∆
, = + ∆ ∆
∆ −
+ ∆ =
∆ . 2.8.18
Jadi, tingkat keakuratan metode numeris Upwind adalah satu.
I. Metode Karakteristik untuk Persamaan Diferensial Parsial
Perhatikan persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut, , ,
+ , ,
− , ,
= . 2.9.1
Persamaan tersebut diasumsikan memiliki solusi dalam bentuk =
, , atau secara implisit
, , ≡
, − =
2.9.2 merepresentasikan suatu permukaan solusi solution surface dalam ruang
, , . Persamaan 2.9.2 sering disebut sebagai permukaan integral integral surface dari
persamaan 2.9.1. Di setiap titik , , pada permukaan solusi, vektor gradien
= , , = , , − merupakan vektor normal permukaan solusi. Di lain pihak, persamaan 2.9.1 dapat ditulis dalam bentuk perkalian titik dot
product antara dua vektor yaitu +
− = , , ∙ , , − = , 2.9.3
Sehingga didapatkan bahwa vektor , , merupakan vektor singgung dari
permukaan solusi pada titik , , .
Gambar 2.9.1. Vektor normal dan vektor singgung dari permukaan solusi di titik
, , Kurva pada ruang
, , yang garis singgung setiap titiknya berimpit dengan medan arah karakteristik
, , disebut kurva karakteristik. Jika persamaan parameter dari kurva karakteristik tersebut adalah
= , =
, = ,
2.9.4 maka vektor singgung kurva tersebut adalah
� �
,
� �
,
� �
. Berdasarkan persamaan 2.9.3 didapat sistem persamaan diferensial biasa dari kurva karakteristik sebagai
berikut =
, , , =
, , , =
, , , 2.9.5
atau secara ekuivalen dapat ditulis sebagai =
= .
2.9.6 Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan 2.9.1.
Teorema 2.9.1
Solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu , ,
+ , ,
= , ,
2.9.7 adalah
�, � = , 2.9.8
dengan merupakan sebarang fungsi dari � , , dan � , , , serta � =
dan � = merupakan kurva solusi persamaan karakteristik
= =
. 2.9.9
Bukti dari Teorema 2.9.1 dapat dilihat pada karya Debnath 2012 halaman 209.
Contoh 2.9.1
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial parsial tingkat satu berikut +
= . 2.9.10
Penyelesaian: Kurva karakteristik dari persamaan 2.9.10 adalah
= =
, 2.9.11
yang tidak lain merupakan sistem persamaan diferensial biasa dengan tiga persamaan. Fungsi
� dan � dapat dicari dengan menyelesaikan sebarang dua persamaan diferensial biasa di atas. Untuk
�
=
�
, didapat ∫
= ∫ ⟺ ln
= ln +
⟺ = PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
⟺ = dengan
adalah sebarang konstan, sehingga � = = . Sedangkan untuk
�
=
�
, didapat ∫
= ∫ ⟺ ln
= ln +
⟺ = ⟺ =
dengan adalah sebarang konstan, sehingga � = = .
Jadi, solusi umum persamaan 2.9.10 adalah �, � =
atau ,
= , dengan sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum persamaan 2.9.10 dapat
ditulis =
atau ,
= ,
dengan sebarang fungsi. Agar pembahasan lengkap, dapat diperiksa bahwa
, =
adalah benar-benar solusi persamaan 2.9.10 sebagai berikut.
= −
′ =
− ′
2.9.12 =
′ = ′
2.9.13 Berdasarkan persamaan 2.9.12 dan 2.9.13, maka didapat
+ =
− ′
+ ′
= = .
2.9.14 Jadi, diperoleh
+ = untuk
, =
.
J. Fungsi Galat
Kategori