Super Efisiensi dengan Model Data En- velopment Analysis 2-Tahap

SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
TESIS Oleh SHEILA EKA PUTRI S 117021031/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh SHEILA EKA PUTRI S
117021031/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis
Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
: Sheila Eka Putri S. : 117021031 : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Tulus, M.Si ) Ketua

(Dr. Marwan Ramli, M.Si) Anggota

Ketua Program Studi,

Dekan,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 4 Juni 2013

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada Tanggal 4 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Tulus, M.Si Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si

2. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 3. Dr. Yulita Molliq, M.Sc
Universitas Sumatera Utara

PERNYATAAN SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DATA
ENVELOPMENT ANALYSIS 2-TAHAP
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister disuatu perguruan tinggi dan sepanjang sepengetahuan juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Juni 2013 Penulis, Sheila Eka Putri S.
i Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu metodologi yang didasarkan pada program linier yang digunakan untuk menentukan nilai efisiensi kinerja relatif suatu Decision Making Unit (DMU). Penelitian ini menyelidiki model DEA 2-tahap dalam menentukan nilai efisiensi baru yang selanjutnya disebut sebagai super efisiensi model DEA. Penelitian dilakukan dengan mengembangkan model Banker, Charnes dan Cooper (BCC) dan Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) terhadap model DEA 2-tahap didasarkan pada orientasi input dan output data. Hasil penelitian ini diperoleh dua solusi utama, yaitu super efisiensi pada suatu data dengan memperhatikan orientasi input dan output pada model DEA dan pengurutan (ranking) DMU didasarkan pada masing-masing nilai super efisiensi-nya. Kata kunci: Data Envelopment Analysis (DEA), Program linier, Decision Ma-
king Unit (DMU), Super efisiensi, Pengurutan
ii Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Data Envelopment Analysis (DEA) is a methodology based on linear programming that used to measure the relative performances efficiency score of Decision Making Unit (DMU). This research determined the 2-stage DEA model analysis in obtain new efficiency score, called super efficiency DEA model. The results of the research is obtained by developing Banker, Charnes and Cooper (BCC) and Charnes, Cooper and Rhodes (CCR) model into 2-stage DEA model based on input-output oriented data. The results obtained by the two major solutions, super efficiency in data by considering input output oriented in DEA model and DMU ranking based on each its super efficiency value. Keywords: Data Envelopment Analysis (DEA), Linear programming, Decision
Making Unit (DMU), Super efficiency, Ranking
iii Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Pertama penulis panjatkan syukur kepada Allah yang Maha Pengasih Lagi Penyayang atas segala Rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis sesuai dengan waktu yang telah dialokasikan. Tesis ini berjudul ”Super Efisiensi dengan Model Data Envelopment Analysis 2-Tahap”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika Universitas Sumatera Utara.

Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah penuh memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis hingga penulisan tesis ini telah diselesaikan.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan motivasi belajar selama masa perkuliahan serta selaku anggota komisi pembanding yang telah memberikan masukan dalam perbaikan dan kesempurnaan tesis ini.
Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku ketua komisi pembimbing yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si sebagai anggota komisi pembimbing yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
Dr. Yulita Molliq, M.Sc sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini.
iv Universitas Sumatera Utara

Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Secara khusus penulis menyampaikan terimakasih dan sayang yang mendalam kepada orang tua penulis, (Alm.) Ir. Moch. Sjofian S. dan Sri Wita Siregar, S.H dan kedua adik penulis, Nadhira Dwi Sabrina dan Azzahra Tri Najla serta keluarga penulis atas dukungan selama menjalani pendidikan, Affan Harifsyah Siregar, S.E(Ak) dan Hardy Alamsyah Siregar, S.H.
Ucapan terimakasih juga kepada teman dan kolega penulis, Cut Latifah, M.Si, Ayril, Yurida Atmaja Parasari, dan Yazeni Diana Putri, S.Si atas doa, dukungan dan semangat kepada penulis selama penulisan tesis ini. Penulis menyadari tesis ini masih jauh dari sempurna, namun demikian penulis berharap semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya. Sekian dan terimakasih.
Medan, Juni 2013 Penulis,
Sheila Eka Putri S.
v Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP Sheila Eka Putri S. dilahirkan di Bandung pada tanggal 1 Agustus 1989 merupakan anak pertama dari 3 bersaudara dari Ayah (Alm.) Ir. Moch. Sjofian S. dan Ibu Sri Wita Siregar, S.H. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Swasta Assalaam Bandung pada tahun 2001, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 11 di Bandung pada tahun 2004 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 3 di Medan jurusan IPA pada tahun 2007. Pada tahun 2007 memasuki Perguruan Tinggi jenjang Strata-1 jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada tahun 2011. Kemudian tahun 2011 penulis melanjutkan pendidikan di Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara.
vi Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI

Halaman

PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR SIMBOL

i ii iii iv vi vii ix x

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang 1.2 Perumusan Masalah 1.3 Tujuan Penelitian 1.4 Manfaat Penelitian

1 3 3 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

4

2.1 Model Dasar DEA 2.1.1 Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) 2.1.2 Model Banker, Charnes dan Cooper (BCC)
2.2 Super Efisiensi 2.2.1 Orientasi input (’io’) 2.2.2 Orientasi output (’oo’)

4 5 10 13 16 17

BAB 3 SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DEA 2-TAHAP

18

3.1 Model CCR dengan model DEA 2-tahap 3.1.1 Model CCR orientasi input dan output

18 19

vii Universitas Sumatera Utara

3.2 Model BCC dengan model DEA 2-tahap 3.2.1 Model BCC orientasi input dan output
3.3 Komputasi dan Hasil Perhitungan 3.3.1 Uji data 1 3.3.2 Uji data 2
BAB 4 KESIMPULAN
4.1 Kesimpulan 4.2 Saran 4.3 Riset Lanjutan DAFTAR PUSTAKA

21 22 23 24 28
30
30 30 30 32

viii Universitas Sumatera Utara

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

2.1 Kelebihan dalam model DEA

5

2.2 Kekurangan dalam model DEA

5

3.1 Uji data 1

24

3.2 Nilai super efisiensi dengan model Xu dan Ban (2012)

25

3.3 Hasil penaksiran nilai super efisiensi untuk model CCR

27

3.4 Perbandingan nilai super efisiensi Xu dan Ban (2012) dan Sheila

(2013)

28

3.5 Nilai super efisiensi dari pengembangan model BCC dan CCR

28

ix Universitas Sumatera Utara

DAFTAR SIMBOL

Simbol Ej

Definisi efisiensi tiap DMUj, j = 1, . . . , n

j = 1, . . . , n total jumlah DMU hingga ke-n

xij masukan tiap DMUj dengan i = 1, . . . , m xik masukan ke-i untuk DMU ke-k yang dievaluasi, j = k

yrj keluaran tiap DMUj dengan r = 1, . . . , s
yrk keluaran ke-i untuk DMU ke-k yang dievaluasi, j = k
θk∗ nilai super efisiensi untuk DMU ke-k yang dievaluasi untuk model CCR, j = k
βk∗ nilai super efisiensi untuk DMU ke-k yang dievaluasi untuk model BCC, j = k

λj bobot atau nilai tiap DMUj

BCC

Banker, Charnes and Cooper

CCR

Charnes, Cooper and Rhodes

CRS Constant Returns to Scale

DEA

Data Envelopment Analysis

DMU

Decision Making Unit

VRS

Variable Returns to Scale

x Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu metodologi yang didasarkan pada program linier yang digunakan untuk menentukan nilai efisiensi kinerja relatif suatu Decision Making Unit (DMU). Penelitian ini menyelidiki model DEA 2-tahap dalam menentukan nilai efisiensi baru yang selanjutnya disebut sebagai super efisiensi model DEA. Penelitian dilakukan dengan mengembangkan model Banker, Charnes dan Cooper (BCC) dan Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) terhadap model DEA 2-tahap didasarkan pada orientasi input dan output data. Hasil penelitian ini diperoleh dua solusi utama, yaitu super efisiensi pada suatu data dengan memperhatikan orientasi input dan output pada model DEA dan pengurutan (ranking) DMU didasarkan pada masing-masing nilai super efisiensi-nya. Kata kunci: Data Envelopment Analysis (DEA), Program linier, Decision Ma-
king Unit (DMU), Super efisiensi, Pengurutan
ii Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT Data Envelopment Analysis (DEA) is a methodology based on linear programming that used to measure the relative performances efficiency score of Decision Making Unit (DMU). This research determined the 2-stage DEA model analysis in obtain new efficiency score, called super efficiency DEA model. The results of the research is obtained by developing Banker, Charnes and Cooper (BCC) and Charnes, Cooper and Rhodes (CCR) model into 2-stage DEA model based on input-output oriented data. The results obtained by the two major solutions, super efficiency in data by considering input output oriented in DEA model and DMU ranking based on each its super efficiency value. Keywords: Data Envelopment Analysis (DEA), Linear programming, Decision
Making Unit (DMU), Super efficiency, Ranking
iii Universitas Sumatera Utara

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu model yang digunakan untuk menaksir suatu batasan dalam mengevaluasi kinerja atau efisiensi seluruh entitas data yang diuji. Model DEA pertama kali dikaji oleh Charnes et al. (1978) yang dikenal sebagai model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) dan selanjutnya dikembangkan oleh Banker et al. (1984) yang dikenal sebagai model Banker, Charnes dan Cooper (BCC).

Secara garis besar, model DEA dapat dinyatakan ke dalam dua bentuk umum, yaitu bentuk program linier dan bentuk analisis regresi. Model DEA menggunakan metode program linier dimana nilai bobot sebagai variabel keputusan yang menghasilkan nilai efisiensi tiap Decision Making Unit (DMU) sebagai solusi dari model DEA (lihat Seiford dan Thrall, 1990; Lovell, 1994; Cooper et al, 2000; Thanassoulis, 2001). Menurut Charnes et al. (1978), DEA merupakan model analisis multi-faktor produktivitas yang digunakan untuk menaksir nilai efisiensi relatif pada suatu himpunan Decision Making Unit (DMU) homogen yang dinyatakan dengan

Efisiensi

=

jumlah jumlah

bobot bobot

keluaran masukan

×

100%

Model DEA menaksir suatu himpunan dari beberapa DMU dan digunakan untuk menaksir nilai efisiensi dengan mengevaluasi tiap n DMU suatu data. Hal ini dilakukan dengan menaksir suatu titik batasan yang memberikan nilai 0 ≤ E ≤ 1 ke tiap n DMU yang dievaluasi. Nilai efisiensi ini diperoleh dengan membandingkan performa kinerja DMU terhadap kinerja seluruh DMU yang dievaluasi pada data tertentu. Nilai efisiensi yang diperoleh dengan menggunakan model DEA memberikan nilai efisiensi tertinggi yang relatif terhadap nilai 0 ≤ Ej ≤ 1 untuk tiap DMUj, j = 1, . . . , n pada data tertentu.

1 Universitas Sumatera Utara

2
Riset terdahulu mengenai model DEA 2-tahap telah dikaji sebelumnya dalam beberapa aplikasi. Banker dan Watarajan (2008) mengembangkan model DEA 2-tahap menggunakan bentuk analisis regresi linier yaitu simulasi Monte-Carlo dalam menentukan estimator 2-DEA terhadap konteks variabel tertentu dengan adanya kendala yang pasti pada vektor input dalam model.
Simar dan Wilson (2011) mengembangkan metode maximum likelihood dalam menentukan regresi 2-tahap terhadap model DEA dengan hasil yang diperoleh merupakan DEA estimator untuk model DEA 2-tahap. Hoff (2007), McDonald (2009) dan Ramalho et al. (2010) mengkaji spesifikasi log-linier dari hasil estimasi teknik Ordinary Least Squares (OLS) atau regresi tobit untuk regresi 2-tahap tanpa memperhatikan hasil estimasi DEA 1-tahap.
Lotfi et al. (2012) juga memberikan pandangan bahwa DEA merupakan alat bantu nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis nilai efisiensi didasarkan pada perbandingan antara jumlah bobot input dan bobot output dengan memperhatikan taksiran dari segi kualitatif dan kuantitatif, sedemikian hingga nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1. Model DEA menggunakan fungsi batasan (frontier) dalam penaksiran nilai efisiensi, sehingga diperoleh suatu himpunan yang terdiri atas unit nilai efisiensi dan nilai inefisiensi yang menunjukkan masingmasing efisiensi DMU.
Riset ini difokuskan pada analisis terhadap pengembangan model CCR dan BCC terhadap model DEA 2-tahap dalam menentukan dan meningkatkan nilai efisiensi dengan memperhatikan orientasi input dan output pada data. Hasil yang diperoleh dari model DEA 2-tahap selanjutnya disebut super efisiensi yang kemudian dapat digunakan dalam pengurutan (ranking) DMU didasarkan pada nilai masing-masing super efisiensi.
Penulisan tesis ini disusun sebagai berikut: Bab I menjelaskan latar belakang dan masalah yang dikaji dalam penelitian ini. Bab II menjelaskan kajian teori dan riset-riset terdahulu yang berkaitan dengan riset. Bab III mengembangkan model DEA 2-tahap dalam menentukan super efisiensi berdasarkan orientasi input dan output disertai dengan hasil perhitungan secara komputasi pada suatu data tertentu. Bab IV memberikan kesimpulan dan saran dari hasil riset tesis untuk riset selanjutnya yang mungkin dapat dikembangkan.
Universitas Sumatera Utara

3 1.2 Perumusan Masalah
Penelitian ini dilakukan dengan mengembangkan model CCR dan BCC dengan model DEA 2-tahap. Pengembangan model yang dihasilkan memperhatikan orientasi input dan output tiap DMU, sehingga diperoleh penaksiran nilai super efisiensi dan pengurutan (ranking) DMU. 1.3 Tujuan Penelitian
Salah satu pengembangan model DEA 2-tahap untuk penaksiran nilai super efisiensi telah dilakukan sebelumnya oleh Xu dan Ban (2012). Kekurangan dari model ini adalah model yang dikembangkan hanya untuk model CCR. Tujuan penelitian ini adalah mengembangkan model CCR dan BCC dengan model DEA 2-tahap dengan memperhatikan orientasi input dan output tiap DMU. 1.4 Manfaat Penelitian
Hasil penelitian ini merupakan nilai super efisiensi dengan memperhatikan orientasi input dan output tiap DMU. Dengan pengembangan model dalam penelitian ini, nilai super efisiensi yang diperoleh dapat digunakan dalam menentukan evaluasi indeks produktivitas Malmquist di bidang keuangan dan perbankan, menentukan keterhubungan atau pengaruh suatu faktor fasilitas layanan seperti rumah sakit, sekolah, bank dan lainnya.
Universitas Sumatera Utara

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Istilah-istilah baku pada Data Envelopment Analysis (DEA) dalam penelitian ini bersumber pada Cooper et al. (2006). DEA didasarkan pada proses ”menelusuri” dengan tujuan diperoleh suatu batasan yang digunakan untuk mengevaluasi seluruh entitas kinerja atau performa yang ada. Selanjutnya terdapat Decision Making Unit (DMU) untuk masing-masing entitas yang dievaluasi sebagai bagian dari suatu himpunan dengan tujuan diperoleh jumlah keluaran yang berbanding sama dengan jumlah masukan. Hasil evaluasi berkisar antara 0 dan 1 dimana nilai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.

2.1 Model Dasar DEA

Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu model analisis multi faktor produktivitas untuk mengevaluasi efisiensi relatif pada suatu himpunan homogen Decision Making Unit (DMUs), yang juga merupakan alat bantu yang digunakan untuk mengevaluasi dan meningkatkan kinerja atau mutu pelayanan suatu perusahaan (Charnes et al. 1994) yang dinyatakan dengan

Efisiensi

=

jumlah jumlah

bobot bobot

keluaran masukan

×

100%

Cooper et al. (2006) menambahkan bahwa DEA merupakan suatu model yang digunakan untuk menaksir suatu ”batasan” yang digunakan dalam mengevaluasi kinerja pada seluruh entitas yang dievaluasi oleh model. Hasil evaluasi berkisar antara 0 dan 1 dimana nilai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.

4 Universitas Sumatera Utara

5
Pada Tabel 2.1 di bawah ini dijelaskan beberapa kelebihan dalam model DEA yang menjadi faktor utama digunakan dalam menaksir nilai efisiensi.
Tabel 2.1 Kelebihan dalam model DEA No Kelebihan dalam model DEA 1. Dapat menganalisis data dengan jumlah input dan output ganda. 2. Dapat menganalisis data dengan input dan output yang mempu-
nyai unit ukuran yang berbeda. 3. Merupakan metode nonparametrik yang tidak memerlukan suatu
bentuk fungsional dalam menaksir efisiensi. 4. Dapat menaksir nilai efisiensi dan inefisiensi dari input dan output. 5. Dapat diselesaikan menggunakan teknik benchmarking untuk unit
efisiensi sebagai pembanding dalam mengevaluasi unit inefisiensi. 6. Dapat digunakan dalam penaksiran produktivitas dengan adanya
analisis efisinesi. Sumber: Berg (2010)
dan juga beberapa kekurangan yang menjadi batasan penggunaan model DEA antara lain:
Tabel 2.2 Kekurangan dalam model DEA No Kekurangan dalam model DEA 1. Analisis yang digunakan dalam program linier untuk semua DMU
yang diuji membutuhkan waktu yang lama. 2. Hasil penaksiran hanya berupa efisiensi relatif, bukan merupakan
efisiensi mutlak atau efisiensi maksimum. 3. Penyajian analisis yang rumit menggunakan hipotesis secara statis-
tik sebagai suatu metode nonparametrik. Sumber: Berg (2010)
2.1.1 Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR)
Model DEA pertama kali dikaji oleh Charnes et al. (1978) yang dikenal sebagai model CCR (Charnes, Cooper dan Rhodes). Dalam menentukan nilai efisiensi, model CCR menghitung penaksiran dengan perbandingan bobot output terhadap bobot input pada tiap DMU yang diuji. Asumsikan xi dan yr berturutturut menyatakan input dan output dengan indeks i = 1, . . . , m dan r = 1, . . . , s.
Universitas Sumatera Utara

6

Ambil u dan v sebagai bobot input dan output, berturut-turut. Untuk masingmasing DMU, mempunyai bobot input dan output yang dinyatakan sebagai berikut.

input = v1x1k + · · · + vmxmk output = u1y1k + · · · + usxsk

(2.1)

dan nilai efisiensi dapat ditentukan dengan

R

efisiensi

=

jumlah output jumlah input

=

uryr
r=1
I
vixi

i=1

(2.2)

Variabel keputusan pada model dasar ini adalah jumlah bobot yang diperoleh

dari program linier untuk tiap DMU yang dievaluasi. Asumsikan terdapat DMUj,

j = 1, . . . , n. Untuk DMUk yang dievaluasi, program linier dapat dinyatakan ke

dalam bentuk dengan kendala

R

urkyrk

max Ek

=

r=1 I

vikxik

i=1

(2.3)

R

urkyrk

0 ≤ r=1
I

≤ 1,

vikxik

i=1

vik, urk ≥ 0,

j = 1, . . . , n r = 1, . . . , s

(2.4)

dimana vrk dan uik merupakan variabel keputusan dan Ek adalah nilai efisiensi untuk DMUk. Model dasar ini selanjutnya diubah ke dalam program linier dengan objektif merupakan suatu objektif linier sederhana yang dinyatakan sebagai berikut.

Universitas Sumatera Utara

R
Max z = urkyrk
r=1 I
Kendala vikxik = 1
i=1 RI
urkyrj − vikxij ≤ 0,
r=1 i=1
vik, urk ≥ 0, r = 1, . . . , s,

j = 1, . . . , n i = 1, . . . , m

7 (2.5)

Cooper et al. (2006) memberikan pendapat mengenai model CCR dengan asumsi terdapat n DMU (j = 1, . . . , n) dengan m masukan dan s keluaran untuk tiap DMUj pada indeks (x1j, x2j . . . , xmj) dan (y1j, y2j . . . , ysj), berturut-turut. Data masukan matriks X dan data keluaran matriks Y dapat direpresentasikan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.

X

=

 

xx.2111

xx.1222

... ... ...

xx12. nn

 

 . . ... . 

xm1 xm2 . . . xmn

Y = yy.2111

yy12. 22

... ... ...

yy12.nn

 . . ... . 

ys1 ys2 . . . ysn

dengan X merupakan matriks hasil perkalian (m × n) dan Y adalah matriks hasil perkalian (s × n). Untuk setiap DMUj yang diuji, dapat diselesaikan dengan menggunakan suatu program fraksional (F Po) dalam memperoleh nilai bobot masukan (vi)(i = 1, . . . , m) dan nilai bobot keluaran (ur)(r = 1, . . . , s) yang dapat dimodelkan sebagai berikut.

FPk max
u,v

θ

=

u1y1k + u2y2k + · · · + usysk v1x1k + v1x2k + · · · + vmxmk

Kendala u1y1j + · · · + usysj ≤ 1(j = 1, . . . , n) v1x1j + · · · + vmxmj v1, v2, . . . , vm ≥ 0 u1, u2, . . . , us ≥ 0

(2.6)

Universitas Sumatera Utara

8

Selanjutnya, model diubah menjadi suatu program linier (LPk) yang dapat dimodelkan sebagai berikut.

max θ = µ1y1k + · · · + µsysk
µ,υ
Kendala v1x1k + · · · + vmxmk = 1 µ1y1j + · · · + µsysj ≤ v1x1j + · · · + vmxmj(j = 1, . . . , n) v1, v2, . . . , vm ≥ 0 µ1, µ2, . . . , µs ≥ 0

(2.7)

Teorema 2.1.1 Program linier sederhana (F Pk) adalah ekuivalen dengan program linier (LPk).

Bukti (berdasarkan Cooper et al. 2006) Asumsikan untuk setiap v = 0 dan X > 0, maka penyebut dari bentuk pembagian F Pk adalah positif untuk setiap j dan hasil perkalian adalah suatu bilangan yang tidak sama dengan 0. Ambil penyebut pada F Pk adalah 1 dan suatu solusi optimal LPk yaitu (v = v∗, µ = µ∗) dengan nilai objektif optimal θ∗. Solusi (v = v∗, µ = µ∗) juga merupakan solusi optimal dari F Pk. Terbukti bahwa F Pk dan LPk mempunyai nilai objektif optimal yang sama, θ∗.

Teorema 2.1.2 (berdasarkan Cooper et al. 2006) Nilai optimal dari max θ = θ∗ pada persamaan (2.6)-(2.7) adalah nilai yang saling bebas pada unit input dan output yang diperoleh untuk masing-masing DMU yang dievaluasi.

Dari teorema 1 dan teorema 2, Cooper et al. (2006) memberikan pandangan mengenai definisi efisiensi-CCR sebagai berikut.

Definisi 1 (Efisiensi-CCR)
1. DMUk merupakan efisiensi-CCR jika θ∗ = 1 dan terdapat sedikitnya satu nilai optimal (v∗, u∗) dengan v∗ > 0 dan u∗ > 0.
2. Dan sebaliknya, DMUk merupakan inefisiensi-CCR.

Universitas Sumatera Utara

9

Coelli et al. (2005) memberikan pandangan mengenai model CCR dengan definisi dari beberapa notasi berikut. Asumsikan terdapat data dengan N masukan dan M keluaran untuk masing-masing I fasilitas dimana tiap fasilitas ke-i direpresentasikan oleh vektor kolom xi dan qi. Matriks masukan N × I, X, dan matriks keluaran M ×I, Q, menunjukkan data seluruh I fasilitas yang ada dimana tiap fasilitas dapat ditentukan perbandingan antara seluruh jumlah masukan dan keluaran, yaitu u qi/v xi. Bobot optimal diperoleh dengan menggunakan persoalan pemrograman secara matematika sebagai berikut.

max (u qi/v xi)
u,v
Kendala u qi/v xj ≤ 1 u, v ≥ 0

(2.8)

Model ini digunakan untuk menentukan nilai u dan v, dimana penaksiran nilai efisiensi untuk fasilitas ke-i adalah memaksimumkan, sehingga kendala untuk seluruh penaksiran nilai efisiensi adalah lebih kecil atau sama dengan 1 yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

max
u,v

(µ

qi)

Kendala v xi = 1

µ qj − v xj ≤ 0

µ, v ≥ 0

(2.9)

dimana model ini merupakan model DEA dalam pemrograman linier yang selanjutnya disebut sebagai bentuk pengali. Gunakan dualitas dalam pemrograman linier, sehingga diperoleh bentuk model DEA sebagai berikut.

min θ
θ,λ
Kendala − qi + Qλ ≥ 0 θxi − Xλ ≥ 0 λ≥0

(2.10)

dengan θ adalah suatu skalar yang merupakan nilai efisiensi pada fasilitas ke-i, yaitu θ ≤ 1 dan λ merupakan vektor konstan berukuran I × 1.

Universitas Sumatera Utara

10

Model CCR merupakan model yang didasarkan pada konsep Constant Returns to Scale (CRS) dimana efisiensi diperoleh dari hasil penaksiran perbandingan antara masukan dan keluaran tanpa adanya bobot yang ditentukan dalam model. Pada model terdapat matriks positif masukan dan keluaran (xj, yj)(j = 1, . . . , n) pada n DMU. Andaikan xij, i = 1, . . . , m dan yrj, r = 1, . . . , s berturutturut menyatakan masukan ke-i dan keluaran ke-r pada DMU ke-k. Model DEA untuk penaksiran efisiensi relatif pada DMUj dengan asumsi Constant Returns to Scale (CRS) pada model CCR sebagai berikut

[Model Primal]

max

s
ur yrk
r=1

m
kendala ke vixik = 1
i=1 km
uryrj − vixij ≤ 0,
r=1 i=1
ur ≥ 0
vi ≥ 0

j = 1, . . . , n
r = 1, . . . , s i = 1, . . . , m

[Model Dual]

min θ

n
kendala ke λjxij ≤ θxik,
j=1 n
λjyrj ≥ yrk,
j=1
λj ≥ 0

i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n j = 1, . . . , n

2.1.2 Model Banker, Charnes dan Cooper (BCC)

Model BCC merupakan model yang dikembangkan oleh Banker et al. (1984). Model ini diformulasikan didasarkan pada hasil modifikasi model CCR yang menaksir suatu batasan pada convex hull tiap DMU yang dievaluasi. Banker et al. (1984) telah mengembangkan model BCC dengan adanya himpunan hasil perkalian PB yang didefinisikan dengan

PB = {(x, y)|x ≥ Xλ, y ≤ Y λ, eλ = 1, λ ≥ 0}

(2.11)

dimana X = (xj) ∈ Rm×n dan Y = (yj) ∈ Rs×n merupakan suatu himpunan data yang diberikan, λ ∈ Rn dan e adalah baris vektor dengan seluruh elemen adalah

Universitas Sumatera Utara

11

sama dengan 1. Dengan kata lain, model BCC merupakan model dual dari model dasar DEA yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

Min θk
n
Kendala λij xij ≤ θkxik i = 1, . . . , m
j=1 n
λj yrj ≥ yrk r = 1, . . . , s
j=1
λj ≥ 0, j = 1, . . . , n

(2.12)

Perbedaan antara kedua model tersebut hanya pada beberapa bentuk persamaan linier. Asumsikan terdapat suatu DMUj(j = 1, . . . , n), sehingga dapat diselesaikan dengan program linier sebagai berikut.

(BCCk) min θB
θB ,λ
Kendala θBxk − Xλ ≥ 0 Y λ ≥ yk eλ = 1 λ≥0

(2.13)

dengan θB merupakan suatu skalar (Cooper et al., 2006).

Yun et al. (2003) mengemukakan pendapatnya mengenai model BCC didasarkan pada perluasan dari model CCR yang telah dibahas pada bagian 2.1.1 mengenai model CCR, sehingga model BCC yang diperoleh sebagai berikut.

p

max

µkyik − uk

µk ,vi ,uk

k=1

m

Kendala vixik = 1

i=1 pm

µkykj − vixij − uk ≤ 0(j = 1, . . . , n)

k=1 i=1

µl ε, l = 1, . . . , p

vi ε, i = 1, . . . , m

(2.14)

Universitas Sumatera Utara

12

Model BCC mempunyai variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n. Sehingga diperoleh suatu himpunan khusus bobot tiap DMU untuk masing-masing input dan output. Dari pengkajian model CCR pada bagian 2.1.1 dan model BCC pada bagian 2.1.2, diperoleh kesimpulan bahwa model CCR merupakan model DEA yang menggunakan prinsip Constrant Returns to Scale (CRS) dan model BCC adalah model DEA dengan prinsip Variable Returns to Scale (VRS).
Model BCC merupakan model yang didasarkan pada konsep Variable Returns to Scale (VRS) dimana model menggunakan variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n sehingga diperlukan nilai bobot pada masing-masing DMU. Andaikan terdapat n DMU dimana masing-masing DMUj, j = 1, . . . , n mempunyai masukan xij(i = 1, . . . , m) dan menghasilkan keluaran yrj(r = 1, . . . , s). Nilai efisiensi pada DMUk, k ∈ {1, . . . , n} secara khusus dapat dievaluasi dengan model BCC dengan asumsi Variable Returns to Scale (VRS) sebagai berikut.

[Model Primal]

max

k
uryrk + w
r=1

m
kendala ke vixik = 1
i=1 km
uryrj − vixij + w ≤ 0,
r=1 i=1
ur ≥ 0,
vi ≥ 0

j = 1, . . . , n
r = 1, . . . , s i = 1, . . . , m

[Model Dual]

min θ

n
kendala ke λjxij ≤ θxio,
j=1 n
λjyrj ≥ yro,
j=1 n
λj = 1
j=1
λj ≥ 0

i = 1, . . . , m r = 1, . . . , s
j = 1, . . . , n

Universitas Sumatera Utara

13
2.2 Super Efisiensi
DEA digunakan untuk mengidentifikasi titik batasan sehingga diperoleh nilai efisiensi 0 ≤ E ≤ 1 untuk setiap n DMUs. Nilai ini diperoleh dengan melakukan perbandingan antara nilai masing-masing DMU dengan nilai efisiensi DMUs secara keseluruhan. Lotfi et al. (2012) memberikan pandangan bahwa DEA merupakan alat bantu nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis nilai efisiensi didasarkan pada perbandingan antara jumlah bobot input dan bobot output dengan memperhatikan taksiran dari segi kualitatif dan kuantitatif, sedemikian hingga nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1. Model DEA juga digunakan sebagai fungsi batasan (frontier) dalam penaksiran nilai efisiensi, sehingga diperoleh suatu himpunan yang terdiri atas unit nilai efisiensi dan nilai inefisiensi. Nilai efisiensi yang diperoleh mengalami proses eliminasi data pada DMUk yang dievaluasi dari himpunan solusi. Untuk masukan pada model ini diperoleh nilai efisiensi sesuai DMUk yang selanjutnya digunakan dalam menentukan urutan DMUs. Ini berakibat terdapat beberapa DMU yang tidak digunakan didasarkan pada efisiensi DMUs (Cooper et al. 2006).
Super efisiensi pada model DEA digunakan dalam persoalan pengurutan kinerja tiap DMUs, dimana nilai super efisiensi dapat diperoleh dengan penggunaan ketentuan CRS atau VRS. Lovell dan Rouse (2003) memberikan pandangan bahwa formula dari super efisiensi adalah suatu kolom yang menjadi bagian dari suatu matriks program linier DEA yang berkaitan dengan DMU dalam suatu penelitian, sehingga diperoleh super efisiensi pada masing-masing DMU. Hasil yang diperoleh merupakan suatu program linier yang layak dengan nilai super efisiensi yang lebih besar dari 100%, dimana Lovell dan Rouse (2003) menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut. Definisikan bahwa terdapat keluaran (y1, . . . , ys) dan masukan (x1, . . . , xm) untuk DMUs j = 1, . . . , n. Y merupakan suatu matriks keluaran s × (n − 1), X adalah suatu matriks masukan m × (m − 1) dan λ merupakan suatu (n − 1)-vektor dimensional pada variabel intensitas di DMUs, j dengan j = k. Untuk variabel yk dan xk masing-masing menyatakan vektor keluaran dan masukan untuk DMUk yang dievaluasi, dan λk merupakan variabel intensitas untuk DMUk. Asumsikan bahwa masukan dan keluaran adalah suatu bilangan non-negatif paling sedikit terdapat satu masukan dan satu keluaran positif untuk
Universitas Sumatera Utara

14

setiap DMU. Maka model dapat dinyatakan sebagai berikut.
min θk Kendala ke Y λ + ykλk ≥ yk
Xλ + xkλk ≤ xkθk X + λk = 1
λ, λk ≥ 0

(2.15)

Andersen dan Petersen (1993) memberikan suatu model yang digunakan dalam menentukan super efisiensi dengan menggunakan model CCR sebagai berikut.

[Super Radial] θ∗ = min θ − εes+
θ,λ,s−,s+

n

Kendala ke θxk =

λj xj + s−

j=1,j=k

n

yk =

λj yj − s+

j=1,j=k

(2.16)

dengan λ, s− dan s+ merupakan kendala nonnegatif dan ε > 0 adalah elemen non-Archimedean biasa dan e adalah suatu baris vektor untuk semua elemen. Model ini dikenal sebagai model ”super efisiensi radial”. Hasil yang diperoleh merupakan suatu matriks X, Y > 0 dengan seluruh elemen adalah positif dengan nilai optimal φ∗ = 1/θ∗.

Ebadi (2012) mengembangkan model BCC dalam menentukan super efisiensi dengan orientasi input-output data dengan asumsi DMUj(j = 1, . . . , n) dengan yrj(r = 1, . . . , s) output pada xij(i = 1, . . . , m) input. Untuk DMUk = (xk, yk) yang dievaluasi, model DEA dapat dinyatakan sebagai berikut.

min = 1 + βk

n

kendala

λj xij − (1 + βk)xik ≤ 0,

j=1,j=k

n

λj yrj − (1 − βk)yrk ≥ 0,

j=1,j=k

n

λj = 1

j=1,j=k

λj ≥ 0, j = 1, . . . , n, j = k

i = 1, . . . , m r = 1, . . . , s

(2.17)

Universitas Sumatera Utara

15

Xu dan Ban (2012) memberikan cara lain dalam menentukan penaksiran nilai super efisiensi dengan mengembangkan model CCR berdasarkan pada batasan efisiensi. Diberikan asumsi bahwa terdapat n DMU dimana masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n) mempunyai masukan Xj = (xij, x2j, . . . , xmj) dan keluaran Yj = (yij, y2j, . . . , ysj) untuk semua DMU non-negatif dan tiap DMU sedikitnya mempunyai satu masukan dan keluaran data. Ambil (Xj, Yj) untuk menotasikan tiap DMUj dan DMUk(k ∈ 1, . . . , n) menyatakan DMU ke-k yang dievaluasi, maka himpunan hasil yang mungkin dinotasikan sebagai

T = {(Xk, Yk) : Xkλ ≤ Xk, Yjλ ≥ Yk, λ ≥ 0}

dimana λ merupakan suatu vektor non-negatif di Rn dan T merupakan nilai efisiensi tiap DMU. Berbalik dengan T , quasi-production possibility set dinotasikan dengan
P = {(Xk, Yk) : Xj λ ≥ Xk, Yjλ ≤ Yk, λ ≥ 0}

dimana titik jangkauan di P merupakan batas anti-efisien dan titik lainnya sebagai anti-efisien tiap DMU. Xu dan Ban (2012) memperkenalkan suatu model quasiCCR (QCCR) yang didasarkan pada batasan anti-efisien yang dinyatakan sebagai berikut

ρk∗ max ρk
n
kendala λj xij ≥ ρkxik, i = 1, . . . , m
j=1 n
λj yrj ≥ yrk, r = 1, . . . , s
j=1
λj ≥ 0, j = 1, . . . , n

(2.18)

dan memberikan definisi, yaitu

Definisi 2 Suatu DMUk adalah anti-efisiensi jika ρk∗ = 1.

Definisi 3 Suatu DMUk kontradiksi efisien jika θk∗ = ρk∗ = 1.

Universitas Sumatera Utara

16
2.2.1 Orientasi input (’io’)
Untuk setiap masukan i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil xij > 0 dan suatu parameter skalar αi = max xij/ min xij dengan ketentuan α = max(α1, . . . , αm) + 1. Andaikan suatu super efisien DMU adalah efisien setelah penaksiran dengan α, maka DMU merupakan kategori nilai super efisiensi (N). Akibatnya, terdapat sedikitnya satu keluaran ke DMUk dengan nilai yang lebih besar dibandingkan dengan nilai keluaran DMU lainnya.
Teorema 2.2.1 Untuk suatu orientasi masukan, α merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk xk dengan DMUk ∈ N ∪ super − ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk ∈ N , maka λk = 0 dan
Y λ + yk(0) ≥ yk Xλ + αxk(0) ≤ αxkθ Σα + (0) = 1 Karena αi = max xij/ min xij dan Xλ < αxk, maka θ > 1.
2. Jika DMUk ∈ super − ef isiensi, maka Y λ < yk. Maka terdapat paling sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kontradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γx > α, maka DMUk adalah inefisien. Untuk DMUkinN , λk haruslah sama dengan 0 dan
Y λ + yk(0) ≥ yk Xλ + γxxk(0) ≤ γxxkθ Σγ + (0) = 1 Karena Y λ < yk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak terdapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk γx → ∞.
Dengan pembuktian teorema diatas, maka α merupakan skalar yang memenuhi untuk xk dengan DMUk ∈ N ∪ super − ef isiensi.
Universitas Sumatera Utara

17
2.2.2 Orientasi output (’oo’) Untuk setiap keluaran r = 1, . . . , s dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil
min yrj > 0 dan hitung βr = (max yrj/ min yrj)+1 dimana β = {max(β1, . . . , βs)}−1.
Teorema 2.2.2 Untuk suatu orientasi keluaran, skalar β merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk yk dengan DMUk ∈ N ∪ super − ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk ∈ N , maka λk = 0 dan
Y λ + βyk(0) ≥ βykφ Xλ + xk(0) ≤ xk Σλ + (0) = 1 Karena βi = {max(max yij/ min yij) + 1}−1 dan Y λ > βyk, maka φ > 1.
2. Jika DMUk ∈ super − ef isiensi, maka Xλ < xk. Maka terdapat paling sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kontradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γy < β, maka DMUk adalah inefisien. Maka, untuk DMUk ∈ N , λk haruslah sama dengan 0 dan
Y λ + γyyk(0) ≥ γyykφ Xλ + xk(0) ≤ xk Σλ + (0) = 1 Karena Xλ > xk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak terdapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk λy → ε > 0.
Dengan pembuktian teorema diatas, maka α merupakan skalar yang memenuhi untuk xk dengan DMUk ∈ N ∪ super − ef isiensi.
Universitas Sumatera Utara

BAB 3 SUPER EFISIENSI DENGAN MODEL DEA 2-TAHAP
Penelitian ini membahas pengembangan model DEA 2-tahap dalam memperoleh super efisiensi dengan melakukan modifikasi terhadap model CCR dan BCC. Dalam pengembangan model DEA 2-tahap ini digunakan beberapa notasi matematika sebagai berikut. Asumsikan terdapat DMUj(j = 1, . . . , n). Masing-masing DMUj mempunyai m masukan, xij(i = 1, . . . , m) yang menghasilkan keluaran s keluaran, yrj(r = 1 . . . , s).
3.1 Model CCR dengan model DEA 2-tahap
Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR) merupakan model DEA dasar dimana penaksiran nilai efisiensi didasarkan pada perhitungan single input ke single output dan multiple input ke multiple output tanpa adanya variabel bobot dalam model. Asumsikan terdapat pasangan input dan output non-negatif (xj, yj)(j = 1, . . . , n) pada n DMU, sehingga diperoleh pasangan input semi positif x ∈ Rn dan output y ∈ Rn dengan notasi (x, y) yang merupakan production possibility set P . Ambil himpunan data pada suatu matriks X = (xj) dan Y = (yj), maka
P = {(x, y)|x ≥ Xλ, y ≤ Y λ, λ ≥ 0}
dimana λ adalah vektor semi positif di Rn. Selanjutnya, Banker dan Thrall (1992) memberikan pandangan terhadap beberapa kondisi dalam penaksiran nilai super efisiensi dengan model CCR seperti yang dinyatakan dalam teorema 5.
Teorema 3.1.1 (Banker dan Thrall, 1992) Andaikan terdapat suatu titik (xk, yk) sebagai titik pada batasan efisien. Gunakan model CCR untuk memperoleh suatu solusi optimum (λ∗1, . . . , λn∗ ), dengan konsep returns to scale sehingga diperoleh beberapa kondisi sebagai berikut,
n
(i) Jika λ∗j = 1 dalam suatu solusi optimum alternatif, maka solusi yang
j=1
diperoleh merupakan returns to scale.
n
(ii) Jika λ∗j > 1 untuk semua solusi optimum alternatif, maka solusi yang
j=1
diperoleh merupakan returns to scale yang cenderung turun.
18 Universitas Sumatera Utara

19
n
(iii) Jika λj∗ < 1 dalam suatu solusi optimum alternatif, maka solusi yang
j=1
diperoleh merupakan returns to scale yang cenderung naik.

Dari teorema 5, dikembangkan model CCR terhadap model DEA 2-tahap yang

dapat dituliskan sebagai berikut.

n ms

min λˆj − ε

sˆ−i + sˆr+

j=1 i=1 r=1

n
kendala θk∗xk = xjλˆj + sˆ−

j=1

n
yk = xjλˆj + sˆ−

j=1

n
1 ≤ λˆj

j=1

0 ≤ λˆj, ∀j

(3.1)

dimana xj, yj merupakan nilai input vektor yang menunjukkan suatu DMU yang dievaluasi. Vektor slacks, s−, s+ dan vektor λˆ merupakan kendala non-negatif

dalam model. θk∗ diperoleh dari hasil evaluasi model DEA 1-tahap seperti yang telah dijelaskan pada persamaan (2.12) yang dapat dinyatakan sebagai berikut.

n

θk∗xk − sˆ−∗ =

xj λˆj∗

j=1

n
yk + sˆ+∗ = yjλˆj∗

j=1

(3.2)

Selanjutnya, model 3.1 dikembangkan model CCR dengan model DEA 2-

tahap dengan memperhatikan orientasi input dan output pada masing-masing

DMU. Dalam penelitian ini digunakan suatu variabel yang menyatakan bobot

n

tiap DMU dan dinotasikan sebagai

λj ≥ 1. Bagian 3.1.1 dan 3.1.2 meru-

j=1,j=k

pakan hasil pengembangan model CCR dengan model DEA 2-tahap berdasarkan

orientasi input dan output tiap DMU.

3.1.1 Model CCR orientasi input dan output
Asumsikan terdapat n DMU dimana tiap DMU mempunyai masukan xij(i = 1, . . . , m) dan keluaran yrj(r = 1, . . . , s). Ambil λj sebagai variabel bobot untuk masing-masing DMUj, maka diperoleh model (3.3) - (3.7) sebagai berikut.
Universitas Sumatera Utara

20

θk∗ = min θk

n

kendala

λj xij ≤ θkxik,

j=1,j=k

n

λj yrj ≥ θkyik,

j=1,j=k

n

λj = 1

j=1,j=k

λj ≥ 0, θk ≥ 0

i = 1, . . . , m r = 1, . . . , s

(3.3) (3.4) (3.5) (3.6) (3.7)

Fungsi objektif (3.3) bertujuan untuk menentukan nilai super efisiensi baru minimum dari hasil penaksiran orientasi input yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.4) dan (3.5) menentukan masing-masing persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam bentuk program linier. Kendala (3.6) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j = k adalah 1. Kendala (3.7) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0. Sedangkan untuk model CCR dengan orientasi input adalah

θk∗ = max θk

n

kendala

λjxij ≤ θkxik, i = 1, . . . , m

j=1,j=k

n

λjyrj + yrk ≥ θkyrk, r = 1, . . . , s

j=1,j=k

n

λj = 1

j=1,j=k

λj ≥ 0, θk ≥ 0

(3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12)

Fungsi objektif (3.8) menentukan nilai super efisiensi baru maksimum dari hasil penaksiran orientasi output yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.9) dan (3.10) menentukan bentuk persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam bentuk program linier. Kendala (3.11) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j = k adalah 1. Kendala (3.12) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.
Universitas Sumatera Utara

21
Masing-masing notasi yang digunakan dalam model adalah sebagai berikut.
θk : super efisiensi orientasi output pada DMUk xij : input ke-i pada DMUj (j = 1, . . . , n) yrj : output ke-r pada DMUj (j = 1, . . . , n) xik : input ke-i pada DMUk yrk : output ke-r pada DMUk λj : bobot atau nilai pada masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n)
Sebagai suatu analisis rasio atau nilai efisiensi, penaksiran yang dilakukan terhadap input dengan tujuan untuk meningkatkan nilai efisiensi DMU yang dievaluasi merupakan orientasi input pada model DEA. Sebaliknya, penaksiran yang dilakukan terhadap output dengan tujuan meningkatkan nilai efisiensi DMU yang dievaluasi merupakan orientasi output pada model DEA.
3.2 Model BCC dengan model DEA 2-tahap Asumsi Constant Returns to Scale (CRS) yang digunakan dalam model DEA
untuk menentukan efisiensi sangat sesuai saat semua DMUj yang diuji berada pada skala optimal. Namun bagaimanapun, kendala dalam menentukan efisiensi memungkinkan suatu DMU yang diuji tidak berada pada skala optimal. Beberapa kajian yang telah dipaparkan sebelumnya oleh Afriat (1972), Fa¨re et al. (1983) dan Banker et al. (1984) memberikan pandangan lain untuk menggunakan asumsi Variable Returns to Scale (VRS). Hasil yang diperoleh dari asumsi CRS pada model DEA dipengaruhi oleh skala efisiensi, sehingga spesifikasi pada VRS memungkinkan perhitungan efisiensi tanpa dipengaruhi oleh skala efisiensi yang ditentukan.
Universitas Sumatera Utara

22

3.2.1 Model BCC orientasi input dan output

Banker et al. (1984) memberikan pandangan terhadap model BCC berdasarkan orientasi input tiap DMU yang dinyatakan seperti pada model 3.13 berikut.

k
max uryro + w
r=1 m
kendala vixio = 1
i=1 km
uryrj − vixij + w ≤ 0, j = 1, . . . , n
r=1 i=1
ur ≥ 0, r = 1, . . . , s
vi ≥ 0, i = 1, . . . , m

(3.13)

Dalam penelitian ini diasumsikan terdapat beberapa notasi sebagai berikut. DMUk merupakan DMU yang sedang dievaluasi; ur multiplier pada keluaran dan vi multiplier pada input. Sehingga, diperoleh model (3.14) - (3.18) untuk model BCC berdasarkan orientasi input

βk∗ = min β

n

kendala

λjxij − θkxik ≤ 0, i = 1, . . . , m

j=1,j=k

n

λjyrj ≥ θkyik, r = 1, . . . , s

j=1,j=k

n

λj = 1

j=1,j=k

λj ≥ 0, θk ≥ 0

(3.14) (3.15) (3.16) (3.17) (3.18)

Fungsi objektif (3.14) menentukan nilai super efisiensi baru minimum dari hasil penaksiran orientasi input yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.15) dan (3.16) menentukan bentuk persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam bentuk program linier. Kendala (3.17) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j = k adalah 1. Kendala (3.18) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.

Universitas Sumatera Utara

23

Sedangkan untuk model BCC dengan orientasi output adalah

βk∗ = max βk

n

kendala

λj xij ≥ θkxik,

j=1,j=k

n

λj yrj ≥ θkyrk,

j=1,j=k

n

λj = 1

j=1,j=k

βk ≥ 0

λj ≥ 0, j = k

i = 1, . . . , m r = 1, . . . , s

dengan

(3.19) (3.20)
(3.21)
(3.22) (3.23) (3.24)

βk∗ : super efisiensi orientasi output pada DMUk xij : input ke-i pada DMUj (j = 1, . . . , n) yrj : output ke-r pada DMUj (j = 1, . . . , n) xik : input ke-i pada DMUk yrk : output ke-r pada DMUk λj : bobot atau nilai pada masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n)

dimana fungsi objektif (3.19) menentukan nilai super efisiensi baru maksimum dari hasil penaksiran orientasi output yang di-augmented dengan bobot tiap DMU terhadap bobot DMUk yang diuji. Kendala (3.20) dan (3.21) menentukan bentuk persamaan DMUk didasarkan pada tiap bobot DMU yang dinyatakan ke dalam bentuk program linier. Kendala (3.22) memberikan batasan bahwa seluruh bobot DMU dimana j = k adalah 1. Kendala (3.23) dan (3.24) memastikan bahwa besar bobot λj dan nilai super efisiensi θ tiap DMU haruslah lebih besar atau sama dengan 0.

3.3 Komputasi dan Hasil Perhitungan
Untuk menguji model yang telah dikembangkan pada bagian 3.1 dan 3.2 dalam menentukan nilai super efisiensi suatu data, digunakan data yang telah dikaji sebelumnya oleh Xu dan Ban (2012). Uji data 1 merupakan hasil penaksiran nilai super efisiensi model CCR dengan model DEA 2-tahap serta dilakukan perbandingan dengan nilai super efisiensi yang telah diperoleh Xu dan Ban (2012).
Universitas Sumatera Utara

24
Sedangkan uji data 2 merupakan evaluasi terhadap masing-masing DMU dalam menentukan nilai super efisiensi didasarkan pada metode CCR dan BCC yang telah dikembangkan pada bagian 3.1 dan 3.2. Berikut hasil evaluasi data Xu dan Ban (2012) terhadap model penelitian.
3.3.1 Uji data 1
Dalam penelitian ini digunakan uji data seperti pada Tabel 3.1 dalam menentukan super efisiensi pada masing-masing DMU dengan masukan data x1, x2 dan keluaran data y seperti pada tabel 3.1.

Tabel 3.1 Uji data 1

DMUj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

xx12

1 1.5 2 3 4 2 4 6 4 3.5 4 3 2 1.5 1 5 4 2 2 3.5

y 1 1 1 1 11111 1

Sumber: Xu dan Ban (2012)

Lakukan evaluasi pada masing-masing DMU dengan menggunakan model yang telah dikembangkan oleh Xu dan Ban (2012) yang direpresentasikan ke dalam bentuk program linier. Sebagai ilustrasi, ambil DMU 1 untuk diuji pada model yang telah dikembangkan oleh Xu dan Ban (2012) yang kemudian direpresentasikan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut.
ρk∗ = max ρk kendala 1.5λ2 + 2λ3 + 3λ4 + 4λ5 + 2λ6 + 4λ7 + 6λ8 + 4λ9 + 3.5λ10 ≤ 1ρ
(3.25) 3λ2 + 2λ3 + 1.5λ4 + 1λ5 + 5λ6 + 4λ7 + 2λ8 + 2λ9 + 3.5λ10 ≤ 4ρ λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 + λ9 + λ10 = 1
Dari representasi model 3.25, diperoleh nilai super efisensi dan pengurutan seperti pada tabel 3.2.

Universitas Sumatera Utara

25

Tabel 3.2 Nilai super efisiensi dengan model Xu dan Ban (2012)

DMUj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 1 1.5 2 3 4 2 4 6 4 3.5

x2 4 3 2 1.5 1 5 4 2 2 3.5

y 1111111111

rρak∗nk

1.02 1.02 1.02 1.02 1.01 0.96 0.95 0.95 0.99 0.97 4 2 1 3 5 8 10 9 6 7

Kemudian dilakukan evaluasi terhadap masing-masing DMU dengan model yang telah dikembangkan pada bagian 3.1.1 dan 3.1.2 untuk model CCR dan BCC, sehingga model dapat direpresentasikan ke dalam bentuk program linier sebagai berikut.

1. Evaluasi DMU 1

θk∗ = min θk

kendala 1.5λ2 + 2λ3 + 3λ4 + 4λ5 + 2λ6 + 4λ7 + 6λ8 + 4λ9 + 3.5λ10 ≤ 1θ

3λ2 + 2λ3 + 1.5λ4 + 1λ5 + 5λ6 + 4λ7 + 2λ8 + 2λ9 + 3.5λ10 ≤ 4θ

λ2 + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 + λ9 + λ10 = 1

(3.26)

2. Evaluasi DMU 2
θk∗ = min θk kendala 1λ1 + 2λ3 + 3λ4 + 4λ5 + 2λ6 + 4λ7 + 6λ8 + 4λ9 + 3.5λ10 ≤ 1.5θ
4λ1 + 2λ3 + 1.5λ4 + 1λ5 + 5λ6 + 4λ7 + 2λ8 + 2λ9 + 3.5λ10 ≤ 3θ λ1 + λ3 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 + λ9 + λ10 = 1
(3.27)

3. Evaluasi DMU 3
θk∗ = min θk kendala 1λ1 + 1.5λ2 + 3λ4 + 4λ5 + 2λ6 + 4λ7 + 6λ8 + 4λ9 + 3.5λ10 ≤ 2θ
4λ1 + 3λ2 + 1.5λ4 + 1λ5 + 5λ6 + 4λ7 + 2λ8 + 2λ9 + 3.5λ10 ≤ 2θ λ1 + λ2 + λ4 + λ5 + λ6 + λ7 + λ8 + λ9 + λ10 = 1
(3.28)

Universitas Sumatera Utara

26

4. Evaluasi DMU 4