BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
151
4.7.1. Persamaan Garis Singgung yang melalui Titik pada Lingkaran
Misalkan kita ingin mencari persamaan garis singgung lingkaran x – h
2
+ y – k
2
= r
2
di titik Px
1
, y
1
yang terletak pada lingkaran. Kita tentukan sembarang titik Qx, y yang terletak pada garis singgung itu lihat gambar 4.6.
Karena Px
1
, y
1
berada pada lingkaran maka memenuhi persamaan lingkaran yaitu x
1
– h
2
+ y
1
– k
2
= r
2
.
Gambar 4.6:
Lingkaran itu berpusat di Rh, k. PQR merupakan segitiga siku-siku, sehingga dengan teorema Pythagoras diperoleh hubungan
QR
2
= PQ
2
+ PR
2
⇔ x – h
2
+ y – k
2
= x – x
1 2
+ y – y
1 2
+ r
2
⇔ x
2
– 2xh + h
2
+ y
2
– 2yk + k
2
= x
2
– 2xx
1
+ x
1 2
+ y
2
– 2yy
1
+ y
1 2
+ r
2
⇔ – 2xh – 2yk + h
2
+ k
2
= – 2xx
1
+ x
1 2
– 2yy
1
+ y
1 2
+ r
2
. P
x
1
, y
1
Q x, y
R h, k
X O
Y
BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
152
⇔ 2xx
1
– 2xh + h
2
+ 2yy
1
– 2yk + k
2
= x
1 2
+ y
1 2
+ r
2
.
Jika masing-masing ruas ditambahkan dengan faktor h
2
+ k
2
– 2x
1
h – 2y
1
k maka diperoleh persamaan
2xx
1
– 2xh – 2x
1
h + 2h
2
+ 2yy
1
– 2yk – 2y
1
k + 2k
2
= r
2
+ x
1 2
– 2x
1
h + h
2
+ y
1 2
– 2y
1
k + k
2
⇔ xx
1
– xh – x
1
h + h
2
+ yy
1
– yk – y
1
k + k
2
= ½{r
2
+ x
1
– h
2
+ y
1
– k
2
} ⇔
x – hx
1
– h + y – ky
1
– k = ½{r
2
+ r
2
} Jadi diperoleh persamaan garis singgung lingkaran x – h
2
+ y – k
2
= r
2
di titik Px
1
, y
1
yang terletak pada lingkaran adalah x – hx
1
– h + y – ky
1
– k = r
2
1 Sedangkan jika persamaan lingkaran berbentuk umum x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 di titik Px
1
, y
1
yang terletak pada lingkaran adalah xx
1
+ yy
1
+ ½ax + x
1
+ ½by + y
1
+ c = 0 2
BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
153
Contoh 1:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x – 4
2
+ y
2
= 25 di titik P
1, –4.
Jawab: Tampak bahwa persamaan di atas merupakan persamaan lingkaran dalam
bentuk baku, berpusat di 4, 0 dan berjari-jari 5. Sehingga persamaan garis singgung di titik 1, –4 adalah
x – hx
1
– h + y – ky
1
– k = r
2
x – 41 – 4 + y – 0– 4 – 0 = 25 3x + 4y + 13 = 0
Contoh 2:
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
– 2x + y = 5 di titik 3, 1.
Jawab: Dengan persamaan 2 diperoleh persamaan garis singgung yang ditanyakan
yaitu
BAB 4 Ling ka ra n
G a ris SIng g ung Ling ka ra n
154
xx
1
+ yy
1
+ ½ax + x
1
+ ½by + y
1
+ c = 0
x ⋅3 + y⋅1 + ½⋅–2x + 3 + ½⋅1y +1 – 5 = 0
⇔ 2x + 1½ y – 7½ = 0
⇔ 4x + 3y – 15 = 0
4.7.2. Persamaan Garis Singgung yang melalui Titik di luar Lingkaran
Kategori