Misalkan Diberikan himpunan S={1,2,3....,20}dan relasi R pada S didefinisikan 4| x
– y . Akan ditunjukan R merupakan relasi ekivalensi a | b artinya a membagi b .
1. Refleksif. Untuk sebarang
S x
diperoleh x – x = 0, Jelas s | 0 , terbukti R bersifat Refleksif.
2. Simetris. Diketahui xRy maka 4 | x
– y , yang artinya x – y = 4n. Diperoleh y
– x = - 4n maka 4 | y – x = - 4n . Dapat disimpulkan yRx 3.
Transitif. Diketaui xRy dan yRz yang artinya x – y = 4n dan y– z = 4m
Diperoleh x – z + 4m = 4n kemudian x – z = 4n + 4m = 4 n + m .
Itu artinya xRz. Maka terbukti bahwa R Transitif.
II.2.4 Kelas Ekuivalensi
Dalam relasi ekuivalensi pasti terdapat kelas ekuivalensi. Misalkan diberikan R relasi ekuivalen pada S maka untuk semua
S a
terdapat suatu himpunan yang berisikan semua anggota S yang berelasi ke a
, dinotasikan
[ a ] = {
S a
| a R x}. Berikut ini merupakan contoh sebuah tabel dengan objectnya adalah kelas ekuivalensi.
Tabel 2.3 Kelas ekuivalensi Hvidsten,2006:15
Equivalence classes Gene1
Gene2 Gene 3 sm
Site of Origin Decision E1={P1,P6}
↓ ↓
yes { L}
E2={P2,P4} Yes
{L} E3={P3,P13,P18}
↓ ↑
no {C,L}
E4={P5,P11,P12,P17} ↓
yes {L}
E5={P7,P8,P15} ↓
↑ No
{C} E6={P9}
↑ yes
{C} E7={P10,P16}
↓ ↓
↑ No
{C,L} E8={P14}
↑ ↑
No {C}
Pada tabel diatas object E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, dan E8 merupakan kelas ekuivalensi dari tabel 2.2 Sistem Keputusan.
II.2.5 Ruang Hampiran dan Himpunan Kasar
Dimisalkan X adalah suatu semesta yang takkosong, R adalah suatu relasi ekivalensi pada X,
} ,
| {
] [
R y
x X
y x
R
adalah kelas ekivalensi yang memuat
X x
, dan
} |
] {[
X x
x R
X
R
adalah himpunan hasil-bagi pada X yang terimbas oleh relasi ekivalensi R, yaitu keluarga semua kelas ekivalensi yang
terimbas oleh R pada himpunan tersusun X. Pasangan
, R
X K
disebut ruang hampiran, masing-masing kelas ekivalensi dalam XR disebut himpunan elementer
atau atom dalam K, dan elemen-elemen dalam suatu himpunan elementer disebut elemen-elemen yang takterbedakan dalam K. Dalam setiap ruang hampiran K,
himpunan kosong juga dianggap sebagai himpunan elementer. Setiap gabungan berhingga banyak himpunan elementer dalam K disebut himpunan tersusun
dalam K. Jika A adalah suatu himpunan bagian dari semesta X, maka hampiran
bawah dari A dalam K, dengan lambang ,
A K
adalah
} ]
[ |
{ }
] [
| ]
{[ A
x X
x A
x R
X x
A K
R X
x R
R
..................... 2.1
yaitu gabungan semua himpunan elementer yang termuat dalam A. Sedangkan hampiran atas dari A dalam K, dengan lambang
, A
K
adalah
} ]
[ |
{ }
] [
| ]
{[
A x
X x
A x
R X
x A
K
R X
x R
R
..................... 2.2
yaitu gabungan semua himpunan elementer yang beririsan dengan A. Hampiran bawah dari A menyajikan himpunan elemen-elemen semesta yang pasti
merupakan anggota himpunan A, sedangkan hampiran atas dari A menyajikan himpunan elemen-elemen semesta yang mungkin merupakan anggota himpunan
A. Perhatikan bahwa
. A
K A
A K
Elemen-elemen semesta yang tidak berada dalam hampiran atas dari A adalah elemen-elemen yang pasti tidak
merupakan anggota A.
