ANALISIS REGRESI LINIER BERGANDA

Matriks di atas merupakan matriks varians-kovarians dari faktor gangguan � . Elemen-elemen diagonal utama matriks yang dimulai dari sudut kiri atas hingga sudut kanan bawah akan menjadi varians, dan elemen yang tidak berada pada diagonal utama akan menjadi kovarians. Apabila elemen-elemen pada diagonal utama tidak sama dengan � 2 maka akan terjadi heteroskedastisitas, dan apabila elemen lain yang tidak berada pada diagonal utama tidak sama dengan nol, maka terjadi otokorelasi. 3. X adalah suatu himpunan bilangan yang tetap dalam pengamatan yang berulang. 4. Tidak ada multikolinieritas Sebelum membahas penaksir , akan dibahas terlebih dahulu mengenai regresi sampel untuk regresi berganda. Persamaan regresi sampel dalam regresi linier berganda yaitu: = + 1 1 + 2 2 + + + 3.58 Persamaan regresi sampel dalam bentuk matriks yaitu: = � + � 3.59 Atau � = − � 3.60 Penaksir-penaksir dalam regresi linier berganda juga dicari dengan menggunakan OLS. Prinsip dari OLS untuk regresi linier berganda juga sama dengan regresi linier sederhana yaitu meminimumkan 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + + 2 =1 3.61 Persamaan 3.61 dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut: 2 = 1 2 … 1 2 =1 = � � � 3.62 Jadi � = � � � = − � − � � = � � � = − � � � − � � + � � � � 3.63 Sesuai dengan sifat-sifat transpose matriks, � = � � � . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa � � � = � � . Bukti: � � � = � � � � jika matriks � � � merupakan matriks simetri dan merupakan matriks skalar berordo 1 x 1, maka: Diketahui : � adalah vektor berordo + 1 × 1, maka � � vektor berordo 1 × + 1, merupakan matriks yang berordo × + 1 , maka � adalah matriks yang berordo + 1 × , Y adalah vektor berordo × 1 . Sesuai dengan definisi mengenai perkalian matriks yaitu jika A adalah sebuah matriks × dan B adalah sebuah matriks × maka AB adalah matriks × , dan sesuai dengan sifat asosiatif perkalian matriks sehingga � � � = � � � maka � adalah matriks yang berordo + 1 × 1, maka � � � adalah matriks yang berordo 1 × 1 . Maka � � � merupakan matriks skalar. Karena matriks � � � merupakan matriks skalar maka terbukti � � � = � � � � , sehingga sesuai dengan sifat transpose matriks; � � � = � � � � � � � = � � 3.64 Persamaan 3.63 menjadi : � � � = − � � � + � � � � 3.65 Persamaan 3.65 diturunkan secara parsial, agar � � � = − � � � + � � � � minimum, kemudian persamaan tersebut disamakan dengan nol, sebagai berikut: � � � = − � � � + � � � � 0 = −2 � + � � Bukti : = 1 2 1 2 = 1 1 + 2 2 + + = 1 2 + 2 2 + + 2 Sehingga � � = � 1 2 + 2 2 + + 2 � = 0 � � = 1 2 1 11 12 1 1 1 21 31 22 32 2 3 … … 1 1 2 1 2 3 = 1 2 1 + 2 + 3 + + 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 … … … … … … … … … … … … … 1 1 + 2 2 + 3 3 + + = 1 + 2 + 3 + + + 1 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 + 2 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 + + 1 1 + 2 2 + 3 3 + + Sehingga � � � � � = � 1 + 2 + 3 + + + 1 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 + 2 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 + + 1 1 + 2 2 + 3 3 + + � = 1 + 2 + 3 + + � � � � � 1 = � 1 + 2 + 3 + + + 1 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 + 2 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 + + 1 1 + 2 2 + 3 3 + + � 1 = 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 � � � � � 2 = � 1 + 2 + 3 + + + 1 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 + 2 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 + + 1 1 + 2 2 + 3 3 + + � 2 = 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 � � � � � = � 1 + 2 + 3 + + + 1 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 + 2 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 + + 1 1 + 2 2 + 3 3 + + � = 1 1 + 2 2 + 3 3 + + Jadi � � � � � = � � � � � � � � � � 1 � � � � � 2 � � � � � = 1 + 2 + 3 + + 11 1 + 21 2 + 31 3 + + 1 12 1 + 22 2 + 32 3 + + 2 1 1 + 2 2 + 3 3 + + = 1 11 12 1 1 1 21 31 22 32 2 3 … … 1 1 2 1 2 3 = � Perhatikan bahwa � � � = 1 2 1 11 12 1 1 1 21 31 22 32 2 3 … … 1 1 2 1 1 1 1 11 12 21 22 31 32 1 2 … … 1 2 3 1 2 = + 1 11 + 2 12 … + 1 + 1 21 + 2 22 … + 2 + 1 31 + 2 32 … + 3 …. + 1 1 + 2 2 … + × + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 31 + 2 32 + … + 3 … … … … … … … … … … … … … … … … + 1 1 + 2 2 + … + = + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 + 2 12 + + 1 + + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + + 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 + 2 32 + … + 3 + … + + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + … + 3.66 Hasil perkalian ruas kanan persamaan 3.66 bagian pertama: + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 + 2 12 + + 1 = + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 + 11 11 + 2 12 + + 1 + 2 12 + 1 11 + 2 12 + + 1 + + 1 + 11 11 + 2 12 + + 1 = 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 0 + 1 2 11 2 + 1 11 2 12 + + 11 11 1 + 2 12 0 + 2 12 1 11 + 2 2 12 2 + + 2 12 1 + + 1 + 1 1 11 + 1 2 12 + + 2 1 2 1 Hasil perkalian ruas kanan persamaan 3.66 bagian kedua: + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 = + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 2 22 + 1 21 + 2 22 + + 2 + + 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 = 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 0 + 1 2 21 2 + 1 21 2 22 + + 1 21 2 + 2 22 0 + 2 22 1 21 + 2 2 22 2 + + 2 22 2 + + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 2 2 Hasil perkalian ruas kanan persamaan 3.66 bagian ketiga: + 1 31 + 2 32 + … + 3 + 1 31 + 2 32 + … + 3 = + 1 31 + 2 32 + … + 3 + 1 31 + 1 31 + 2 32 + … + 3 + 2 32 + 1 31 + 2 32 + … + 3 + + 3 + 1 31 + 2 32 + … + 3 = 2 + 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 0 + 1 2 31 2 + 1 31 2 22 + + 1 31 3 + 2 32 0 + 2 32 1 31 + 2 2 32 2 + + 2 32 3 + + 3 + 3 1 31 + 3 2 32 + + 2 3 2 3 Hasil perkalian ruas kanan persamaan 3.67 bagian terakhir: + 1 1 + 2 2 + … + + 1 1 + 2 2 + … + = + 1 1 + 2 2 + … + + 1 1 + 1 1 + 2 2 + … + + 2 2 + 1 1 + 2 2 + … + + + + 1 1 + 2 2 + … + = 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 0 + 1 2 1 2 + 1 1 2 2 + + 1 1 + 2 2 0 + 2 2 1 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 4 Kemudian persamaan 1, 2, 3, dan 4 diturunkan Terhadap , � � � � = �� � � � � �� � � � � 1 �� � � � � 2 �� � � � � hasilnya adalah: persamaan 1,2,3,4 diturunkan terhadap = � 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 0 + 1 2 11 2 + 1 11 2 12 + + 1 11 1 + 2 12 0 + 2 12 1 11 + 2 2 12 2 + + 2 12 1 + + 1 + 1 1 11 + 1 2 12 + + 2 1 2 � = 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 + 2 12 + + 1 = 2 + 2 11 1 + 2 12 2 + + 2 1 1a � 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 0 + 1 2 21 2 + 1 21 2 22 + + 1 21 2 + 2 22 0 + 2 22 1 21 + 2 2 22 2 + + 2 22 2 + + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 2 � = 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 = 2 + 2 21 1 + 2 22 2 + + 2 2 2a � 2 + 0 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 0 + 1 2 31 2 + 1 31 2 22 + + 1 31 3 + 2 32 0 + 2 32 1 31 + 2 2 32 2 + + 2 32 3 + + 3 + 3 1 31 + 3 2 32 + + 2 3 2 � = 2 + 31 1 + 32 2 + + 3 + 31 1 + 32 2 + + 3 = 2 + 2 31 1 + 2 32 2 + + 2 3 3a � 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 0 + 1 2 1 2 + 1 1 2 2 + + 1 1 + 2 2 0 + 2 2 1 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 � = 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + = 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 2 4a Jadi hasil keseluruhan � � � � yang diTurunkan Terhadap adalah: �� � � � � = 2 + 2 1 11 + 2 2 12 + + 2 1 + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 + 2 + 2 1 31 + 2 2 32 + + 2 3 + + 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 2 Persamaan 1, 2, 3, dan 4 diTurunkan Terhadap 1 , hasilnya adalah: � 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 0 + 1 2 11 2 + 1 11 2 12 + + 1 11 1 + 2 12 0 + 2 12 1 11 + 2 2 12 2 + + 2 12 1 + + 1 + 1 1 11 + 1 2 12 + + 2 1 2 � 1 = 11 0 + 11 0 + 2 11 2 1 + 11 12 2 + + 1 11 + 11 12 2 + + 1 11 = 2 11 0 + 2 11 2 1 + 2 11 12 2 + + 2 1 11 1b � 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 0 + 1 2 21 2 + 1 21 2 22 + + 1 21 2 + 2 22 0 + 2 22 1 21 + 2 2 22 2 + + 2 22 2 + + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 2 � 1 = 21 0 + 21 0 + 2 21 2 1 + 21 22 2 + + 2 21 + 21 22 2 + + 2 21 = 2 21 0 + 2 21 2 1 + 2 21 22 2 + + 2 2 21 2b � 2 + 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 0 + 1 2 31 2 + 1 31 2 22 + + 1 31 3 + 2 32 0 + 2 32 1 31 + 2 2 32 2 + + 2 32 3 + + 3 + 3 1 31 + 3 2 32 + + 2 3 2 � 1 = 31 0 + 31 0 + 2 31 2 1 + 31 32 2 + + 3 31 + 31 32 2 + + 3 31 = 2 31 0 + 2 31 2 1 + 2 31 32 2 + + 2 3 31 3b � 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 0 + 1 2 1 2 + 1 1 2 2 + + 1 1 + 2 2 0 + 2 2 1 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 � 1 = 1 0 + 1 0 + 2 1 2 1 + 1 2 2 + + 1 + 1 2 2 + + 1 = 2 1 0 + 2 1 2 1 + 2 1 2 2 + + 2 1 4b Jadi hasil keseluruhan � � � � yang diTurunkan Terhadap 1 adalah: �� � � � � 1 = 2 11 0 + 2 11 2 1 + 2 11 12 2 + + 2 1 11 + 2 21 0 + 2 21 2 1 + 2 21 22 2 + + 2 2 21 + 2 31 0 + 2 31 2 1 + 2 31 32 2 + + 2 3 31 + + 2 1 0 + 2 1 2 1 + 2 1 2 2 + + 2 1 Persamaan 1,2 ,3 , dan 4 diTurunkan Terhadap 2 , hasilnya adalah: � 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 0 + 1 2 11 2 + 1 11 2 12 + + 1 11 1 + 2 12 0 + 2 12 1 11 + 2 2 12 2 + + 2 12 1 + + 1 + 1 1 11 + 1 2 12 + + 2 1 2 � 2 = 12 0 + 11 12 1 + 12 0 + 11 12 1 + 2 12 2 2 + + 12 1 + + 12 1 = 2 12 0 + 2 11 12 1 + 2 12 2 2 + + 2 12 1 1c � 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 0 + 1 2 21 2 + 1 21 2 22 + + 1 21 2 + 2 22 0 + 2 22 1 21 + 2 2 22 2 + + 2 22 2 + + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 2 � 2 = 22 0 + 21 22 1 + 22 0 + 21 22 1 + 2 22 2 2 + + 22 2 + + 22 2 = 2 22 0 + 2 21 22 1 + 2 22 2 2 + + 2 22 2 2c � 2 + 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 0 + 1 2 31 2 + 1 31 2 22 + + 1 31 3 + 2 32 0 + 2 32 31 + 2 2 32 2 + + 2 32 3 + + 3 + 3 1 31 + 3 2 32 + + 2 3 2 � 2 = 32 0 + 31 32 1 + 32 0 + 31 32 1 + 2 32 2 2 + + 32 3 + + 32 3 = 2 32 0 + 2 31 32 1 + 2 32 2 2 + + 2 32 3 3c � 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 0 + 1 2 1 2 + 1 1 2 2 + + 1 1 + 2 2 0 + 2 2 1 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 � 2 = 2 0 + 1 2 1 + 2 0 + 1 2 1 + 2 2 2 2 + + 2 + + 2 = 2 2 0 + 2 1 2 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 4c Jadi hasil keseluruhan � � � � yang diTurunkan Terhadap 2 adalah: �� � � � � 2 = 2 12 0 + 2 11 12 1 + 2 12 2 2 + + 2 12 1 + 2 22 0 + 2 21 22 1 + 2 22 2 2 + + 2 22 2 + 2 32 0 + 2 31 32 1 + 2 32 2 2 + + 2 32 3 + + 2 2 0 + 2 1 2 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 Persamaan 1, 2, 3, dan 4 diTurunkan Terhadap , hasilnya adalah: � � 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 11 0 + 1 2 11 2 + 1 11 2 12 + + 1 11 1 + 2 12 0 + 2 12 1 11 + 2 2 12 2 + + 2 12 1 + + 1 + 1 1 11 + 1 2 12 + + 2 1 2 � = 1 + 11 1 1 + 12 1 2 + + 1 + 11 1 1 + 12 1 2 + + 2 1 2 = 2 1 + 2 11 1 1 + 2 12 1 2 + + 2 1 2 1d � 2 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 21 0 + 1 2 21 2 + 1 21 2 22 + + 1 21 2 + 2 22 0 + 2 22 1 21 + 2 2 22 2 + + 2 22 2 + + 2 + 2 1 21 + 2 2 22 + + 2 2 2 � = 2 + 21 2 1 + 22 2 2 + + 2 + 21 2 1 + 22 2 2 + + 2 2 2 = 2 2 + 2 21 2 1 + +2 22 2 2 + + 2 2 2 2d � 2 + 1 31 + 2 32 + + 3 + 1 31 0 + 1 2 31 2 + 1 31 2 22 + + 1 31 3 + 2 32 0 + 2 32 1 31 + 2 2 32 2 + + 2 32 3 + + 3 + 3 1 31 + 3 2 32 + + 2 3 2 � = 3 + 31 3 1 + 32 3 2 + + 3 + 31 3 1 + 32 3 2 + + 2 3 2 = 2 3 + 2 31 3 1 + 2 32 3 2 + + 2 3 2 3d � 2 + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 0 + 1 2 1 2 + 1 1 2 2 + + 1 1 + 2 2 0 + 2 2 1 1 + 2 2 2 2 + + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 � = + 1 1 + 2 2 + + + 1 1 + 2 2 + + 2 2 = 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 2 2 2 4d Jadi hasil keseluruhan � � � � yang diTurunkan Terhadap adalah: �� � � � � = 2 1 + 2 11 1 1 + 2 12 1 2 + + 2 1 2 + 2 2 + 2 21 2 1 + +2 22 2 2 + + 2 2 2 + 2 3 + 2 31 3 1 + 2 32 3 2 + + 2 3 2 + + 2 + 2 1 1 + 2 2 2 + + 2 2 2 Jadi �� � � � � = 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + + 1 21 + 2 22 + + 2 + + 1 31 + 2 32 + + 3 + + + 1 1 + 2 2 + + 11 + 11 1 + 12 2 + + 1 + 21 + 21 1 + 22 2 + + 2 + 31 + 31 1 + 32 2 + + 3 + + 1 + 1 1 + 2 2 + + 12 + 11 1 + 12 2 + + 1 + 22 + 21 1 + 22 2 + + 2 + 32 + 31 1 + 32 2 + + 3 + + 2 2 0 + 1 1 + 2 2 + + 1 + 11 1 + 12 2 + + 1 + 2 + 21 1 + + 22 2 + + 2 + 3 + 31 1 + 32 2 + + 3 + + + 1 1 + 2 2 + + = 2 1 11 12 1 1 1 21 31 22 32 2 3 … … 1 1 2 + 1 11 + 2 12 + + 1 + 1 21 + 2 22 + + 2 + 1 31 + 2 32 + … + 3 … … … … … … … … … … … … … … … … + 1 1 + 2 2 + … + = 1 11 12 1 1 1 21 31 22 32 2 3 … … 1 1 2 1 1 1 1 11 12 21 22 31 32 1 2 … … 1 2 3 1 2 = � � 3.67 karena � � � = − � � � + � � � � maka � � � � �� = � − � � � + � � � � �� � � � � �� = −2 + 2 � 0 = − � + � � � = � � � = � � � � = � � = � � � = � − � � − ≠ 3.68 seperti pada analisis regresi sederhana yang memiliki sifat-sifat penaksir, dalam analisis regresi berganda juga akan dibahas mengenai sifat-sifat penaksir regresi berganda. 1. Linier Akan dibuktikan sifat linier dari penaksir � � = � − � 3.69 Substitusi persamaan 3.56 yaitu = � + � ke dalam persamaan 3.69, sehingga; � = � − � � + � = � − � � + � − � � Karena berdasarkan sifat matriks � − � = � , maka � = � + � − � � 3.70 Persamaan 3.70 menunjukan bahwa � merupakan fungsi linier dari � dan � 2. Tidak bias Akan dibuktikan sifat tidak bias dari penaksir � � = � + � − � � = � + � − � � Karena � = 0 menurut asumsi 1 maka; � = � 3.71 Persamaan 3.40 menunjukan bahwa penaksir � merupakan penaksir yang tidak bias. 3. Varian minimum Sebelum varian minimum dibuktikan, terlebih dahulu ditentukan varian dari penaksir . Diketahui bahwa � � = [� − � 2 ] = [ � − � � − � ] � = [ � − � � − � ] Akan ditentukan terlebih dahulu bentuk lain dari , dan kerena pada persamaan 3.70 di mana � = � + � − � �, maka ; � − � = � + � − � � − � � − � = � − � � 3.72 Selanjutnya akan ditentukan � � , � � = [ − − ] Substitusikan persamaan 3.41 di mana � − � = � − � � ke dalam persamaan di atas, sehingga; � � = [ � − � � � − � � ] Berdasarkan sifat-sifat matriks di mana = � � dan � , maka persamaan di atas menjadi; � � = [ � − � � � − � � ] = [ � − � � � � � − ] = [ � − � � � � � − ] = [ � − � � � � � � −1 ] = [ � − � �� � � −1 ] = � − � �� � � −1 Berdasarkan asumsi 4 di mana �� � = � 2 , maka: � � = � − � � 2 � � −1 Karena � 2 merupakan sebuah skalar sebuah angka riil sedangkan dapat diabaikan, maka; � � = � 2 � − � � � −1 Karena � � � −1 = maka; � � = � 2 � − � � � = � 2 � − 3.73 Selanjutnya akan dibuktikan bahwa penaksir yang diperoleh memiliki varians yang minimum. Langkah-langkah dalam membuktikan bahwa penaksir memiliki varians yang minimum sama dengan langkah-langkah membuktikan varians minimum pada regresi sederhana. Untuk membuktikan varian penaksir tersebut memiliki varian yang minimum maka perlu dibandingkan dengan penaksir tidak bias lainnya. Misalkan ∗ adalah penaksir lain yang juga tidak bias, di mana ∗ = � − � + di mana merupakan matriks berordo k x n yang diketahui. Akan dibuktikan pertama-tama sifat linier dari ∗ . Selanjutnya dengan mensubstitusi persamaan 3.29 di mana = � + � ke dalam persamaan ∗ = � − � + maka; ∗ = � − � + � + � ∗ = � − � � + � + � + � Terbukti bahwa ∗ merupakan fungsi linier dari � dan �. Selanjutnya dicari nilai harapan dari ∗ ∗ = [ � − � � + � + � + � ] = [ � − � � + � − � � + � + �] = �� + � − � � + � + � berdasarkan asumsi 1 di mana � = 0 maka persamaan di atas menjadi; ∗ = � + � 3.74 Karena ∗ merupakan penaksir yang tidak bias, maka haruslah ∗ = � akibatnya � = 0. Selanjutnya akan ditentukan varian dari ∗ ∗ = [ ∗ − ∗ − ] Dengan mensubtitusi ∗ = � − � + , maka; ∗ = [ ∗ − ∗ − ] = [ � − � + − � − � + − ] Substitusi persamaan 3.29 di mana = � + � ke dalam persamaan di atas maka; ∗ = [ � − � + − � − � + − ] = [ � − � + � + � − � − � + � + � − ] = [{ � − � � + � − � � + � + � − }{ � − � � + � − � � + � + � – } ] = { �� + � − � � + � + � − }{�� + � − � � + � + � – } ] = { � + � − � � + � + � − }{� + � − � � + � + � – } ] = [ � − � � + � + � � − � � + � + � ] Karena diketahui � = 0 maka ; ∗ = [ � − � � + � � − � � + � ] = [ � − � � + � � − � � + � ] Berdasarkan sifat-sifat transposisi matriks yaitu + � = � + � maka persamaan di atas menjadi; ∗ = [ � − � � + � � − � � + � ] = [ � − � � + � � � � − + � � ] Karena perkalian matriks bersifat distributif, maka; ∗ = [ � − � � + � � � � − + � � ] = [ � − � + �� � � − + ] = � − � + ��� � � − + Berdasarkan asumsi 4 di mana �� � = � 2 , maka: ∗ = � − � + ��� � � − + = � − � + � 2 � − + Karena � 2 merupakan merupakan sebuah skalar sebuah angka riil sedangkan dapat diabaikan, maka; ∗ = � − � + � 2 � − + = � 2 � − � + � − + = � 2 � − � � − + � − + � − � + � = � 2 � − � + � − + � − � + � Karena diketahui � = 0 maka = dan menurut sifat matriks di mana � = � � , maka persamaan di atas menjadi; ∗ = � 2 � − + � − + � − � + � = � 2 � − + � ∗ = � 2 � − + � 2 � ∗ = + � 2 � 3.75 Dari persamaan 3.44 � 2 � selalu bernilai positif, karena kuadrat dari suatu bilangan bernilai positif, dan bentuk lain dari � adalah 2 maka dapat disimpulkan bahwa ∗ lebih besar senilai � 2 � dari , sehingga terbukti bahwa memiliki varians yang minimum. Seperti pada analisis regresi sederhana dibahas mengenai koefisien determinasi, untuk mengukur kebaikan garis regresi, di dalam regresi berganda juga akan dibahas mengenai koefisien determinasi. Koefisien determinasi untuk regresi berganda di lambangkan dengan 2 . Secara matematis koefisien determinasi 2 didefinisikan sebagai berikut: 2 = selanjutnya akan ditentukan bentuk lain dari ESS dan TSS. Langkah- langkahnya adalah sebagai berikut: Telah didefinisikan sebelumnya bahwa = − , kemudian kedua ruas dikuadratkan, sehingga; = − 2 = − 2 = 2 − 2 + 2 Kedua ruas dijumlahkan, sehingga: 2 = 2 − 2 + 2 2 = 2 − 2 + 2 = 2 − 2 + = 2 − 2 2 + 2 2 = 2 − 2 2 + 2 2 = 2 − 1 2 3.76 2 dalam bentuk matriks adalah � , sehingga persamaan 3.70 menjadi: 2 = 2 − 1 2 2 = � − 1 2 3.77 Persamaan 3.71 di atas merupakan variasi kuadrat total atau TSS dan RSS adalah residual atau variasi nilai Y yang tidak dapat dijelaskan, di mana RSS = 2 . Jumlah kuadrat yang bisa dijelaskan atau ESS adalah : TSS = ESS + RSS 3.78 ESS = TSS - RSS = 2 – 2 Substitusi persamaan 3.71 di mana 2 = � − 1 2 ke dalam persamaan di atas, menjadi: ESS = 2 – 2 = � − 1 2 – 2 Substitusi persamaan 3.63 di mana � = � � � ke dalam persamaan di atas, sehingga: = � − 1 2 – 2 = � − 1 2 – � � � = � – � � � − 1 2 3.79 Dari persamaan 3.63 di mana � � � = − � � � + � � � � dan karena � � = � � maka: � � � = − � � � + � � � � = − � � � + � � � � � � = − � � � � � � = − � � � 3.80 Substitusi persamaan 3.48 ke dalam persamaan 3.47 sehingga: = � – � � � − 1 2 = � � � − 1 2 Karena telah didefinisikan bahwa 2 = maka: 2 = 2 = � � � − 1 2 � − 1 2 2 = � � � − 2 � − 2 3.81

C. PENGUJIAN HIPOTESIS

Pada pembahasan sebelumnya, telah dibahas mengenai peramalan hubungan antara variabel terikat dengan satu atau lebih variabel penjelas, meramalkan nilai harapan dari variabel terikat dipandang dari satu atau lebih variabel penjelas, dan menduga nilai dari parameter-parameter regresi. Dalam sub bab ini akan dibahas mengenai pengambilan kesimpulan, yaitu dengan pengujian hipotesis. Sebelum membahas pengujian hipotesis lebih lanjut, akan dibahas terlebih dahulu mengenai asumsi kenormalan, di mana residual berdistribusi normal, dengan rata-rata 0 , dan varians � 2 , secara matematis ditulis: �~� , � 2 � Symbol ~ berarti terdistribusi sebagai dan N merupakan singkatan dari distribusi normal. merupakan variabel acak sehingga memiliki sebuah distribusi, dan distribusi dari sangat tergantung dengan distribusi . Salah satu sifat distribusi normal bahwa sebuah kombinasi linier dari variabel terdistribusi normal merupakan distribusi normal itu sendiri. Dari persamaan 3.63 di mana = � + � − � � , terbukti bahwa � merupakan fungsi linier dari �, berdasarkan sifat dari distribusi normal tersebut maka b juga berdistribusi normal, sehingga secara matematis ditulis: �~��, � 2 � − Pengujian hipotesis yaitu langkah-langkah atau prosedur yang dilakukan dengan tujuan untuk memutuskan apakah menerima atau menolak hipotesis mengenai parameter populasi. Pada pembahasan mengenai pengujian hipotesis ini akan sering dijumpai istilah menerima atau menolak hipotesis. Menolak hipotesis berarti menyimpulkan bahwa hipotesis itu salah, sedangkan menerima hipotesis bukan berarti hipotesis tersebut benar, artinya tidak cukup informasi dari sampel untuk menyimpulkan bahwa hipotesis harus ditolak. Hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipotesis nol, dilambangkan . Menolak mengakibatkan penerimaan hipotesis lain yakni hipotesis alternatif yang dilambangkan 1 . Dalam pengujian hipotesis ada dua jenis kesalahan , yaitu kesalahan jenis I dan keslalahan jenis II. Kesalahan jenis I adalah kesalahan akibat menolak , padahal benar, sehingga sesungguhnya harus diterima. Kesalahan jenis II adalah kesalahan akibat menerima padahal salah sehingga sesungguhnya harus ditolak. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I disebut tingkat signifikansi yang ditulis dengan , sedangkan probabilitas melakukan kesalahan tipe II dilambangkan dengan . Nilai diharapkan sekecil mungkin sehingga sebisa mungkin tidak melakukan kesalahan tipe I, demikian juga sekecil mungkin, sehingga tidak melakukan kesalahan tipe II. Selain tingkat signifikansi juga digunakan suatu nilai nilai probabilitas yaitu tingkat signifikansi yang tepat atau probabilitas yang tepat dalam melakukan kesalahan tipe I, dalam menentukan peluang melakukan kesalahan tipe I. apabila nilai sangat kecil maka peluang melakukan kesalah tipe I juga sangat kecil. Terdapat dua jenis pengujian dalam uji hipotesis, yaitu uji satu arah dan uji dua arah. Uji satu arah mempunyai bentuk sebagai berikut: : 1 atau : 1 1 : 1 1 : 1 Sedangkan uji dua arah mempunyai bentuk sebagai berikut: : = 1 atau 1 : ≠ 1 Untuk menguji hipotesis nol koefisien regresi individual menggunakan uji t . = − 3.82 Di mana merupakan banyaknya variabel dalam persamaan regresi, dengan derajat bebas − , di mana merupakan banyaknya data. Aturan pengambilan keputusan: Diketahui model regresi linier dengan variabel bebas : = + 1 1 + 2 2 + + + Untuk menguji hipotesis : 1 = 2 = = semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol 1 : Tidak semua koefisien kemiringan secara simultan adalah nol Statistik hitung : = + 1 − 1 − + 1 Jika + 1 − 1, − + 1 , ditolak. + 1 − 1, − + 1 adalah nilai kritis pada tingkat signifikansi , dengan derajat bebas pembilang + 1 − 1 dan derajat bebas penyebut − + 1 . Koefisien determinasi 2 memiliki hubungan yang penting dengan , hal tersebut ditunjukan sebagai berikut: = +1 −1 − +1 = +1 −1 − − +1 = +1 −1 1 − − +1 Sesuai definisi sebelumnya di mana 2 = maka; = 2 +1 −1 1 − 2 − +1 3.83 Dari hubungan antara 2 dan , dapat dilihat bahwa jika nilai 2 = 0 maka bernilai 0 , sedangkan jika 2 bernilai 1 maka akan bernilai tak hingga.