Matriks
53
det A = A =
11 12
13 21
22 23
31 32
33
a a
a a
a a
a a
a
=
11 12
13 11
12 21
22 23
21 22
31 32
33 31
32
a a
a a a
a a
a a a
a a
a a a
– – – + + + =
a
11
. a
22
. a
33
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32
– a
13
. a
22
. a
31
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
Contoh 2.26
Diketahui matriks A =
3 4 2
2 1 0 5
2 7 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹
. Hitunglah determinan matriks A
Jawab:
det A = A =
3 4 2 3
4 2 1 0 2 1
5 2 7 5
2
– – – + + + =
317 + 405 + 2–22 – 215 – 302 – 4–27
= 21 + 0 – 8 – 10 – 0 + 56
= 59
Kerjakan di buku tugas Anda 1.
Tentukan determinan dari matriks berikut: a.
A =
6 2
3 5 §
· ¨
¸ ©
¹
b. B =
1 7 3 0
§ ·
¨ ¸
© ¹
c. C =
4 3
3 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
Catatan
G Matriks yang determinannya
nol 0 disebut matriks singular dan tidak mempunyai invers.
G Matriks yang determinannya
tidak nol 0 disebut matriks taksingular atau nonsingular
dan selalu mempunyai invers.
Latihan 6
54
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
2. Diketahui determinan matriks A =
2 4 2
2 4
x x
§ ·
¨ ¸
© ¹
bernilai 0. Hitunglah nilai x
3. Tentukan nilai a yang mungkin jika persamaannya seperti berikut:
a.
3 3
3 a
a
= 3
b.
5 2
1 2
a a
a a
= 0 dengan a z 0
4. Diketahui A =
7 7
6 3 1
x §
· ¨
¸ ©
¹
dan B =
2 4
7 5 x
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Bila A = 7 B , tentukan nilai x
2. Invers Matriks
Dalam perkalian bilangan real, a u 1 = 1 u a = a, a R. Dalam hal ini, 1
adalah elemen identitas. Selain itu, juga diketahui bahwa
a b
u
b a
= 1 dengan a, b
R dan
b a
dikatakan saling invers. a. Dua Matriks Saling Invers
Invers suatu matriks dapat digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linear yang sederhana atau rumit. Jika A dan B merupakan
matriks persegi berordo sama dan berlaku AB = BA = I, maka B adalah invers A B = A
–1
atau A adalah invers B A = B
–1
. Berarti A dan B saling invers.
Contoh 2.27
Jika diketahui A =
3 4 2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B =
3 4
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
Apakah A dan B saling invers?
Matriks
55
Jawab: AB =
3 4 2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 4
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
9 8 12 12
6 6 8 9
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
1 0 0 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
= I
BA =
3 4
2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
3 4 2 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
9 8 12 12 6 6
8 9 §
· ¨
¸ ©
¹
=
1 0 0 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
= I Jadi, AB = BA = I, sehingga A merupakan invers B atau B merupakan
invers A A dan B saling invers.
b. Menentukan invers matriks persegi ordo 2 u 2
Misalkan matriks persegi berordo 2 yang akan kita cari inversnya adalah:
A =
a b c d
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan inversnya A
–1
=
p q r
s §
· ¨
¸ ©
¹
, maka: A.A
–1
= I
a b c d
§ ·
¨ ¸
© ¹
p q r
s §
· ¨
¸ ©
¹
=
1 0 0 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
ap br aq bs
cp dr cq ds §
· ¨
¸ ©
¹
=
1 0 0 1
§ ·
¨ ¸
© ¹
Diperoleh sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut: 1
1 ap br
cp dr ½
¾ ¿
diperoleh p =
d ad bc
r =
c ad bc
2
1 aq bs
cq ds ½
¾ ¿
diperoleh q =
b ad
bc
s =
a ad bc
Sehingga: A
–1
=
p q r
s §
· ¨
¸ ©
¹
56
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
= d
b ad bc
ad bc c
a ad bc
ad bc §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ =
1 ad bc
d b
c a
§ ·
¨ ¸
© ¹
Dengan demikian diperoleh: Jika A =
a b
c d §
· ¨
¸ ©
¹
, maka A
–1
=
1 ad bc
d b
c a
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
1 det A
d b
c a
§ ·
¨ ¸
© ¹
dengan ad – bc z 0
Contoh 2.28 Tentukan invers dari matriks A =
3 4 1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
Jawab: A
–1
=
1 32 41
2 4
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
1 2
2 4
1 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
A
–1
= 1
2 1
3 2
2 §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ©
¹ Contoh 2.29
Jika X matriks berordo 2 u 2, tentukanlah X dari persamaan berikut ini
X
2 1 1 2
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
4 5
10 11 §
· ¨
¸ ©
¹
