3. =
�
4. Dengan menukar dua baris atau dua kolom manapun dari matriks A akan
mengubah tanda dari .
5. Jika setiap elemen dari sebuah baris atau sebuah kolom dari matriks A dikalikan
dengan sebuah skalar , maka dikalikan dengan .
6. Jika dua baris atau dua kolom sebuah matriks identik, determinannya adalah nol. 7. Jika satu baris atau satu kolom dari sebuah matriks merupakan perkalian baris
atau kolom lainnya, determinannya adalah nol. Jika baris atau kolom manapun sebuah matriks merupakan kombinasi linear dari baris kolom lainnya,
determinannya adalah nol. 8.
= , artinya bahwa determinan dari produk dua matriks adalah produk dari determinannya masing-masing.
Teorema 2.4
Anggap adalah suatu matriks ×
Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu penggandaan suatu baris A
ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka
det
= det .
Bukti: =
11
+
12 12
13 21
+
22 22
23 31
+
32 32
33
=
11 12
13 21
22 23
31 32
33
=
11
+
12 22
33
+
12 23 31
+
32
+
13 21
+
22 32
−
12 21
+
22 33
+
11
+
12 23
32
+
13 22
31
+
32
=
11 22 33
+
12 22 33
+
12 23 31
+
12 23 32
+
13 21 32
+
13 22 32
−
12 21 33
+
12 22 33
+
11 23 32
+
12 23 32
+
13 22 31
+
13 22 32
= {
11 22 33
+
12 23 31
+
13 21 32
−[
12 21 33
+
11 23 32
+
13 22 31
]} + {
12 22 33
+
12 23 32
+
13 22 32
− [
12 22 33
+
12 23 32
+
13 22 32
]}
= + 0
=
Jika baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dihapus, determinan dari
submatriks disebut minor dari elemen dan dilambangkan dengan
�
Kofaktor elemen dari sebuah matriks A berorde
� × � dilambangkan dengan dinyatakan sebagai
= −1
+
�
Matriks kofaktor adalah sebuah matriks yang diperoleh dengan menggantikan elemen
dari sebuah matriks A dengan kofaktornya, dilambangkan dengan cof A.
Sedangkan matrika adjoin adalah pengubahan susunan dari matriks kofaktor, yaitu adj = cof
t
.
Sebuah invers dari matriks persegi A , dilambangkan dengan
−1
jika ada merupakan sebuah matriks persegi yang unik, dan memenuhi :
−1
=
−1
= �
Di mana
� adalah matriks identitas. Sifat-sifat invers matriks :
a.
−1
=
−1 −1
b.
−1
=
−1
Jika matriks A adalah matriks persegi dan non singular, di mana
≠ 0 , invers
−1
dapat ditemukan sebagai:
−1
= 1
Berikut ini adalah langkah-langkah dalam mencari invers matriks: 1. Mencari nilai determinan, jika nilainya tidak nol maka lanjut ke langkah nomor
dua. 2. Mengganti setiap elemen
matriks A dengan kofaktornya untuk mendapatkan
matriks kofaktor. 3. Mengubah susunan dari matriks kofaktor untuk mendapatkan matriks adjoin.
4. Membagi setiap elemen dari matriks adjoin dengan .
Kategori