Nilai dan Vektor Eigen Persamaan Diferensial

� � | = ≈ + ℎ, − , ℎ , 2.4.6 � � | = ≈ , − − ℎ, ℎ , 2.4.7 � � | = ≈ + ℎ, − − ℎ, ℎ . 2.4.8 Secara berturut-turut, pendekatan di atas merupakan penurunan numeris beda maju, beda mundur, dan beda pusat. Hal yang serupa juga berlaku pada variabel . Turunan numeris fungsi terhadap variabel di titik didefinisikan dalam berbagai cara sebagai berikut � � | = ≈ , + ℎ − , ℎ , 2.4.9 � � | = ≈ , − , − ℎ ℎ , 2.4.10 � � | = ≈ , + ℎ − , − ℎ ℎ . 2.4.11 Dengan menggunakan deret Taylor + ℎ , − ℎ , + ℎ, , − ℎ, , , + ℎ , dan , − ℎ didapatkan tingkat keakuratan penurunan numeris beda maju dan mundur adalah satu, sedangkan tingkat keakuratan penurunan numeris beda pusat adalah dua. Perhitungan tingkat keakuratan penurunan numeris dapat dilihat pada lampiran.

E. Nilai dan Vektor Eigen

Diketahui matriks � berukuran × . Vektor tak nol ̅ yang memenuhi � ̅ = � ̅ 2.5.1 dengan � ℝ, disebut vektor eigen dari matriks �. Bilangan real � disebut nilai eigen dari matriks � yang berkaitan dengan vektor eigen ̅ Budhi, 1995. Teorema 2.5.1 Bilangan real � merupakan nilai eigen dari matriks � jika dan hanya jika � memenuhi persamaan det � − � = . 2.5.2 Persamaan 2.5.2 di atas disebut sebagai persamaan karakteristik. Contoh 2.5.1 Diketahui matriks � berukuran × � = [ − − ]. Nilai eigen dari matriks � dapat dicari menggunakan Teorema 2.5.1 det � − � = det [ − − ] − [ � �] = det [ − � − − − �] = � − � + sehingga didapat persamaan karakteristik � − � + = . Jadi, nilai eigen dari matriks � adalah � = dan � = . Selanjutnya vektor eigen matriks � dapat dicari dengan substitusi masing- masing nilai eigen ke persamaan 2.5.1. Untuk � = [ − − ] [ ] = [ ], 2.5.3 sehingga didapat vektor eigen ̅ dari matriks � yang berkaitan dengan � ̅ = [ ] dengan ≠ merupakan sebarang konstanta real. Dengan cara yang sama, didapatkan vektor eigen ̅ dari matriks � yang berkaitan dengan � yaitu ̅ = [ ] dengan ≠ merupakan sebarang konstanta real. Matriks � berukuran × dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat matriks tak singular sedemikian sehingga � = � − 2.5.4 dengan � merupakan matriks diagonal dan − merupakan invers dari matriks . Berikut ini merupakan syarat cukup suatu matriks dapat didiagonalkan. Teorema 2.5.2 Jika � adalah matriks berukuran × yang memiliki buah nilai eigen yang berbeda, maka matriks � dapat didiagonalkan. Matriks � berukuran × seperti pada Contoh 2.5.1 merupakan contoh matriks yang dapat didiagonalkan karena memiliki dua nilai eigen berbeda. Penjelasan lebih lanjut mengenai teorema di atas dapat dilihat pada Budhi 1995.

F. Persamaan Diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang menyatakan hubungan suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Berikut ini adalah contoh persamaan diferensial. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh 2.6.1 + = 2.6.1 + + = 2.6.2 + = 2.6.3 + + = sin 2.6.4 − − = 2.6.5 � � + � � − = 2.6.6 � � − � � + + sin = 2.6.7 Secara umum, persamaan diferensial diklasifikasi berdasarkan jumlah variabel bebasnya. Persamaan diferensial yang memuat satu variabel bebas disebut persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan diferensial yang memuat dua atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial parsial. Persamaan 2.6.1- 2.6.5 merupakan contoh persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan 2.6.6 dan 2.6.7 merupakan contoh persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial juga dapat diklasifikasi berdasarkan tingkat order-nya. Tingkat dari persamaan diferensial merupakan tingkat dari turunan tertinggi yang termuat pada persamaan diferensial Ayres, 1981. Bentuk umum persamaan diferensial biasa tingkat ke- adalah , , ′ , ′′ , , = 2.6.8 dengan adalah variabel bebas, adalah sebarang fungsi terhadap , dan adalah turunan ke- dari fungsi Boyce dan DiPrima, 2012 . Sedangkan, bentuk umum persamaan diferensial parsial tingkat ke- adalah , , , , ′ , ′′ , , = 2.6.9 dengan , , adalah variabel bebas, adalah sebarang fungsi terhadap , , , dan adalah turunan parsial ke- dari fungsi . Persamaan 2.6.1, 2.6.3, dan 2.6.6 merupakan persamaan diferensial tingkat satu; 2.6.2, 2.6.5, dan 2.6.7 merupakan persamaan diferensial tingkat dua; dan 2.6.4 merupakan persamaan diferensial tingkat tiga. Selain itu, persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial linear dan nonlinear. Persamaan diferensial yang fungsi dan suku-suku turunannya baik itu turunan biasa maupun turunan parsial bersifat linear disebut persamaan diferensial linear. Jika terdapat fungsi atau suku turunan yang bersifat nonlinear, maka disebut persamaan diferensial nonlinear. Persamaan 2.6.1-2.6.3 merupakan persamaan diferensial biasa linear; persamaan 2.6.4 dan 2.6.5 merupakan persamaan diferensial biasa nonlinear; persamaan 2.6.6 merupakan persamaan diferensial parsial linear; dan persamaan 2.6.7 merupakan persamaan diferensial parsial nonlinear.

G. Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik