Turunan Big-O dan Little-o

8

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bagian ini berisi landasan teori skripsi yang terdiri atas turunan, notasi big-O dan little-o, deret Taylor, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan diferensial, persamaan diferensial parsial hiperbolik, galat pemotongan lokal, metode karakteristik, dan fungsi galat.

A. Turunan

Berikut ini adalah definisi dan contoh dari turunan fungsi satu variabel. Definisi 2.1.1 Diketahui fungsi : ⊆ ℝ → ℝ dan titik . Turunan fungsi di titik , dengan notasi ′ , adalah ′ = lim ℎ→ + ℎ − ℎ 2.1.1 dengan syarat nilai limit tersebut ada. Contoh 2.1.1 Tentukan turunan fungsi = + di titik = . Penyelesaian: Dengan menggunakan Definisi 2.1.1 didapat penyelesaian sebagai berikut. ′ = lim ℎ→ + ℎ − ℎ = lim ℎ→ + ℎ + + ℎ − + ℎ = lim ℎ→ ℎ + ℎ ℎ = lim ℎ→ ℎ + = . Aturan Rantai Jika dan mempunyai turunan, maka fungsi komposisi ∘ juga mempunyai turunan, yaitu ∘ ′ = ′ ′ . 2.1.2 Jika = dan = , maka dengan notasi Leibniz, dapat diturunkan terhadap , yaitu = . 2.1.3 Penjelasan lebih lanjut mengenai aturan rantai dapat dilihat pada Thomas dkk. 2009. Selanjutnya akan dibahas mengenai turunan parsial dari fungsi dua variabel. Definisi 2.1.2 Diketahui fungsi : ⊂ ℝ → ℝ dan titik , . Turunan parsial terhadap di titik , adalah � � | � , = , | = � = lim ℎ→ + ℎ, − , ℎ , 2.1.4 dengan syarat nilai limit tersebut ada. Turunan parsial di atas dapat dinotasikan dengan , . Definisi 2.1.3 Diketahui fungsi : ⊂ ℝ → ℝ dan titik , . Turunan parsial terhadap di titik , adalah � � | � , = , | = � = lim ℎ→ , + ℎ − , ℎ , 2.1.5 dengan syarat nilai limit tersebut ada Thomas dkk., 2009. Turunan parsial di atas dapat dinotasikan dengan , . Contoh 2.1.2 Tentukan turunan parsial , = + terhadap dan di titik , . Penyelesaian: Dengan menggunakan Definisi 2.1.2 didapat turunan parsial terhadap di titik , sebagai berikut. � � | , = , | = = lim ℎ→ + ℎ, − , ℎ = lim ℎ→ + ℎ + − + ℎ = lim ℎ→ ℎ + ℎ ℎ = lim ℎ→ ℎ + = Kemudian, dengan menggunakan Definisi 2.1.3 didapat turunan parsial terhadap di titik , sebagai berikut. � � | , = , | = = lim ℎ→ , + ℎ − , ℎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = lim ℎ→ + + ℎ − + ℎ = lim ℎ→ ℎ + ℎ ℎ = lim ℎ→ ℎ + =

B. Big-O dan Little-o

Definisi 2.2.1 Diketahui fungsi : ⊂ ℝ → ℝ dan : ⊂ ℝ → ℝ , = 2.2.1 untuk → ∞ jika dan hanya jika terdapat bilangan real dan sedemikian sehingga | | | | 2.2.2 untuk setiap . Sedangkan = 2.2.3 untuk → ∞ jika dan hanya jika lim →∞ = . 2.2.4 Notasi dibaca big-O, sedangkan notasi dibaca little-o. Contoh 2.2.1 Diketahui fungsi = + − dan = , maka = karena untuk = dan = berlaku | | = | + − | + + + + = = | | Contoh 2.2.2 Diketahui fungsi = dan = , maka = karena lim →∞ = lim →∞ = .

C. Deret Taylor