DASAR MATEMATIKA

Untuk mempelajari teori sistem kontrol diperlukan latar belakang matematika

Konsep Peubah Komples Peubah Komples

bidang s

j ω s

σ + j ω ¹ ¹

σ σ

Gambar 2-1 Bidang kompleks Gambar 2-1 menggambarkan bentuk bidang kompleks s, yang mana titik s = s

didefinisikan oleh koordinat dan

1 , atau secara sederhana ditulis s 1 =

σ = σ

1 ω = ω

1 + j ω 1 .

Fungsi Peubah Kompleks

Fungsi G(s) juga digambarkan dalam bagian nyata dan imajiner ; yaitu

G(s) = Re G(s) + j Im G(s)

dengan Re G(s) menunjukkan bagian nyata dari G(s) dan Im G(s) menggambarkan bagian imajiner dari G(s).

Fungsi Analitik

Fungsi G(s) dari peubah kompleks s disebut fungsi analitik dalam daerah bidang s jika fungsi dan semua turunan fungsi tersebut ada nilainya dalam daerah bidang s tersebut. Sebagai contoh fungsi berikut

1 G s ( ) =

s s ( 1 ) adalah analitik untuk setiap titik dalam bidang s kecuali pada titik s = 0 dan s = -1.

Kutub (Pole) suatu Fungsi

Definisi kutub dapat dinyatakan sebagai berikut : Fungsi G(s) adalah analitik dan

bernilai tunggal disekitar s i , maka dikatakan fungsi memiliki sebuah kutub sejumlah

r pada s = s jika limit i _r _{s s} lim [( s − s ) G ( s )] _i

→ _i memiliki harga terbatas, berharga bukan nol.

Nol (Zero) dari Fungsi

Definisi nol (zero) fungsi dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika fungsi G(s) adalah

analitik pada s = s , dikatakan memiliki zero berorde r pada s = s jika limit i _r i

− _{s s} lim [( s − s ) G ( s )] _i → _i

memiliki harga tertentu, nilai bukan nol. Atau, secara sederhana, G(s) memiliki nol

orde r pada s=s jika 1/G(s) memiliki kutub orde ke-r pada s = s .

1 Persamaan Differensial

Umumnya persamaan differensial homogen untuk sistem berorde-n ditulis _{n −} _n ₁

dy ( ) t dy ( ) t dy t ( )

a a + + L a a y t ( ) = f t ( ) (
n ^{1 n} _{n n −}

₁

dt dt dt

Persamaan differensial ini disebut sebagai persamaan differensial linear jika koefisien a

1 , a 2 ,..., a n+1 . bukan fungsi dari y(t). Sebagai contoh, rangkaian listrik RLC

seri dapat digambarkan dalam bentuk persamaan differensial berikut

di ( t )

Ri ( t ) L i ( t ) dt = v ( t )

∫ dt C dengan R adalah resistansi, L induktansi, C kapasitansi, i(t) arus dalam jaringan, dan v(t) sebagai tegangan yang diberikan.

Definisi Alih-ragam Laplace

Diberikan suatu fungsi nyata f(t) yang memenuhi kondisi

∞ _t − σ f ( t ) e dt

< ∞

∫

untuk σ bilangan nyata terbatas, maka alih-ragam Laplace didefinisikan sebagai

∞ _st − F ( s ) = f ( t ) e dt

∫

atau F(s) = alih ragam Laplace dari f(t) = [f(t)] Peubah s disebut sebagai operator Laplace, berupa peubah kompleks, s =

σ + j ω.

Untuk memudahkan penerapan alih-ragam Laplace, dibawah ini diberikan tabel teorema alih-ragam Laplace :

Tabel 2-1 Teorema alih-ragam Laplace : Perkalian dengan konstanta [kf(t)] = kF(s) Penjumlahan dan beda [f _n 1 (t) + f 2 (t)]=F 1 (s)+F 2 (s)

⎡ ⎤

d f

n n

^{1 n}

^{2 (}

^{1 )}

− −

s F

s f

⎢ ⎥

⎣ ⎦

_{( n}

_{2 ) ( n}

_{1 )}

Differensiasi − L − sf ( ) − f ( ) _{( k ) d f} _k dengan f ( ) = ( ) _k _at dt

Pergeseran kompleks e f ( t ) = F ( s a )

[ ]

F ( s )

⎡ ⎤

Integral f ( τ ) d τ =

∫

⎢⎣ ⎥⎦

Teori nilai-akhir lim f ( t ) = lim sF ( s )

_{t → ∞ s →}

Dalam kebanyakan sistem kontrol, evaluasi alih-ragam Laplace balik tidak langsung menggunakan integral balik persamaan (2-1). Sebaiknya, operasi alih ragam Laplace balik yang didalamnya berupa fungsi rasional diselesaikan menggunakan tabel alih-ragam Laplace dan ekspansi pecahan-bagian. Ketika solusi persamaan differensial bentuk alih-ragam Laplace merupakan fungsi rasional, maka solusi dapat ditulis sebagai

Gel. sinus sin ωt

Alih-ragam Laplace balik dengan ekspansi pecahan bagian

e t ^{− at} cos ω s a s a

( ) s a + + ² ² Gel. cos teredam

ω ω ω

e t ^{− at} sin

Gel sin teredam

s s ² ²

s ² ²

ω ω

1 s a +

Tabel 2-2 Alih-ragam Laplace suatu fungsi

Fungsi Bentuk Alih-ragam

Laplace

e ^at −

Eksponensial

n+1

n!/s

2 Polinomial t

1 Unit Step u(t) 1/s Unit Ramp t 1/s

( ) t

Unit Impuls δ

Gel. cosinus cos ωt
ω
( )

Q ( s ) X ( s ) = P ( s )

dengan Q(s) dan P(s) adalah polinomial dalam s. Dengan anggapan bahwa orde dari

P(s) lebih besar dari Q(s). Polinomial P(s) ditulis _{n n −} ₁ = + + + +

P ( s ) s a s L a s a _{1 n −} _{1 n}

dengan a

1 , a 2 , ..., a n adalah koefisien nyata. Nol dari Q(s) dapat berupa nyata atau pasangan kompleks, orde tunggal atau rangkap.

Ekspansi Pecahan-bagian Untuk semua pole X(s) adalah sederhana dan nyata

Bentuk :

Q ( s ) Q ( s ) X ( s ) = = L L

P ( s ) ( s s )( s s ) ( s s ) ( s s )

₁

_{2 i n}

dengan s ≠ s ≠ L ≠ s . Dengan menerapkan ekspansi pecahan-bagian, maka ₁ _{2 n} persamaan ini ditulis

k k k k ₁ _{2 i n} X s L L

( ) = + + + + + ₁ _{2 i n} + + + + ( s s ) ( s s ) ( s s ) ( s s ) dengan ⎡ Q ( s ) ⎤ _{i i} + k = ( s s ) ⎢ ⎥

P ( s )

⎣ ⎦ s s

= − _i Ekspansi saat pole dari X(s) berbentuk orde rangkap

Bentuk :

Q ( s ) Q ( s ) X ( s ) = = ^r

( ) _i

P ( s ) s s

Maka

A A A ₁ _{2 r} X ( s ) = L _{2 r} + + + s s

( ) ( s s ) ( s s ) + + + _{i i i} dengan

A = [ + ( s s ) _{r i} X ( s ) ] _{s = − s} _i d _r A ( s s ) _r _{1 [ i ] s s}

= +

X ( s ) − = −

₂

1 d

A = ( s s ) _r _{2 [ i ] s s}

− ^{2 = −} _i

2 ! ds M _r ₁

−

1 d

A = ( s s ) _{1 [ i ] s s} _r _{1 = −}

X ( s )

− i

( r − 1 )! ds

Aplikasi Alih-ragam Laplace Untuk Solusi Pers. Differensial

Persamaan differensial dapat diselesaikan menggunakan metode alih-ragam Laplace dengan bantuan tabel alih-ragam Laplace. Prosedur ringkasnya sebagai berikut

1. Ubah persamaan differensial ke bentuk alih ragam Laplace menggunakan tabel alih ragam Laplace

2. Manipulasikan persamaan aljabar hasil alih ragam dan selesaikan untuk variabel keluaran

3. Bentuklah ekspansi pecahan-bagian sehingga alih ragam Laplace balik dapat diperoleh dari tabel Laplace

4. Lakukan alih ragam balik

Teori Dasar Matriks

Dalam mempelajari sistem kontrol modern, notasi matriks sering kali digunakan untuk menyederhanakan persamaan matematika yang cukup rumit. Notasi

+ a
+ …+ a

Perkalian matriks A dan x sama dengan matriks y. Ketiga matriks tersebut

y y y y

= _n

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

M ² ¹ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

x x x x

= _n

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

2 ¹ ² ²² ²¹ ¹ ¹² ¹¹

L M O M M L L

a a a a a a a a a A

= _{nn n n} ⁿ ⁿ

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

didefinisikan sebagai berikut ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤

Simbol A, x dan y didefinisikan sebagai matriks, yang berisi koefisien dan variabel persamaan asli elemennya. Dalam bentuk aljabar matriks dapat dinyatakan sebagai :

matriks umumnya menjadikan persamaan lebih mudah unutk ditangani dan dimani- pulasikan.

Ax = y

Kita dapat menggunakan persamaan matriks untuk menggambarkan persamaan (2-2) untuk penyerdehanaan sebagai

a n1 x 1 + a n2 x 2 + …+ a nn x n = y n

(2-2) ………………………………………………..

= y

2n x n

22 x

21 x

1 a

a 11 x 1 + a 12 x 2 + …+ a 1n x n = y

Perhatikan sejumlah n persamaan aljabar simultan :

M ² ¹

Definisi Matriks Matriks adalah sekumpulan elemen yang tersusun dalam larik persegi

panjang atau persegi. Kita perlu mengetahui perbedaan antara matriks dan determinan :

MATRIKS DETERMINAN

Larik bilangan atau elemen adalah n baris Larik bilanagn atau lemen dengan n dan m kolom baris dan n kolom (selalu persegi) Tidak memiliki nilai, meskipun matriks Memiliki nilai persegi (n=m) memiliki determinan

Elemen Matriks

Sebuah matriks A dapat ditulis

a a a

⎡ ¹¹ ¹² ^{13 ⎤} ⎢ ⎥

A = a a a ₂₁ ₂₂ ₂₃ (2-3)

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

a a a ₃₁ ₃₂ ₃₃

⎣ ⎦ dengan a ij menunjukkan sebuah elemen yang berada di baris ke-i dan kolom ke-j.

Orde Matriks

Orde matriks menunjukkan jumlah total baris dan kolom matriks. Sebagai contoh matriks persamaan (2-3) merupakan matriks berorde 3 x 3. Pada umumnya, matriks dengan n baris dan m kolom disebut matrisk berorde n x m.

Matriks Persegi Matriks persegi adalah salah satu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.

Matriks Kolom

Matriks kolom adalah salah satu matriks yang memeiliki satu kolom dan lebihdari

satu baris, yaitu matriks m x 1, m > 1. Matriks kolom ini disebut sebagai vektor kolom atau sederhananya vektor-m jika ada m baris dan satu kolom.

Matriks Baris

Matrisk baris adalah salah satu matriks yang memiliki satu baris dan lebih dari satu

kolom, yaitu matriks 1 x n, dengan n > 1. Matriks baris sering disebut juga sebagai vektor baris.

Matriks Diagonal

Matriks diagronal adalah matrisk persegi dengan a = 0 untuk semua i

ij ≠ j. Misalkan

matriks A berikut

1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

= −

2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

5 ⎣ ⎦

Matriks Identitas

Matrisk identitas adalah matrisk diagonal dengan semua elemen pada diagonal utama

sama dengan 1. Matriks identitas atau matriks satuan ini sering ditandai dengan I atau U.

Contoh matriks satuan atau matrisk identitas ditulis :

1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

1 ⎣ ⎦

Determinan matriks Determinan suatu matriiks persegi A didfinisikan sebagai det A =

Δ A = ⎜A⎜ Sebagai contoh determinan matriks A persmaan (2-3) adalah

a a a ₁₁ ₁₂ ₁₃ A = a a a ₂₁ ₂₂ ₂₃ a a a ₃₁ ₃₂ ₃₃ a a a a a a ₂₂ ₂₃ ₂₁ ₂₃ ₂₁ ₂₂ a a a = − + ₁₁ ₁₂

₁₃

a a a a a a

₃₂

₃₃

₃₁

₃₃

₃₁

₃₂

= a ( a a − a a ) − a ( a a − + a a ) a ( a a − a a )

₁₁

₂₂

₃₃

₂₃

₃₂

₁₂

₂₁

₃₃

₂₃

₃₁

₁₃

₂₁

₃₂

₂₂

₃₁

Matriks Singular

Matriks dikatakan sebagai matriks singular jika nilai determinan matriks tresebut adalah nol. Jika matriks persegi memiliki determinan bukan nol, maka matriks tersebut disebut matriks nonsingular.

Transpose Matriks

Transpose matriks A didefinisikan sebagai matriks hasil pertukaran baris yang

beseuaian dan kolom matriks A. Misalkan A merupakan matriks n x m yang digambarkan oleh

a a a

⎡ ¹¹ ¹² ^{13 ⎤} ⎢ ⎥

A = a a a ₂₁ ₂₂ ₂₃

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

a a a ₃₁ ₃₂ ₃₃

⎣ ⎦

maka tranpsose dari A ditandai dengan A diberikan

a a a _T ⎡ ⎤ ₁₁ ₂₁ ₃₁

⎢ ⎥

A = a a a ₁₂ ₂₂ ₃₂

⎢ ⎥ ⎢ a a a ⎥ ₁₃ ₂₃ ₃₃

⎣ ⎦ Beberapa sifat transpose matriks :

T T

1. ) = A (A

T T

2. = kA , dengan k adalah skalar (kA)

T T T

3. =A + B (A+B)

T T T

4. = B A (AB)

Adjoint Matriks

Misalkan A adalah matriks A persegi berorde n. Adjoint matriks A ditandai _'

Adj A A dari det A

[ ij ] _{n , n} dengan A menunjukkan kofaktor dari a . ij ij

Invers Matriks

Dalam aljabar untuk besaran skalar, ketika kita menulis y = ax, maka memeprlakukan bahwa x = y/a adalah benar juga. Dalam aljabar matriks, jika

Ax = y

Maka dimungkinkan untuk menulis

-1

x = A y

dengan A disebut sebagai invers matriks A. Keadaan A ada nilainya adalah 1.

A adalah matriks persegi 2. A harus nonsingular

3. , maka harganya adalah Jika A

Adj A −1

A = A

DASAR MATEMATIKA