38
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
B. Operasi Aljabar Matriks
Pada pembahasan di depan, kita telah mempelajari pengertian matriks, notasi, ordo matriks, jenis–jenis matriks, kesamaan matriks, dan transpose
matriks. Selanjutnya, kita akan membahas operasi pengerjaan antarmatriks, di antaranya adalah operasi penjumlahan dan pengurangan, perkalian matriks
dengan bilangan real skalar, dan perkalian matriks dengan matriks.
1. Penjumlahan Matriks
Untuk memahami penjumlahan matriks, perhatikan tabel 2.2 berikut.
Tabel 2.2
Bulan 1 Bulan 2
Jumlah Ayam
Bebek Ayam
Bebek Ayam
Bebek Pak Hasan
20 15
40 20
60 35
Pak Ahmad 50
20 75
30 125
50 Tabel 2.2 menunjukkan data jumlah telor yang dihasilkan oleh ayam
dan bebek milik Pak Hasan dan Pak Ahmad selama 2 bulan berturut– turut. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:
A +
B =
C
20 15 50 20
§ ·
¨ ¸
© ¹
+
40 20 75 30
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
60 35 125 50
§ ·
¨ ¸
© ¹
Perhatikan bahwa matriks A dan B adalah matriks yang berordo sama. Elemen–elemen matriks dari A dan B yang dijumlahkan adalah yang
seletak. Sehingga diperoleh kesimpulan sebagai berikut. Jika A dan B adalah dua buah matriks yang berordo sama, maka
hasil penjumlahan matriks A dengan matriks B adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan elemen–
elemen matriks A dengan elemen–elemen matriks B yang seletak.
Jadi, jika diketahui A
2 u 3
=
11 12
13 21
22 23
a a
a a
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B
2 u 3
=
11 12
13 21
22 23
b b
b b
b b
§ ·
¨ ¸
© ¹
,
maka: A + B
2 u 3
=
11 11
12 12
13 13
21 21
22 22
23 23
a b
a b
a b
a b
a b
a b
§ ·
¨ ¸
© ¹
Matriks
39
Contoh 2.17 Diketahui A =
2 1
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
, B =
4 2
3 §
· ¨
¸ ©
¹
, dan C =
1 6 7 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
. Tentukan: a A + B
c A + B + C b B + A
d A + B + C Jawab:
a A + B =
2 1
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
+
4 2
3 §
· ¨
¸ ©
¹
= 2 4
1 2 5 0
3 3 §
· ¨
¸ ©
¹ =
6 3
5 §
· ¨
¸ ©
¹
b B + A =
4 2
3 §
· ¨
¸ ©
¹
+
2 1
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
6 3
5 §
· ¨
¸ ©
¹
c A + B + C = 2
1 4
2 5
3 3
§ ·
§ · §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹ ©
¹ ©
¹ +
1 6 7 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
6 3
5 §
· ¨
¸ ©
¹
+
1 6 7 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
5 3 12 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
d A + B + C =
2 1
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
+ 4
2 1 6
3 7 4
§ ·
§ · §
· ¨
¸ ¨
¸ ¨ ¸
¨ ¸
© ¹ ©
¹ ©
¹ =
2 1
5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
+
3 4 7
1 §
· ¨
¸ ©
¹
=
5 3 12 4
§ ·
¨ ¸
© ¹
40
Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa
Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat–sifat penjumlahan matriks adalah:
1. Sifat komutatif: A + B = B + A 2. Sifat asosiatif: A + B + C = A + B + C
A, B, C adalah matriks berordo sama.
2. Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dinyatakan dalam penjumlahan matriks, berdasarkan pada pemahaman tentang lawan suatu matriks. Jika A dan
B adalah dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A dengan B dapat dinyatakan sebagai berikut:
A – B = A + –B Jadi, jika diketahui:
A
2 u 3
=
11 12
13 21
22 23
a a
a a
a a
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B
2 u 3
=
11 12
13 21
22 23
b b
b b
b b
§ ·
¨ ¸
© ¹
,
maka: A – B = A + –B
=
11 11
12 12
13 13
21 21
22 22
23 23
a b
a b
a b
a b
a b
a b
§ ·
¨ ¸
© ¹
Contoh 2.18 Jika A =
6 8
5 4
2 7
§ ·
¨ ¸
© ¹
dan B =
1 2 3
0 5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
, tentukan A – B Jawab:
A – B =
6 8
5 4
2 7
§ ·
¨ ¸
© ¹
–
1 2 3
0 5 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
= 6 1
8 2 5 3
4 0 2 5 7 3
§ ·
¨ ¸
© ¹
=
7 6
8 4
7 10
§ ·
¨ ¸
© ¹
Kategori