+ +
+ +
= =
| |
Contoh 2.2.2
Diketahui fungsi =
dan = , maka
= karena
lim
→∞
= lim
→∞
= .
C. Deret Taylor
Fungsi yang terdiferensial tak hingga banyak kali dapat diperluas menjadi deret yang disebut deret Taylor.
Definisi 2.3.1
Diketahui fungsi :
⊂ ℝ → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada suatu interval
� ⊂ dengan merupakan titik interior �. Fungsi dapat dideretkan di sekitar titik sebagai berikut
= +
′
− +
′′ −
+
+ −
+ . 2.3.1
Deret tersebut disebut deret Taylor di sekitar titik Thomas dkk., 2009.
Contoh 2.3.1
Tentukan deret Taylor = di sekitar titik = .
Penyelesaian: Berikut adalah turunan-turunan fungsi
=
−
,
′
= −
−
,
′′
=
−
, , = −
− +
, sehingga didapat
= ,
′
= − ,
′′
= , ,
= −
− +
. Jadi, deret Taylor
= di sekitar titik = adalah
= − −
+ −
− + − −
+
+ .
Definisi 2.3.2
Diketahui fungsi :
⊂ ℝ → ℝ terdiferensial tak hingga banyak kali pada suatu himpunan terbuka
� dengan , merupakan titik interior �. Fungsi dapat dideretkan di sekitar titik
, sebagai berikut ,
= ,
+ ,
− +
, −
+ [ ,
− +
, −
− +
, −
] + . 2.3.2
Deret tersebut disebut deret Taylor di sekitar titik , .
D. Penurunan Numeris
Nilai turunan dari fungsi di titik , dengan notasi
′ , dapat didekati
secara numeris dengan beberapa metode dengan tingkat keakuratan tertentu. Berikut adalah beberapa metode penurunan numeris Buchanan dan Turner, 1992.
Diketahui fungsi : ℝ ⟶ ℝ dengan variabel bebas adalah fungsi yang
terdiferensial di titik . Berdasarkan Definisi 2.1.1, didapatkan pendekatan sebagai
berikut
′
≈ + ℎ −
ℎ 2.4.1
untuk nilai ℎ tertentu. Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda maju.
Cara lain untuk mendefinisikan turunan di titik adalah
′
= lim
ℎ→
− − ℎ
ℎ .
2.4.2 Untuk nilai
ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut
′
≈ −
− ℎ ℎ
. 2.4.3
Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda mundur. Selain itu, turunan di titik
juga dapat didefinisikan sebagai
′
= lim
ℎ→
+ ℎ − − ℎ
ℎ .
2.4.4 Untuk nilai
ℎ tertentu, didapatkan pendekatan sebagai berikut
′
≈ + ℎ −
− ℎ ℎ
. 2.4.5
Pendekatan di atas disebut penurunan numeris beda pusat. Penurunan numeris fungsi dua variabel adalah sebagai berikut Rosloniec,
2008. Diketahui fungsi : ℝ × ℝ → ℝ dengan variabel bebas dan , turunan
numeris fungsi terhadap variabel di titik didefinisikan dalam berbagai cara
sebagai berikut PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� � |
=
≈ + ℎ,
− ,
ℎ ,
2.4.6 �
� |
=
≈ ,
− − ℎ,
ℎ ,
2.4.7 �
� |
=
≈ + ℎ,
− − ℎ,
ℎ .
2.4.8 Secara berturut-turut, pendekatan di atas merupakan penurunan numeris beda maju,
beda mundur, dan beda pusat. Hal yang serupa juga berlaku pada variabel . Turunan numeris fungsi terhadap variabel di titik
didefinisikan dalam berbagai cara sebagai berikut
� � |
=
≈ ,
+ ℎ − ,
ℎ ,
2.4.9 �
� |
=
≈ ,
− ,
− ℎ ℎ
, 2.4.10
� � |
=
≈ ,
+ ℎ − ,
− ℎ ℎ
. 2.4.11
Dengan menggunakan deret Taylor + ℎ ,
− ℎ , + ℎ, ,
− ℎ, , ,
+ ℎ , dan ,
− ℎ didapatkan tingkat keakuratan penurunan numeris beda maju dan mundur adalah satu, sedangkan tingkat
keakuratan penurunan numeris beda pusat adalah dua. Perhitungan tingkat keakuratan penurunan numeris dapat dilihat pada lampiran.
E. Nilai dan Vektor Eigen
Kategori