Halaman : 203
Jika fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan fungsi F adalah suatu anti turunan dari f pada [a,b], maka
a F
b F
x F
dx x
f
b a
b a
.
Contoh 6.15 :
Selesaikan contoh diatas dengan menggunakan Teorema Dasar Kalkulus Jawab :
Dengan menggunakan rumus di atas proses menghitung integral tentu lebih sederhana dan memberikan hasil yang sama.
Dari contoh 12 diperoleh
D =
. 21
1 4
3 1
3
3 3
4 1
4 1
3 2
x dx
x Dari contoh 13 diperoleh
. 3
2 6
1 3
2 1
3 3
1 2
3 4
2 2
3 3
3 1
3 1
2 3
2
x x
dx x
x
6.2.2 Sifat-Sifat Integral Tentu
1. Jika f terintegralkan pada [a,b], maka nilai integralnya sebagai limit jumlah
Riemann adalah tunggal. 2.
Jika f suatu fungsi konstan dalam [a,b], yang didefinisikan sebagai
, k
x f
k
konstan, maka integral tentunya adalah
a b
k x
k dx
k
i n
b a
lim .
3. Jika f dan g dua fungsi yang terintegralkan pada [a,b], maka fungsi f + g dan
fungsi k
1
f + k
2
g juga terintegralkan pada [a,b] dan memenuhi
b a
b a
b a
dx x
g dx
x f
dx x
g x
f dan
b a
b a
b a
dx x
g k
dx x
f k
dx x
g k
x f
k
2 1
2 1
dengan k
1
dan k
2
konstanta. 4.
Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan
] ,
[ b
a c
, maka fungsi f juga terintegralkan pada [a,c] dan pada [c,b] dengan
Halaman : 204
b c
c a
b a
dx x
f dx
x f
dx x
f .
5. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan
x
f pada [a,b], maka
b a
dx x
f .
6. Jika f dan g dua fungsi yang terintegralkan pada [a,b] dan
x g
x f
pada [a,b],
maka
.
b a
b a
dx x
g dx
x f
7. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b], maka fungsi f juga terintegralkan pada
[a,b] dan memenuhi
. dx
x f
dx x
f
b a
b a
8.
Jika fungsi f terintegralkan pada [-c,c] dan
Jika f fungsi genap pada [-c,c] maka
c
c c
dx x
f dx
x f
2
Jika f fungsi ganjil pada [-c,c] maka
c
c
dx x
f .
9. Jika fungsi f kontinu pada [a,b] dan
x f
maks M
x f
m
b x
a b
x a
dan min
, maka
a b
M dx
x f
a b
m
b a
. 10.
a a
dx x
f .
11. .
b a
a b
dx x
f dx
x f
Contoh 6.16 : Diketahui f fungsi ganjil pada selang [-2,2] dan
5
2
dx x
f .
Hitunglah
2
dx x
f
Jawab : Diketahuhi bahwa f fungsi ganjil pada [-2,2] atau
] 2
, 2
[
x
x f
x f
.
Halaman : 205
Akibatnya, pada selang [-2,2] berlaku
x f
x f
sehingga integral yang akan
dihitung dapat ditulis sebagai :
2 2
dx x
f dx
x f
. Untuk menghitung integral di ruas kanan kita subtitusi t = -x, maka dt = -dx atau
dx = - dt.
Batas-batas integrasi berubah, untuk ,
2 2
2
2 2
1 1
t
x untuk
dan t
x sehingga
diperoleh
2 2
2
dt t
f dx
x f
dx x
f
=
2
2
5 dx
x f
dt t
f
.
Contoh 6.17 :
Hitunglah integral tentu
1
2
dx x
x
.
Jawab :
Menurut definisi nilai mutlak :
. ,
, x
x x
x x
Maka pada selang :
2 2
, 1
, 2
x x
x x
x berlaku
x x
x x
x x
berlaku x
Sehingga
. 3
7 3
1 3
1
1 3
2 3
1 2
2 2
1 2
x x
dx x
dx x
dx x
x
Contoh 6.18 Hitung ∫
�� cos
√�⁄
Penyelesaian Misalkan � = ��
, sehingga � =
� .
Maka ∫ ��
cos =
∫ �� ∙ �
= ∫ � � =
�
+ � = �� + �
Halaman : 206
Jadi, menurut Teorema dasar kalkulus,
∫ ��
cos = [8 ��
]
√�⁄ √�⁄
= ��
�
− ∙ = Contoh 6.19 Hitung
∫ �
� �
−�
Penyelesaian Karena � −
�
= �
�
, maka �
= �
�
adalah fungsi genap.Jadi ∫
�
� �
−�
= ∫
�
� �
= 8 ∫
�
� �
−�
= √
Contoh 6.20 Hitung ∫
� � +
−
Penyelesaian Perhatikan �
= +
⁄ adalah fungsi ganjil. Jadi
∫ +
−
=
Contoh 6.21 Hitung ∫
�� +
−
−
Penyelesaian Dua suku pertama dalam integran adalah ganjil, sedangkan yang terakhir genap. Jadi kita tuliskan integral tersebut diatas sebagai
∫ �� +
−
−
= ∫ �� +
−
− ∫
−
= − ∫
= [−
�
] =
−
Halaman : 207
LATIHAN
Untuk soal no 1 sampai 6, hitunglah luas daerah D dengan limit jumlah Riemann. 1.
4 2
; 2
; ,
y
x y
x D
2.
x y
x y
x D
2 ;
3 ;
,
3.
2
4 ;
2 2
; ,
x y
x y
x D
4.
2 ;
2 2
; ,
y x
x y
x D
5. Daerah D dibatasi oleh grafik fungsi kontinu
2
2 1
4 x
x x
f
, garis x = 1, garis x = 6 dan sumbu-x. Hitunglah luas hampiran daerah D yang dihampir oleh luas 4 buah
persegi panjang dengan selang-selang bagian masing-masing [1,2], [2,4], [4,5] dan [5,6], dengan memilih i = 1, 2, 3, 4 sebagai titik tengah setiap bagian selang.
6. Hitunglah luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu
2
x x
f
garis x = 1, garis x = 3 dan sumbu-x dengan cara membagi selang tertutup [1,3] menjadi n bagian
yang sama dan
a.
i
c f
sebagai nilai maksimum dari fungsi f pada selang bagian ke – i
b.
i
c f
sebagai nilai minimum dari fungsi f pada selang bagian ke – i
7.
2
1
dx x
x
8.
3 1
2
4 dx
x
9.
2
1 2
dx x
10.
3 1
2
2 dx
x x
11. Tunjukan bahwa
3 2
2 3
1 10
9 x
dx x
. Untuk soal 12 sd 15, hitung integral tentu yang diberikan dengan menggunakan teorema
Dasar kalkulus 12.
4
2 1
dx x
x 14.
dx x
9
1
13.
2 6
sin 1
cos
dx x
x
15.
dx x
x
2 2
2
5
16. Jika f fungsi ganjil pada selang [-1,1] dan 3
1
dx x
f , buktikan bahwa
1
3 dx
x f
Halaman : 208
6.2.3 Aplikasi Integral Tentu
