KONSEP-KONSEP STATISTIK LANDASAN TEORI
B. PROBABILITAS
Seperti yang telah dipaparkan sebelumnya, bahwa di dalam penaksiran parameter-parameter regresi di dasari beberapa asumsi, salah satunya adalah variabel
gangguan berdistribusi normal. Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengertian dari distribusi normal. Namun sebelum membahas mengenai distribusi normal, akan
dibahas terlebih dahulu mengenai fungsi probabilitas, distribusi probabilitas, baru setelah itu dibahas mengenai distribusi normal.
Fungsi probabilitas yang akan dipelajari pada subbab ini juga terbagi dua, yaitu fungsi probabilitas variabel random diskrit dan fungsi probabilitas variabel
random kontinu. Jika X adalah variabel random diskrit dengan nilai-nilai :
1
,
2
,
3
, … ,
yang sesuai dengan probabilitas :
1
,
2
,
3
, … , maka himpunan
pasangan:
1
...............
1 2
..............
2 3
..............
3
.............. disebut fungsi probabilitas diskrit X.
Misalkan dalam pelemparan dua buah mata uang logam sebanyak dua kali. Banyaknya gambar atau angka yang muncul dalam setiap kali pelemparan dapat
dianggap sebagai variabel random X. Kemungkinan hasil pelemparan dua buah mata uang tersebut dinyatakan dalam tabel berikut:
Tabel 2.1: Tabel Percobaan Pelemparan Dua Buah Mata Uang Logam
Hasil Lemparan Banyaknya Gambar
Probabilitas dari X : fx Angka, Angka
¼ Gambar, Gambar
2 ¼
Angka, Gambar 1
¼ Gambar, Angka
1 ¼
Fungsi probabilitas merupakan grafik yang menggambarkan hubungan antara X dan fx, untuk X suatu variabel diskrit.
Jika sebuah variabel random adalah variabel kontinu dalam intervalnya terdapat sejumlah nilai-nilai yang banyak sekali tidak terbatas. Distribusi
probabilitas untuk variabel kontinu berupa sebuah fungsi kontinu dari variabel random, dan disebut fungsi probabilitas density.
Selanjutnya, jika X adalah sebuah variabel random kontinu, maka probabilitas nilai X dalam interval dari a sampai b adalah:
� =
Di mana fx adalah fungsi probabilitas density. Integral dari
1
ke dalam kasus
variabel kontinu analog dengan penjumlahan probabilitas dalam kasus variabel diskrit. Oleh karena probabilitas X akan memiliki semua nilai sama dengan 1 maka:
� −∞ ∞ =
∞ −∞
= 1 Kemudian probabilitas X mempunyai nilai kurang dari atau sama dengan
tertentu adalah:
� −∞ =
=
−∞
Di mana F mencerminkan probabilitas kumulatif dari X. Seperti halnya fungsi probabilitas yang terbagi menjadi fungsi probabilitas
diskrit dan fungsi probabilitas kontinu, distribusi probabilitas yang akan dipelajari pada subbab ini terbagi dua yaitu, distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang
kontinu.
Definisi 2.8
Distribusi peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnyaGunawan
Sumodiningrat,2012.
Contoh 2.1
Tentukan distribusi peluang bagi jumlah bilangan bila sepasang dadu dilemparkan.
Penyelesaian:
Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan jumlah bilangan dari kedua dadu tersebut. Maka X dapat mengambil sembarang nilai bulat dari 2 sampai 12. Dua dadu
dapat mendarat dalam 36 cara, masing-masing dengan peluang
1 36
. � = 3 =
2 36
, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara. Dengan memperhatikan
kemungkinan nilai-nilai lainnya. Distribusi peluang yang diperoleh adalah sebagai berikut:
Tabel 2.2: Tabel Distribusi Peluang Percobaan Pelemparan Sepasang Dadu
x 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
PX = x 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36 1
36
Pada distribusi peluang kontinu, tidak mungkin menyajikan semua kemungkinan data dengan menggunakan tabel. Misalnya ingin diketahui peluang
mengambil secara acak orang yang tingginya tepat 164 cm, di antara orang yang berusia di atas 21 tahun. Peluang mengambil secara acak orang yang tingginya tepat
164 cm bernilai nol. Hal ini dikarenakan ambilah contoh di antara angka 163.5 dan 164.5 terdapat tak hingga banyaknya ukuran tinggi, dan hanya satu yang tepat 164
cm. Sehingga peluang mengambil secara acak orang yang tingginya 164 cm di antara tak hingga ukuran tinggi dinilai nol.
Distribusi probabilitas memiliki beberapa sifat yang penting diantaranya adalah rerata hitung dan varian. Rerata hitung biasanya disebut sebagai nilai harapan.
Dalam pembahasan mengenai regresi linier akan dicari nilai harapan dari variabel Y berdasarkan nilai dari variabel X tertentu, untuk itu terlebih dahulu dipelajari
mengenai nilai harapan itu sendiri.
Definisi 2.10
misalkan bahwa suatu variabel random X mempunyai distribusi diskrit dengan fungsi peluang f.p dari x adalah f. Nilai harapan dari X, ditulis dengan lambang EX,
adalah suatu jumlah yang didefinisikan sebagai berikut: EX =
2.10.1 ∞
2.10.2 Abdus Salam, 1989
Definisi 2.11
jika sebuah Variabel Random X mempunyai suatu distribusi kontinu dengan fungsi kepadatan peluang f.d.p dari X adalah f maka ekspektasi EX didefinisikan
sebagai berikut : EX =
∞ −∞
2.3 Abdus Salam, 1989
Teorema 2 .1
Jika Y = aX + b , yang mana aX + b adalah konstanta maka EY = aEX + bAbdus Salam, 1989.
Bukti : EY = E aX + b
= +
∞ −∞
=
∞ −∞
+
∞ −∞
EY =
+
Definisi 2.12
Misalkan bahwa X adalah sebuah variabel random dengan mean =
. Varians dari X, ditulis dengan lambang VarX, didefinisikan sebagai berikut:
VarX = [
− ]
2
Abdus Salam,1989 Sifat-sifat varians:
1. −
2
=
2
−
2
Pembuktiannya adalah sebagai berikut: Diketahui
= −
2
=
2
− 2 +
2
=
2
− 2 +
2
=
2
− 2 +
2
=
2
− 2
2
+
2
=
2
+
2
2. Jika
1
dan
2
adalah variabel random bebas, maka �
1
+
2
= �
1
+ �
2
Bukti :
1
=
1
dan
2
=
2
maka
1
+
2
=
1
+
2
, sehingga �
1
+
2
= [
1
+
2
−
1
−
2
]
2
= [
1
−
1
+
2
−
2 2
] =
[
1
−
1 2
+
2
−
2 2
+ 2
1
−
1 2
−
2
= Var
1
+ �
2
+ 2
1
−
1 2
−
2
Karena
1
dan
2
bebas, E[
1
−
2 2
−
2
] = E
1
−
1
E
2
−
2
= E
1
−
1
E
2
−
2
=
1
−
1 2
−
2
= 0 Maka :
�
1
+
2
= Var
1
+ �
2
Kovarian antara dua peubah acak adalah suatu bentuk hubungan antara dua peubah itu, misalkan apabila nilai X yang besar maka nilai Y juga besar, atau X kecil
maka nilai Y juga kecil. Hubungan yang semacam ini disebut hubungan yang positif. Sebaliknya nilai X yang besar dengan Y yang kecil, atau X yang kecil maka Y
nilainya besar, maka hubungan demikian disebut hubungan yang negatif. Tanda kovariansi + atau - menunjukan seperti apa hubungan kedua peubah acak itu,
apakah positif ataukah negatif.
Definisi 2.13
Kovarians didefinisikan sebagai berikut: � = − − �
, �
=1
di mana = nilai variabel acak X ke-i
= nilai variabel acak Y ke-i � , = probabilitas terjadinya dan
= 1,2, … , �
Selanjutnya akan dibahas mengenai distibusi normal. Distribusi normal adalah distribusi yang terpenting dalam seluruh bidang statistika. Grafiknya
berbentuk lonceng, disebut kurva normal. Sebaran data di alam digambarkan dengan
cukup baik oleh kurva normal ini. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi
sering dengan baik dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. Di samping itu variabel gangguan dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan baik oleh
distribusi normal. Semakin sangat banyak titik sampel dalam penelitian kita, maka semakin data itu menghampiri normal.
Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrish Gauss 1777-1855, yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti
variabel gangguan dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama. Peubah acak kontinu yang kurvanya berbentuk lonceng disebut peubah acak
normal.
Definisi 2.9
Distribusi normal adalah fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan dan variansi
�
2
, ialah ; , � =
1 2��
−
1 2
− �
2
, − ∞ ∞ dengan � =
3,14159 … dan = 2,71828 … Ronald E Walpole dan Raymond H Mayers, 1995.
Bentuk kurva normal ditentukan oleh dan �. Titik tertinggi kurva normal
berada pada rata-ratanya. Semakin tinggi kurva normal tersebut, semakin ramping dan runcing bentuk kurvanya, yang menandakan bahwa titik-titik pengamatannya
berkumpul di sekitar rata-rata . Runcing dan tumpul suatu kurva normal ditentukan
oleh simpangan baku �. Bentuk
− �
2
menandakan kurva normal adalah kurva yang simetris.
Dengan memperhatikan gambar berikut serta memeriksa turunan pertama dan kedua dari
; , � dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut:
Gambar 2.1 Kurva Normal dengan Simpangan baku 0.5
1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada = ;
2. Kurva setangkup terhadap sumbu tegak yang melalui rataan ; 3. Kurva mempunyai titik belok pada
= ±
�, cekung dari bawah bila − � +
�, dan cekung dari atas untuk nilai x lainnya; 4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimptot sumbu datar bila nilai x bergerak
menjauhi baik ke kiri maupun ke kanan; 5. Seluruh luas di bawah kurva dan di atas sumbu datar sama dengan 1.
Setiap hasil pengamatan yang berasal dari sembarang variabel acak normal x ditransformasikan menjadi variabel acak normal z dengan
= 0 dan � = 1, untuk
memudahkan dalam membuat tabel distribusi normal. Variabel acak normal z
merupakan bentuk baku dari setiap variaabel acak normal x sehingga penyelesaian setiap persoalan dengan dan
� yang berbeda dapat diselesaikan dengan satu tabel standar.
Untuk mengubah distribusi normal menjadi distribusi normal baku adalah dengan cara mengurangi nilai-nilai variabel X dengan rata-rata dan membaginya
dengan standar deviasi � sehingga diperoleh variabel baru Z, yaitu:
=
− �
=
− �
=
1 �
− =
− �
= 0
� = [ − ]
2
=
2
=
− �
2
=
�
2
�
2
= 1
Sehingga variabel normal baku Z mempunyai rata-rata = 0 dan standar
deviasi � = 1.