II.2.5 Ruang Hampiran dan Himpunan Kasar
Dimisalkan X adalah suatu semesta yang takkosong, R adalah suatu relasi ekivalensi pada X,
} ,
| {
] [
R y
x X
y x
R
adalah kelas ekivalensi yang memuat
X x
, dan
} |
] {[
X x
x R
X
R
adalah himpunan hasil-bagi pada X yang terimbas oleh relasi ekivalensi R, yaitu keluarga semua kelas ekivalensi yang
terimbas oleh R pada himpunan tersusun X. Pasangan
, R
X K
disebut ruang hampiran, masing-masing kelas ekivalensi dalam XR disebut himpunan elementer
atau atom dalam K, dan elemen-elemen dalam suatu himpunan elementer disebut elemen-elemen yang takterbedakan dalam K. Dalam setiap ruang hampiran K,
himpunan kosong juga dianggap sebagai himpunan elementer. Setiap gabungan berhingga banyak himpunan elementer dalam K disebut himpunan tersusun
dalam K. Jika A adalah suatu himpunan bagian dari semesta X, maka hampiran
bawah dari A dalam K, dengan lambang ,
A K
adalah
} ]
[ |
{ }
] [
| ]
{[ A
x X
x A
x R
X x
A K
R X
x R
R
..................... 2.1
yaitu gabungan semua himpunan elementer yang termuat dalam A. Sedangkan hampiran atas dari A dalam K, dengan lambang
, A
K
adalah
} ]
[ |
{ }
] [
| ]
{[
A x
X x
A x
R X
x A
K
R X
x R
R
..................... 2.2
yaitu gabungan semua himpunan elementer yang beririsan dengan A. Hampiran bawah dari A menyajikan himpunan elemen-elemen semesta yang pasti
merupakan anggota himpunan A, sedangkan hampiran atas dari A menyajikan himpunan elemen-elemen semesta yang mungkin merupakan anggota himpunan
A. Perhatikan bahwa
. A
K A
A K
Elemen-elemen semesta yang tidak berada dalam hampiran atas dari A adalah elemen-elemen yang pasti tidak
merupakan anggota A.
Selisih hampiran atas dan hampiran bawah dari himpunan A dalam K, yaitu
, A
K A
K A
B
K
disebut daerah batas dari himpunan A dalam K. Jika ,
A B
K
yaitu
A A
K A
K
, maka A merupakan gabungan himpunan elementer dalam K dan disebut himpunan yang dapat dideskripsikan secara tepat
dalam K atau himpunan tegas dalam K. Jika ,
A B
K
maka A tidak dapat dideskripsikan secara tepat dalam K dan disebut himpunan kasar dalam K. Dengan
perkataan lain, himpunan kasar adalah himpunan bagian dari semesta yang mempunyai daerah batas yang tak kosong. Berikut ini akan diberikan ilustrasi
pengimplementasian himpunan kasar dan ruang hampiran menggunakan data 18 pasien yang terkena kanker yang digamabarkan pada tabel 2.4.
Tabel 2.4 Data 18 pasien kanker Hvidsten,2006:15
Equivalence classes Gene1
Gene2 Gene3
sm Site of Origin Decision
E1={P1,P6} ↓
↓ yes
{ L} E2={P2,P4}
yes {L}
E3={P3,P13,P18} ↓
↑ no
{C,L} E4={P5,P11,P12,P17}
↓ yes
{L} E5={P7,P8,P15}
↓ ↑
no {C}
E6={P9} ↑
yes {C}
E7={P10,P16} ↓
↓ ↑
no {C,L}
E8={P14} ↑
↑ no
{C}
Tabel 2.4 adalah contoh dari sistem keputusan SK = {E, A, D} 18 pasien kanker yang dibagi kedalam 2 bagian sesuai dengan lokasi asli tumornya yaitu lung L
atau colon C. Pada tabel 2.4 diatas E={p1, p2, p3, p4, p5..., p18} merupakan himpunan pasien yang didiagnosa terkena penyakit kanker dengan empat buah
atribut A={Gene1, Gene2, Gene3, sm} yang merupakan faktor yang mempengaruhi penyakit kanker. Pada data tersebut relasi ekuivalensi R pada E
dapat didefinisikan sebagai berikut R
y x
,
jika dan hanya jika nilai semua atribut dari x dan y sama. Maka dari data tersebut dapat diperoleh ruang hampiran
K=E, R, dengan partisi E R ={E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8} dimana E1={P1, P6}, E2={P2,P4}, E3={P3, P13, P18}, E4={P5, P11, P12, P17},
E5={P7, P8, P15}, E6={P9}, E7={P10, P16} dan E8={P14} adalah himpunan elementer yaitu himpunan pasien-pasien yang tak terbedakan dalam K karena
menunjukkan faktor penyebab penyebab penyakit yang sama. Pasien dengan Decision class lungL dan colonC {C,L} merupakan himpunan kasar karena
tidak dapat didefinisikan secara unik menggunakan kelas ekuivalensi. Data Pasien tersebut hanya dapat didefinisikan dengan hampiran atas
K
dan hampiran bawah
K . Dalam kasus ini A = {E1, E2, E3, E4, E7} merupakan himpunan kelas ekuivalensi pasien yang didiagnosa menderita penyakit kanker paru-paru lung.
Maka hampiran bawah dari A
,
yaitu himpunan pasien yang pasti menderita kanker paru-paru, adalah
A
K
4 2
1 E
E E
= {P1, P2, P4, P5, P6, P11, P12, P17} Hampiran atas dari A, yaitu himpunan kelas ekuivalensi pasien yang
mungkin menederita kanker paru-paru adalah
K
A =
7 4
3 2
1 E
E E
E E
= {P1, P2, P4, P5, P6, P11, P12, P17} Sedangkan himpunan E -
K
A =
8 6
5 E
E E
= {P7, P8, P9, P14, P15} adalah himpunan pasien yang pasti tidak terkena kanker paru-paru melainkan pasien
yang terkena kanker usus colon. Suatu ilustrasi himpunan kasar A dengan hampiran bawah dan hampiran atasnya dalam suatu ruang hampiran
, R
X K
disajikan dalam Gambar 2.2 berikut ini.
Gambar 2.2
Himpunan kasar dengan hampiran atas dan bawah Susilo,2006:3
A
A K
A K
XR A
B
K
K = X,R
Kategori