebagai variabel.
4 4
. .
6 6
. .
B B
e e
r r
k k
a a
s s
L L
i i
n n
g g
k k
a a
r r
a a
n n
Pandang dua lingkaran L
1
dan L
2
yang berpotongan baik real maupun imajiner dengan persamaan sebagai berikut:
L
1
≡ x
2
+ y
2
+ a
1
x + b
1
y + c
1
= 0 dan
L
2
≡ x
2
+ y
2
+ a
2
x + b
2
y + c
2
= 0;
Pandang pula persamaan yang berbentuk: L
1
+ kL
2
≡ x
2
+ y
2
+ a
1
x + b
1
y + c
1
+ kx
2
+ y
2
+ a
2
x + b
2
y + c
2
= 0 1
C
1
+ C
2
= 0
C
1
= 0 C
2
= 0 C
1
+ kC
2
= 0
BAB 4 Ling ka ra n
4.6. Be rka s Ling ka ra n
146
Untuk sembarang nilai k ≠ –1 maka persamaan L
1
+ kL
2
= 0 menyatakan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran L
1
dan L
2
. Ini mudah dipahami bahwa 1 adalah suatu lingkaran dengan menyusun kembali persamaan 1 dalam
bentuk:
x
2
+ y
2
+
k a
a +
− 1
2 1
x +
k b
b +
− 1
2 1
y +
k c
c +
− 1
2 1
= 0 2
yang mana menurut seksi 4.2 persamaan di atas merupakan sebuah lingkaran. Koordinat titik potong kedua lingkaran L
1
dan L
2
juga memenuhi lingkaran dengan persamaan L
1
+ kL
2
= 0, sebab titik potong itu memenuhi persamaan L
1
dan L
2
. Sedangkan untuk k = –1, maka L
1
– L
2
= 0 merupakan garis kuasa kedua lingkaran yang juga dapat dianggap sebagai lingkaran dengan pusat pada garis
hubung titik pusat kedua lingkaran dan terletak di tak hingga, sehingga busurnya berupa garis lurus.
Jika diberikan semua nilai parameter k yang mungkin maka himpunan semua lingkaran yang berbentuk L
1
+ kL
2
= 0 disebut berkas lingkaran dengan L
1
dan L
2
sebagai lingkaran dasarbasis. Sifat istimewa yang dimiliki anggota berkas lingkaran adalah bahwa semua
anggota berkas lingkaran mempunyai sebuah garis kuasa berserikat dan pusatnya adalah berada pada garis lurus yang menghubungkan kedua titik pusat lingkaran
dasarnya.
BAB 4 Ling ka ra n
4.6. Be rka s Ling ka ra n
147
Contoh:
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong lingkaran L
1
≡ x
2
+ y
2
+ 4x – 6y – 96 = 0 dan L
2
≡ x
2
+ y
2
– 18x – 8y + 48 = 0,
dan melalui titik asal.
Jawab: Lingkaran yang dicari merupakan salah satu anggota berkas lingkaran dengan
basis L
1
dan L
2
, yaitu x
2
+ y
2
+ 4x – 6y – 96 + kx
2
+ y
2
– 18x – 8y + 48 = 0. Karena lingkaran juga melalui titik asal O0, 0 maka substitusikan x = 0 dan
y = 0 pada persamaan di atas diperoleh
–96 + 48k = 0, atau k = 2 Substitusikan nilai k pada berkas lingkaran diperoleh persamaan lingkaran yang
dicari yaitu : 3x
2
+ 3y
2
– 32x – 22y = 0
BAB 4 Ling ka ra n
La tiha n 4 C
148
L L
a a
t t
i i
h h
a a
n n
4 4
C C
1. Tentukan persamaan keluarga lingkaran dengan sifat a Berjari-jari 3 dan pusatnya berada di sumbu-x.
b Berjari-jari 4 dan pusatnya berada di sumbu-y. c Menyinggung sumbu-y di titik asal.
d Menyinggung sumbu-x di titik asal. 2. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang berpusat pada garis x – y – 5 = 0 dan
a melalui titik asal. b menyinggung sumbu-y.
3. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang melalui titik asal dan titik 8, 0. 4. Tentukan persamaan keluarga lingkaran yang melalui titik 2, 3 dan titik –4, 5.
5. Tunjukkan bahwa persamaan lingkaran yang berpusat di h, k yang menyinggung lingkaran satuan x
2
+ y
2
= 1 adalah x
2
– 2hx + y
2
– 2ky + 1 = 0. 6. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran
x
2
+ y
2
+ 10x + 12y + 45 = 0, x
2
+ y
2
+ 6x – 2y – 15 = 0, dan melalui titik asal.
BAB 4 Ling ka ra n
La tiha n 4 C
149
7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran x
2
+ y
2
+ 6x + 4y – 12 = 0, x
2
+ y
2
– 2x – 12y + 12 = 0, dan melalui pusat lingkaran pertama.
8. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran x
2
+ y
2
– 6x + 2y = 0, x
2
+ y
2
+ 6x – 4y – 12 = 0, dan melalui titik 5, 3.
9. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui perpotongan lingkaran x
2
+ y
2
– x + 7y – 3 = 0, x
2
+ y
2
– 5x – y + 1 = 0, dan berpusat di :
a sumbu-x b sumbu-y
c garis x – y = 0 d garis x + y = 0
10. Diberikan lingkaran x
2
+ y
2
+ 4x – 8y – 30 = 0. Nyatakan apakah titik-titik berikut di dalam, di luar atau pada lingkaran:
a 4, 7, b –8, 8,
c –9, 3, d –2, –3,
e –6, –2, f 5, 5,
g –6, 0, h 3, 9,
i –8, 1, j –5, –2
k –7, –1, l 5, 2.
BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
150
11. a. Tentukan panjang garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
– 4x + 6y – 12 = 0 dari titik –3, 7.
b Tentukan dua titik singgung pada a.
12. Tentukan persamaan garis kuasa lingkaran L
1
≡ x
2
+ y
2
– 2x – 4y – 4 = 0 dan lingkaran L
2
≡ x
2
+ y
2
+ 6x + 10y – 15 = 0. Buktikan bahwa garis kuasa itu tegak lurus dengan garis hubung pusat-pusat lingkaran basis. Buktikan pula bahwa
semua pusat singkaran anggota berkas adalah terletak pada satu garis lurus, yaitu garis hubung kedua pusat lingkaran dasar.
13. P adalah salah satu titik yang terletak pada garis kuasa lingkaran L
1
dan L
2
. Dari P
dibuat garis singgung pada anggota-anggota berkas lingkaran yang lingkaran dasarnya L
1
dan L
2
. Jika Q
i
adalah titik-titik singgungnya, maka buktikan bahwa panjang PQ
i
selalu sama untuk semua i.
4 4
. .
7 7
. .
G G
a a
r r
i i
s s
S S
i i
n n
g g
g g
u u
n n
g g
L L
i i
n n
g g
k k
a a
r r
a a
n n
. .
Satu hal yang tak perlu kita jelaskan lagi bahwa berdasarkan teori pada geometri Eucide, garis singgung pada lingkaran selalu tegak lurus pada garis yang
menghubungkan titik singgung itu dengan pusat lingkaran. Dengan beberapa sifat dasar yang ada pada teori geometri Euclide dapat diturunkan persamaan garis
singgung suatu lingkaran pada beberapa karakter.
BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
151
4.7.1. Persamaan Garis Singgung yang melalui Titik pada Lingkaran
