Gambar 3.1.2. Solusi numeris dengan definisi fluks Upwind
Pada kedua gambar tersebut, terlihat bahwa solusi numeris menghasilkan galat yang cukup besar di sekitar titik diskontinyu.
B. Persamaan Termodifikasi
Penurunan persamaan termodifikasi berkaitan erat dengan perhitungan galat pemotongan lokal dari suatu metode. Perhatikan galat pemotongan lokal Lax-
Friedrichs untuk persamaan 3.1.1 yang didapatkan dari persamaan 2.8.10
∆
, = +
+ ∆
− ∆
∆ + ∆
. 3.2.1
Karena , diambil sebagai solusi eksak dari +
= , maka didapatkan galat pemotongan lokal
∆
, = ∆ . Jika
, sekarang diasumsikan merupakan solusi persamaan diferensial parsial
+ +
∆ −
∆ ∆
= , 3.2.2
maka didapat galat pemotongan ∆ . Disimpulkan bahwa tingkat keakuratan
pendekatan metode Lax-Friedrichs terhadap solusi 3.2.2 adalah dua. Persamaan ini disebut persamaan termodifikasi untuk metode Lax-Friedrichs.
Jika suku pada persamaan 3.2.2 dinyatakan ke dalam suku-suku turunan
, maka didapatkan persamaan yang lebih mudah untuk dianalisis. Perhatikan operasi aljabar yang didapatkan dari persamaan 3.2.2 berikut
= − −
∆ −
∆ ∆
= − [− + ∆ ] + ∆
= + ∆ .
3.2.3 Dengan substitusi
= , persamaan termodifikasi 3.2.2 dapat ditulis
sebagai berikut +
= ∆
∆ −
∆ ∆
. 3.2.4
C. Metode Tingkat Satu dan Difusi
Persamaan termodifikasi 3.2.4 merupakan persamaan adveksi-difusi dalam bentuk
+ =
, 3.3.1
dengan konstanta difusi sebagai berikut =
∆ ∆
− ∆
∆ .
3.3.2 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.1.1 menunjukkan bahwa, untuk ∆ dan ∆ tertentu, solusi numeris
metode Lax-Friedrichs persamaan adveksi skalar 3.1.1 mendekati solusi eksak persamaan termodifikasi 3.3.1. Untuk
∆ → dan ∆ → , solusi numeris Lax- Friedrichs akan konvergen ke solusi eksak dari persamaan termodifikasi 3.3.1.
Dengan cara yang sama, persamaan termodifikasi metode Upwind dapat diturunkan dari galat pemotongan lokal 2.8.17 menjadi
+ =
∆ − ∆
∆ .
3.3.3 Persamaan tersebut juga merupakan persamaan adveksi-difusi.
D. Keakuratan
Solusi metode Lax-Friedrichs dari persamaan 3.1.1 dengan nilai awal 3.1.2 hanya berupa nilai pendekatan, dan solusi tersebut tidak lain merupakan solusi
untuk persamaan termodifikasi 3.3.1, sehingga galat pendekatan numeris dapat diduga dengan beda solusi analitik dari persamaan 3.1.1 dan solusi analitik dari
persamaan termodifikasi 3.3.1. Pendugaan tersebut bukan merupakan pendugaan galat yang tepat, dan hanya berlaku untuk nilai awal tertentu seperti pada 3.1.2,
tetapi pendugaan tersebut memberikan indikasi yang akurat terhadap pendugaan secara umum.
Menurut Zoppou dan Roberts 1996, solusi analitis persamaan termodifikasi 3.3.1 dengan nilai awal 3.1.2 adalah
�
, = − erf −
√ .
3.4.1 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sedangkan solusi analitis persamaan 3.1.1 dapat dicari dengan menyelesaikan persamaan karakteristik
= , = ,
= 3.4.2
Untuk
� �
= dan
� �
= , didapat penyelesaian sebagai berikut =
⇔ ∫ = ∫ ⟺
+ =
⟺ = − .
Untuk
� �
= dan
� �
= , didapatkan penyelesaian sebagai berikut =
⟺ ∫ = ∫
⟺ = .
Solusi umum dari persamaan 3.1.1 adalah − ,
= 3.4.3
dengan sebarang fungsi. Secara eksplisit, solusi umum tersebut dapat ditulis sebagai
= −
3.4.4 dengan sebarang fungsi, sehingga didapatkan solusi analitis persamaan 3.1.1
dengan nilai awal 3.1.2 sebagai berikut , =
− = { ,
jika , jika
3.4.5 Jadi, beda solusi analitis persamaan 3.1.1 dan solusi analitis persamaan
termodifikasi 3.3.1 adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
‖ ∙, −
�
∙, ‖ = ∫ | − − erf
− √
|
� −∞
+ ∫ | − − erf −
√ |
∞ �
= ∫ | + erf −
√ |
� −∞
+ ∫ |− + erf −
√ |
∞ �
. 3.4.6
Misal = − , maka didapat
‖ ∙, −
�
∙, ‖ = ∫ | + erf √
|
−∞
+ ∫ | − erf √
| .
∞
3.4.7
Misal = − , maka didapat
‖ ∙, −
�
∙, ‖ = − ∫ | + erf −
√ |
∞
+ ∫ | − erf √
|
∞
= ∫ |erfc √
|
∞
+ ∫ |erfc √
|
∞
= ∫ |erfc √
|
∞
. 3.4.8
Misal � =
√ �
, maka didapat ‖ ∙, −
�
∙, ‖ = √ ∫ |erfc � |
∞
� = Κ√
3.4.9 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan Κ = ∫ |erfc � |
∞
�. Semakin besar nilai , maka semakin besar pula nilai ‖ ∙, −
�
∙, ‖. Artinya, untuk nilai yang semakin besar, galat solusi metode numeris juga semakin besar.
Dalam bab ini telah dibahas mengenai bentuk sederhana model aliran darah, persamaan termodifikasi, metode tingkat satu dan difusi, serta pendugaan
keakuratan suatu metode. Dari pembahasan dalam bab ini tampak jelas bahwa metode yang akurat khususnya pada bagian yang memuat titik diskontinyu sangat
diperlukan untuk menyelesaikan model matematika penjalaran gelombang dan aliran fluida. Sebagai catatan, model matematikanya sendiri haruslah realistis.
40
BAB IV PEMODELAN DAN SOLUSI NUMERIS ALIRAN DARAH
