I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan integral sering muncul dalam permasalahan di bidang matematika terapan,
fisika, teknik, biologi dan lain sebagainya. Model seperti laju pertumbuhan penduduk,
laju kelahiran, transfer radiasi dan proses penyaringan asap rokok merupakan model
yang disajikan dalam bentuk persamaan integral. Persamaan integral merupakan suatu
bentuk persamaan dimana variabel yang ingin diketahui
terdapat dalam
integrand persamaan integral tersebut. Jerri 1985
mengklasifikasikan persamaan
integral berdasarkan
batas pengintegralan
pada integral yang muncul menjadi dua bagian
yaitu persamaan integral Volterra
dan persamaan integral Fredholm. Golberg 1978
telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral,
khususnya untuk menyelesaikan persamaan integral
Fredholm diantaranya
metode pendekatan
kernel, kuadratur,
galerkin, semianalitik dan proyeksi.
Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan. Babolian dan
Davari 2006 menyelesaikan persamaan integral
Volterra dengan
menggunakan dekomposisi Adomian. Beberapa penelitian
difokuskan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan yang dimodelkan dalam
persamaan taklinear. Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada
penyelesaian persamaan integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode
implicity Linear collocation.
Teori himpunan fuzzy merupakan cara yang sering digunakan untuk pemodelan
ketidakpastian dan untuk suatu proses yang samar-samar atau informasi subjektif dalam
suatu model matematika. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh 1965.
Terapan
dari himpunan
fuzzy dalam
kehidupan nyata antara lain mencakup kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola,
manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi, teknik, dan ekonomi.
Konsep pengintegrasian fungsi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Dubois dan
Prade 1982. Pembahasan mengenai metode numerik untuk menyelesaikan persamaan
integral fuzzy telah banyak dilakukaan akhir- akhir ini terutama yang berkaitan dengan
kontrol fuzzy. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Metode perturbasi
homotopi [He,2000] merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan
suatu masalah tak linear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator taklinear
yang didasarkan pada bentuk tak linear dari masalah taklinear tersebut. penyelesaian
masalah taklinear dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dimisalkan dalam
bentuk deret yang umum, sehingga tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat
polinomial seperti yang dilakukan pada metode
dekomposisi Adomian.
Metode perturbasi homotopi merupakan suatu metode
perpaduan dari metode homotopi dengan metode perturbasi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas penyelesaian
persamaan integral
fuzzy Volterra tipe kedua dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi..
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah :
a. Menyelesaikan persamaan integral fuzzy
Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
b. Membandingkan penyelesaian eksak
dengan hampiran
penyelesaian yang
diperoleh.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi
beberapa istilah dan konsep dari metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan
persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua pada
pembahasan. Bab
ketiga berupa
pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan
integral fuzzy Volterra tipe kedua. Dalam bab ini juga disajikan hasil numerik untuk
membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian yang diperoleh. Bab
terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunan fuzzy yang disarikan dari [Kusumadewi,
2004], bilangan fuzzy, persamaan integral fuzzy
Volterra yang
disarikan dari
[T.Allahviranloo, 2010 ] dan metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He,
2000].
2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy
Himpunan fuzzy merupakan perluasan konsep
dari himpunan
klasik yang
menggunakan nilai
keanggotaan {0,1}
menjadi [0,1]. Pada himpunan klasik, nilai keanggotaan suatu item
dalam suatu himpunan
, yang sering ditulis [ ],
memiliki dua kemungkinan yaitu, 1 yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota
dalam suatu himpunan dan 0 yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota
dalam suatu himpunan. Sedangkan pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak
pada rentang 0 sampai 1. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih
ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan salah.
Himpunan fuzzy
dapat juga
didefinisikan sebagai sekumpulan objek di mana masing-masing objek memiliki nilai
keanggotaan atau
disebut juga
nilai kebenaran. Jika
� adalah sekumpulan objek dan adalah anggota dari
�, maka himpunan fuzzy
yang memiliki
domain �
didefinisikan sebagai =
, � ∈ � , dengan
� merupakan nilai keanggotaan pada himpunan fuzzy yang bernilai
[0,1]. Suatu bilangan fuzzy
∈ ℜ didefinisikan sebagai
pasangan ,
dari fungsi
�, � yang memenuhi sifat – sifat
berikut : 1.
Fungsi merupakan fungsi yang monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada
[0,1]. 2.
Fungsi merupakan fungsi yang monoton turun, terbatas, dan kontinu kanan pada
[0,1]. 3.
� � dengan 0 � 1.
Untuk lebih memahami bilangan fuzzy, berikut ini diberikan salah satu contoh
bilangan fuzzy yaitu bilangan fuzzy segitiga dengan
parameter = , ,
yang didefinisikan dengan
=
−
+ 1, −
,
−
+ 1, + ,
0, ��
� dan diperoleh bentuk parametrik sebagai
berikut: � = − 1 − � ,
� = + 1 − � . Berikut ini operasi penjumlahan dan
perkalian skalar pada himpunan bilangan fuzzy. Untuk sembarang bilangan fuzzy
= , dan
= , didefinisikan
penjumlahan + sebagai berikut:
+ � = � + �, + � = � + � 2.1
dan untuk bilangan real � 0 didefinisikan
perkalian skalar sembarang bilangan fuzzy sebagai berikut:
� � = � � , � � , � ≥ 0;
� � , � � , � 0. 2.2
Selanjutnya, untuk sembarang bilangan fuzzy
= , dan
= , didefinisikan fungsi jarak antara
dan sebagai berikut
, = max
sup
0 r 1
� − � , sup
0 r 1
� − � .
2.3 Misalkan
:
1
→ [0,1] memenuhi
, = 0, , 0 ∀ ≠ , , = , , dan
, , + , ,
maka merupakan metrik untuk
1
dan
1
, D merupakan suatu ruang metrik karena himpunan
1
dilengkapi dengan suatu metrik .
Berikut ini akan didefinisikan konsep integral
dari fungsi
fuzzy dengan
menggunakan konsep integral Rieman. Misalkan
: �, →
1
. untuk setiap partisi
� = { ,
1
, … , } dengan
= �
�
−
�−1
3
dan untuk sembarang �
�
dengan
�−1
�
� �
, 1 �
, misalkan �
�
= �
� �=1
�
−
�−1
2.4 Integral
pada [ �, ] didefinisikan sebagai
berikut : = lim
→0
�
� �
, 2.5
asalkan limit tersebut ada terhadap metrik D. Jika
kontinu terhadap metrik , maka integral tentu dari
tersebut ada, kemudian didefinisikan
, �
�
=
�
, � , �
�
= , �
�
2.6
2.2 Persamaan Integral Fuzzy Volterra
Kategori