Halaman : 200
3. Nilai eksak luas daerah D dicapai bila partisinya diperluas yaitu bila
n
atau dengan kata lain
,
P sehingga luas daerah
D =
. lim
lim
1 1
p
n i
i i
n i
i i
n
x c
f x
c f
Jika limit ini ada, fungsi f dikatakan terintegralkan secara Riemann pada selang tertutup [a,b] dan ditulis sebagai
b a
dx x
f
. lim
lim
1 1
p
n i
i i
n i
i i
n
x c
f x
c f
6.2.1 Definisi Integral Tentu
Integral tentu dari fungsi f pada selang tertutup [a,b] ditulis dengan notasi :
b a
dx x
f dan didefinisikan sebagai
b a
dx x
f
n i
i i
n
x c
f
1
lim
asalkan limitnya ada. Dalam hal ini a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas dari integral tak tentunya, n adalah banyaknya partisi pada iterval [a,b] dan fx disebut
integran. Contoh 6.13 :
Gunakan limit jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah
D =
2
, 4
1 ;
, x
y x
y x
.
Jawab :
Kita akan menggunakan limit jumlah Riemann untuk menghitung luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x
2
, garis x = 1, garis x = 4 dan sumbu-x gambar 6.6a dan 6.6b. 1.
Langkah pertama, selang tetutup [1,4] dibagi n bagian yang sama panjang sehingga
panjang setiap selang
adalah n
n x
x
i
3 1
4
; dengan titik-titik pembagiannya adalah
1
x
n x
3 1
1
n x
3 2
1
2
y
. ... ...
y=x
2
4 1
16
x
gambar 6.6a
y
x
4 1
16
y=x
2
... ...
gambar 6.6b
Halaman : 201
n i
n i
x
i
3 1
3 1
4
3 1
n
n x
n
2. Misalkan
,
2
x x
f
dan pilih
n i
x c
i i
3 1
maka
2 2
2
9 6
1 3
1 i
n i
n n
i x
f c
f
i i
. 3.
Dengan mengambil limit jumlah Reimann untuk n
diperoleh Luas D =
n i
n i
n x
c f
n i
n i
n i
i n
3 9
6 1
lim lim
2 2
1 1
=
n
i n
i n
i n
i n
i n
n
1 2
2 1
1
9 6
1 3
lim , dengan menggunakan rumus sigma pada
Bab 1, yaitu
n i
n i
n i
n n
n i
n n
i n
1 2
1 1
6 1
2 1
dan 2
1 ;
1
sehingga Luas D =
6 1
2 1
9 2
1 6
3 lim
lim
2 1
n n
n n
n n
n n
n x
c f
n i
n i
i n
=
6 1
2 1
27 2
1 18
3 lim
3 2
n n
n n
n n
n n
n
n
=
21 2
6 27
2 18
3
. Jadi luas daerah D = 21 satuan luas.
Keterkaitan antara kekontinuan fungsi pada selang tertutup [a,b] dengan keterintegralan
Teorema 6.4 :
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b], kecuali disejumlah berhingga titik, dan fungsi f terbatas pada [a,b], maka fungsi f terintegralkan pada [a,b].
Contoh 6.14 : Hitung integral tentu
3 1
2
4 dx
x x
dengan limit jumlah Riemann.
Jawab :
Selang [-1,3] dibagi atas n bagian yang sama panjang sehingga panjang setiap selang bagiannya adalah
n n
x 4
1 3
dan titik pembagian selang adalah
Halaman : 202
3 ,
... ,
4 1
, ..........
, 4
2 1
. ,
4 1
, 1
2 1
n i
x n
i x
n x
n x
x
Misalkan
x x
x f
4
2
, dan pilih
n i
x c
i i
4 1
maka
2 2
2
16 24
5 4
1 4
4 1
i n
i n
n i
n i
x f
c f
i i
Dengan limit jumlah Riemann integral tentu fungsi f pada selang [-1,3] adalah
n i
n n
i i
i n
n i
n i
n x
c f
dx x
x
1 2
2 1
3 1
2
4 16
24 5
lim lim
4
=
n
i n
i n
i n
i n
i n
n
1 2
2 1
1
16 24
1 5
4 lim
=
6 1
2 1
16 2
1 24
5 4
lim
2
n n
n n
n n
n n
n
n
=
6 1
2 1
64 2
1 96
1 20
lim
3 2
n n
n n
n n
n
n
=
3 2
6 2
6 64
2 96
20
.
Teorema Dasar Kalkulus
Proses menghitung integral tentu dengan limit jumlah Riemann cukup rumit meskipun menggunakan bentuk fungsi sederhana. Untuk itu akan diberikan rumus yang prosesnya
lebih sederhana untuk menghitung integral tentu. Rumus yang mengaitkan integral tentu
dan integral tak tentu ini dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus.
y = x
2
-4x x
y
3 2
-1 -4
gambar 6.7
+ _
Halaman : 203
Jika fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan fungsi F adalah suatu anti turunan dari f pada [a,b], maka
a F
b F
x F
dx x
f
b a
b a
.
Contoh 6.15 :
Selesaikan contoh diatas dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus Jawab :
Dengan menggunakan rumus di atas proses menghitung integral tentu lebih sederhana dan memberikan hasil yang sama.
Dari contoh 12 diperoleh
D =
. 21
1 4
3 1
3
3 3
4 1
4 1
3 2
x dx
x Dari contoh 13 diperoleh
. 3
2 6
1 3
2 1
3 3
1 2
3 4
2 2
3 3
3 1
3 1
2 3
2
x x
dx x
x
6.2.2 Sifat-Sifat Integral Tentu
