Persamaan Umum Disipasi Energi Pada Bidang Geser Diskrit

5.3 Persamaan Umum Disipasi Energi Pada Bidang Geser Diskrit

Mula-mula, marilah kita perhatikan suatu elemen logam rigid ABCD pada Gambar 5-1 yang bergerak dengan kecepatan v 1 dan sudut θ 1 = 0, melewati bidang (atau garis) vertikal yy’, sehingga bentuknya berubah menjadi A’B’C’D’ dengan kecepatan v 2 dan dan sudut θ 2 . Dengan menghitung disipasi energi pada bidang geser diskrit maka dapat diturunkan persamaan umum konsumsi energi internal. Garis yy’ adalah garis (atau bidang) di mana terjadi disipasi energi. Di sepanjang garis tersebut terdapat diskontinuitas kecepatan. Laju disipasi energi pada bidang yy’ tersebut haruslah sama dengan kerja per unit volume dikalikan dengan volume per satuan waktu.

velocit y v 2 discont inuit ies

along yy’

v* 12 v 1

v 1 =v x

dy

x’

dx

Ener gy dissipat ion occur s on yy’

y’

A B A’

B’

D C D’

C’

Gambar 5-1 Disipasi Energi pada Garis Diskontinuitas Kecepatan

Dengan asumsi bahwa deformasi yang terjadi adalah deformasi geser dan kerja yang dilakukan adalah kerja geser, maka kerja per unit volume dapat dihitung, yaitu sebagai hasil kali tegangan geser dan regangan geser sebagaimana diperlihatkan oleh Gambar 5-2.

(shear ) wor k/ volume (shear ) wor k

shear st r ain

Shear st r ess volume

Gambar 5-2 Kerja per Satuan Volume

Regangan geser dari elemen yang mengalami tegangan geser adalah tangen dari sudut AA’/ DD’ atau dalam hal ini sama dengan dx/ dy. Karena deformasi mulai terjadi tepat pada saat tegangan gesernya sama dengan kekuatan (luluh) gesernya di mana perubuhan regangan gesernya dapat dihitung, maka dapat diperoleh persamaan diferensial kerja per satuan volume seperti terlihat pada Gambar 5-3.

wor k/ volume

shear st r ain

dy dw = k

dx

shear (yield) st r engt h

Gambar 5-3 Persamaan Diferensial Kerja per Satuan Volume

volume

element cr ossing yy’

hor izont al component

V of velocit y

volume change per t ime

t ime

t he dept h of t he plane per pendicular t o yy’

Gambar 5-4 Volume per Satuan Waktu

Dari persamaan pada Gambar 5-3 dan Gambar 5-4 maka dapat diturunkan persamaan Kerja per Satuan Waktu, yang menunjukkan disipasi energi di sepanjang

garis yy’ di mana terjadi diskontinuitas kecepatan dari v 1 menjadi v 2 seperti ditunjukkan seperti yang ditunjukkan oleh vektor diskontinuitas kecepatan v 12 *.

dW  dy 

=  k  () sv x

dt  dx 

dy * v

12 dW

= ksv 12

dx v x

dt

Gambar 5-5 Disipasi Energi di sepanjang Garis Diskontinuitas Kecepatan

Telah diketahui bahwa teori analisis batas atas mengasumsikan sejumlah medan- medan aliran yang terdiri atas poligon-poligon yang dapat dilihat sebagai blok-blok rigid yang dibatasi oleh garis-garis di mana terjadi diskontinuitas kecepatan. Kecepatan di dalam suatu blok rigid adalah sama dan dapat direpresentasikan dengan suatu Hodograf. Di dalam teori medan garis slip yang telah dibahas sebelumnya kita juga mengasumsikan bahwa blok-blok rigid tersebut saling bergerak atau bergeser pada garis-garis tersebut. Di dalam teori ini, kita mengnggap bahwa diskontinuitas kecepatan di sepanjang garis-garis batas antar blok dan friksi inilah yang memberikan kontribusi pada jumlah disipasi energi total.

Dari diskusi di atas, maka kita dapat menurunkan suatu persamaan umum yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah konsumsi energi internal pada proses pembentukan logam seperti terlihat pada Gambar 5-6.

Gener al Equat ion of

I nt er nal Ener gy Consumpt ion

dW i

= ks v i i

dt

Gambar 5-6 Persamaan Umum Konsumsi Energi I nternal

Persamaan pada Gambar 5-6 selanjutnya dapat kita gunakan untuk memprediksi beban eksternal yang dibutuhkan pada proses pembentukan logam, dengan asumsi bahwa Kerja Eksternal yang dilakukan adalah sama dengan Konsumsi Energi

I nternal. Untuk memperjelas aplikasi persamaan umum tersebut, maka berikut ini akan

diberikan contoh aplikasi dari analisis batas atas pada proses penekanan regangan bidang tanpa gesekan dengan t = b yang telah analisis sebelumnya dengan menggunakan teori medan garis slip. Berikut ini akan disajikan kembali sketsa pengujian tekan regangan bidang tanpa gesekan dengan t = b bersama-sama dengan asumsi medan-medan garis slip dan hodografnya.

Plane St r ain

x w >>> t

plane of max shear

r igid block

b slip line f or f r ict ionless indent at ion when t = b

Gambar 5-7 Penekanan Regangan Bidang Tanpa Gesekan dengan t = b

F=bxP p

b/ 2

V 12 *

Gambar 5-8 Hodograf untuk Gambar 5-7

Terlihat bahwa terjadi diskontinuitas kecepatan dari v 1 ke v 2 saat melewati garis slip

(bidang geser) antara blok 1 dan blok 2. Pada garis tersebut dianggap terdapat

vektor kecepatan diskontinuitas v 12 * yang selanjutnya dapat gunakan untuk menghitung laju konsumsi energi internal atau disipasi energi pada garis tersebut.

Dari persamaan kerja eksternal dan konsumsi energi internal per satuan waktu

[ 2 () bv p ]

2 k bv p P p

Gambar 5-9, maka dapat dihitung tekanan penekan.

ext

int

[ 2 () bv p ]

2 k bv p P p

Gambar 5-9 Solusi untuk Penekanan Regangan Bidang Tanpa Gesekan dengan t = b

Nilai prediksi gaya penekan dari analisis batas atas tersebut adalah F = 2V2 kwb, yang nilainya lebih besar dibandingkan dengan nilai F yang telah dianalisis sebelumnya dengan menggunakan Teori Medan Garis Slip, yaitu F = 2 kwb.