xxii
BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini dikaji mengenai pembuatan model matematika dari contoh aplikasi program linear, penyelesaian model matematika dengan metode simpleks
dan algoritma titik interior. Selanjutnya, dibandingkan keefisienan metode simpleks dan algoritma titik interior.
4.1 Algoritma Titik Interior
Menurut Utama 2005 algoritma titik interior yang pertama kali diperkenalkan oleh N. Karmarkar merupakan metode untuk menyelesaikan
masalah pemrograman linear. Kemudian metode ini dikembangkan oleh James A. Momoh dengan berdasarkan pada perbaikan kondisi awal sehingga dapat
digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan pemrograman linear maupun kuadratik.
Para peneliti mengembangkan masalah-masalah program linear dengan n variabel dimana semua titik ekstrim yaitu 2
n
ditemukan sebelum pemecahan optimal ditemukan. Usaha-usaha untuk memperoleh prosedur yang efisien dalam
perhitungan dan melintasi bagian interior dari ruang pemecahan daripada bergerak secara hati-hati di sepanjang tepi-tepinya seperti yang dilakukan oleh
metode simpleks, ketika N. Karmarkar membuat algoritma polinomial waktu, tidak berhasil sampai tahun 1984. Algoritma titik interior menawarkan sebuah
pandangan baru terhadap pemecahan program linear dimana iterasi dikembangkan untuk menembus interior dari ruang pemecahan.
Gagasan dasar dari algoritma tititk interior adalah memulai dengan mengambil titik interior tidak ekstrim dalam daerah fisibel, algoritma proses
optimasi menghasilkan nilai-nilai interior fisibel. Langkah paling penting dalam algoritma ini adalah titik awal dapat ditentukan dahulu, kemudian mencari solusi
11
xxiii optimal dalam interior daerah fisibel yang didefinisikan oleh kendala-kendala
sampai dicapai titik optimal. Algoritma ini memiliki konsep atau pemikiran dasar sebagai berikut
Konsep 1 : bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal. Konsep 2 : bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tujuan dengan
tingkat kecepatan yang paling tinggi. Konsep 3 : mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian
percobaan yang sekarang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian memungkinkan peningkatan yang besar bilamana
melaksanakan konsep 2. Iterasi dimulai dengan suatu nilai awal
k ~
X yang memungkinkan, sedemikian sehingga
B AX
k ~
= dengan
X
j k
~
untuk j = 1,2,….,n+m. Algoritma proses optimasi menghasilkan nilai-nilai interior fisibel yang berurutan yaitu
1 ~
X
,
2 ~
X
,……..,
k ~
X
,
1 k
~
X
+
,…..
Langkah-langkah algortima titik interior adalah D
k+1
:= diag
j k
~
X A
k+1
:= A D
k+1
C
k+1
:= D
k+1
C
1 k
1 T
1 k
1 k
T 1
k 1
k
A A
A A
I :
P
+ -
+ +
+ +
- =
Cp
k+1
:= P
k+1
C
k+1
V
k+1
:= absminCp
k+1
V α
1 .
. 1
1 :
M
1 k
m n
2 1
1 k
+ +
+
+ ú
ú ú
ú ú
ú
û ù
ê ê
ê ê
ê ê
ë é
= Cp
k+1
1 k
~
X
+
:= D
k+1
M
k+1
k : jumlah iterasi I : matriks identitas
xxiv Proses iterasi akan berhenti apabila kriteria berhenti stopping criterion
terpenuhi yaitu Masalah maksimisasi, nilai
. X
C Z
X C
Z
k ~
T k
1 k
~ T
1 k
= £
=
+ +
Adapun untuk masalah minimisasi dapat juga diselesaikan dengan algoritma ini, dengan cara membawa
masalah minimisasi ke masalah maksimisasi, yaitu dengan menegatifkan fungsi tujuan masalah minimisasi.
4.2 Beberapa Contoh Aplikasi Program Linear Kasus 1
Kategori