3
dan untuk sembarang �
�
dengan
�−1
�
� �
, 1 �
, misalkan �
�
= �
� �=1
�
−
�−1
2.4 Integral
pada [ �, ] didefinisikan sebagai
berikut : = lim
→0
�
� �
, 2.5
asalkan limit tersebut ada terhadap metrik D. Jika
kontinu terhadap metrik , maka integral tentu dari
tersebut ada, kemudian didefinisikan
, �
�
=
�
, � , �
�
= , �
�
2.6
2.2 Persamaan Integral Fuzzy Volterra
Persamaan integral Volterra tipe kedua dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
= + � ,
�
, 2.7 dengan
� , didefinisikan sebagai fungsi kernel pada daerah persegi
� dan
� . Fungsi
merupakan fungsi dari dengan
� .
Persamaan integral Volterra tipe kedua pada persamaan 2.7 banyak muncul pada
masalah osilasi dalam fisika. Masalah osilasi dinyatakan dalam persamaan differensial
biasa orde dua berikut
+ ′ + = ,
penyelesaian persamaan differensial biasa tersebut berupa suatu persamaan integral
Volterra tipe kedua. Lampiran 1
Pada persamaan integral Volterra tipe kedua jika
berupa fungsi fuzzy yaitu fungsi
= , �, maka persamaan tersebut akan memiliki penyelesaian dalam
bentuk fuzzy.
Misalkan , � =
, � , , � dan
, � = , � , , �, 0 � 1 yang masing-masing merupakan bentuk parametrik
dari fungsi dan untuk
∈ �, , maka bentuk persamaan integral fuzzy
Volterra tipe kedua adalah: , � = , �
+ �
1
, , , � , , � ,
�
, � = , � +
�
2
, , , � , , �
�
2.8 dengan
�
1
, , , � , , � =
� , , � , � , ≥ 0; � , , � , � , 0
2.9 dan
�
2
, , , � , , � =
� , , � , � , ≥ 0;
� , , � , � , 0, 2.10
untuk setiap � 1 dan ≥ �.
2.3 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur
pada pustaka [He, 2000]. Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan integral
sebagai berikut:
= , ∈ Ω 2.11 dengan
merupakan suatu operator yang melibatkan persamaan integral, merupakan
fungsi yang akan ditentukan dan merupakan fungsi yang diketahui. Selanjutnya
didefinisikan pula suatu operator linear � yang
memenuhi � = 0, bila = 0. 2.12
Misalkan pendekatan awal dari
penyelesaian persamaan 2.11 dan � ∈ [0,1]
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real � , 0 : Ω × [0,1] → ℜ dan suatu fungsi �
sebagai berikut:
� �, � = 1 − � [� � − �[ ]]
+ � �
− 2.13 Berdasarkan persamaan 2.13, maka untuk
� = 0 dan � = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
� � , 0,0 = �[� , 0] − �[ ]
4
dan � � , 1,1 = [� , 1 ] −
Sehingga menurut persamaan 2.11 dan persamaan 2.12 diperoleh bahwa fungsi
� , 0 = dan
� , 1 = masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan � � , 0,0 = 0
dan � � , 1,1 = 0.
Dengan demikian peningkatan nilai � dari
0 ke 1 menyatakan perubahan nilai ��, �
dari �[� −
] ke [
�] − . Dalam topologi, proses ini disebut deformasi. Proses
deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde
nol memberikan penyelesaian awal ,
sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian
1
,
2
, ⋯ ,
�
. Dalam metode perturbasi homotopi,
Penyelesaian fungsi � �, � = 0 diasumsikan
dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor fungsi � , � terhadap � sebagai berikut:
� , � = +
� ∞
�=1
�
�
. 2.14
Berdasarkan persamaan 2.14 untuk � = 1,
maka akan diperoleh � , 1 =
+
� ∞
�=1
Karena = � , 1, maka diperoleh
= +
�
. 2.15
∞ �=1
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan 2.11
dengan pendekatan awal dan
�
, � = 1,2, … yang akan ditentukan. Untuk
menentukan
�
, � = 1,2, … diperoleh
dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan 2.14 disubstitusikan ke
dalam persamaan 2.13 dan diperoleh
�
. Secara
umum
�
diperoleh dengan
menyamakan koefisien perpangkatan �, dan
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian
. Selanjutnya, untuk lebih memahami
metode ini, misalkan diberikan sebuah persamaan integral Volterra tipe kedua
sebagai berikut:
= e
x
+ 1
2 e
2x
− 1 −
2
. 2.16
dengan =
+ 1
2
2
− 1 dan
� , = . Penyelesaian eksak persamaan 2.16 adalah
= . Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
persamaan 2.16
dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator
� sebagai berikut �[�] = �
dan � = � − � , �
sehingga berdasarkan
persamaan 2.13
diperoleh persamaan fungsi � sebagai berikut:
� �, � = 1 − � � , � − +
� � , � − − � , �
, atau
� �, � = 1 − � � . � − +
� � , � − �
2
− −
1 2
2
− 1 . 2.17 dengan
� , � merupakan peyelesaian dari � �, � = 0 atau
5
� , � = 1 − � − � − −
1 2
2
− 1 +
�
2
, � . 2.18
Misalkan penyelesaian persamaan 2.18 dinyatakan dalam bentuk:
� , � = +
�
1
+ �
2 2
+ ⋯. 2.19
Jika persamaan 2.19 disubstitusikan ke dalam persamaan 2.18, maka koefisien
� ,
�
1
, �
2
, ⋯ masing-masing memberikan
sebagai berikut =
,
1
= −
2
,
2
= − 2
1
, dan seterusnya diperoleh
3
,
4
, dan ⋯.
Lampiran 2 Karena dipilih pendekatan awal sebagai
berikut:
= e
x
+ 1
2 e
2x
− 1 , maka diperoleh:
1
= 1465
1152 −
3 8
e
2x
x −
1 3
e
3x
x
2
+ 1
9 e
3x
x +e
x
x
2
− e
x
x −
1 16
e
4x
x
3
+ 1
32 e
4x
x
2
− 1
128 e
4x
x + 1
4 e
2x
x
3
− 1
4 e
2x
x
2
− 1
12 x
4
dan seterusnya diperoleh pula
2
,
3
,
4
, ⋯.
Berdasarkan persamaan
2.15, maka
hampiran penyelesaian dari persamaan 2.16 adalah
≈ e
x
+ 1
2 e
2x
− 1 + 1465
1152 −
3 8
e
2x
x −
1 3
e
3x
x
2
+ 1
9 e
3x
x + e
x
x
2
+ ⋯
Perbandingan penyelesaian eksak persamaan 2.16 dan penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1 terlihat bahwa penyelesaian
eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi terlihat sangat
dekat untuk nilai tertentu. Gambar 1
Perbandingan penyelesaian eksak dan
penyelesaian dengan
menggunakan
metode perturbasi homotopi.
III PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas kegunaan metode
perturbasi homotopi
untuk menyelesaikan
suatu masalah
taklinear. Metode
ini akan
digunakan untuk
menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Agar validitas metode ini
terjamin, maka akan diberikan suatu contoh kasus dari persamaan integral fuzzy Volterra
dan membandingkan penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian yang diperoleh dengan
metode perturbasi homotopi.
3.1 Analisis Metode
