Pengurangan Matriks Operasi Aljabar Matriks

42 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa 5. Tentukan nilai x, y, dan z dari persamaan berikut ini a. 4 5 z x § · ¨ ¸ © ¹ + 3 2 x y § · ¨ ¸ © ¹ = 8 6 3 z § · ¨ ¸ © ¹ b. 2 1 x y § · ¨ ¸ © ¹ + 5 z y x § · ¨ ¸ © ¹ = 3 4 7 x y § · ¨ ¸ © ¹ 3. Perkalian Matriks dengan Bilangan Jika k adalah bilangan real dan A adalah sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dari hasil perkalian k dengan elemen–elemen matriks A. Misalnya: A = 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 ... ... ... ... ... ... n n m m m mn a a a a a a a a a a a a § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ , maka kA = 11 12 13 1 21 22 23 2 1 2 3 ... ... ... ... ... ... n n m m m mn ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Contoh 2.19 A = 3 9 7 2 1 5 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ , maka 2A = 23 29 2 7 22 21 25 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ = 6 18 14 4 2 10 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut skalar. Sehingga operasi perkalian bilangan real k dengan matriks A disebut perkalian skalar. Perkalian matriks dengan skalar k berarti melakukan penjumlahan matriks sejenis sebanyak k kali. Matriks 43 Tugas Individu Sifat perkalian matriks dengan skalar: Jika matriks A dan B berordo sama dan k, l  R bilangan real, maka: a. k + lA = kA + lA b. kA + B = kA + kB c. klA = klA d. 1 u A = A u1 = A e. –1A = A–1 = –A Kerjakan dengan kelompok Anda Buktikan bahwa jika A dan B matriks berordo sama dan k, l     R, maka berlaku: a. k + lA = kA + lA b. kA + B = kA + kB c. klA = klA d. 1 x A = A x 1 = A e. –1A = A–1 = –A Contoh 2.20 Diketahui matriks–matriks: A = 2 4 0 6 § · ¨ ¸ © ¹ dan B = 3 6 9 0 § · ¨ ¸ © ¹ Tentukan matriks C berordo 2 u 2 yang memenuhi persamaan 3C + 1 3 B = 2A Jawab: 2A = 2 2 4 0 6 § · ¨ ¸ © ¹ = 4 8 0 12 § · ¨ ¸ © ¹ 1 3 B = 1 3 3 6 9 0 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 2 3 0 § · ¨ ¸ © ¹ 44 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa Dari persamaan 3C + 1 3 B = 2A diperoleh 3C = 2A – 1 3 B 3C = 4 8 0 12 § · ¨ ¸ © ¹ – 1 2 3 0 § · ¨ ¸ © ¹ = 3 6 3 12 § · ¨ ¸ © ¹ Jadi, C = 1 3 3C = 1 3 3 6 3 12 § · ¨ ¸ © ¹ = 1 2 1 4 § · ¨ ¸ © ¹ Kerjakan di buku tugas Anda 1. Diketahui A = 8 2 4 6 § · ¨ ¸ © ¹ , tentukan hasil dari: a. 2A d. –3A t b. –4A e. 1 2 A c. 1 2 A t f. 2A + A t 2. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan berikut ini: a. 3 9 12 6 § · ¨ ¸ © ¹ = 3 a b c d § · ¨ ¸ © ¹ b. 1 3 a b c d § · ¨ ¸ © ¹ = 2 3 4 1 § · ¨ ¸ © ¹ Latihan 4 Matriks 45 c. 9 3 2 3 6 4 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ = 1 2 a b c d § · ¨ ¸ © ¹ + 2 a b c d § · ¨ ¸ © ¹ d. 4 a b c d § · ¨ ¸ © ¹ + 2 1 8 5 1 § · ¨ ¸ © ¹ = 6 24 14 8 § · ¨ ¸ © ¹ 3. Diketahui matriks A = 7 5 3 1 2 4 § · ¨ ¸ © ¹ dan B = 2 6 8 10 8 4 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukanlah: a. 2A + 1 2 B b. 1 2 4A + B c. Bagaimana hasil pada soal a dan b? 4. Nyatakan hasilnya dalam matriks tunggal a. 3 3 5 7 6 § · ¨ ¸ © ¹ + 1 2 2 4 6 § · ¨ ¸ © ¹ b. 1 3 12 9 3 15 § · ¨ ¸ © ¹ – 2 1 3 2 3 6 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ c. 2 4 3 5 2 5 7 § · ¨ ¸ © ¹ – 12 6 5 7 9 2 § · ¨ ¸ © ¹ + 3 1 3 4 2 5 2 § · ¨ ¸ © ¹ 5. Jika X adalah matriks 2 u 3, tentukan X dari persamaan berikut ini: a. 2 8 10 12 6 14 § · ¨ ¸ © ¹ = – 1 2 X b. 3X = 12 6 18 1 18 24 30 2 § · ¨ ¸ © ¹ 46 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa

4. Perkalian Matriks dengan Matriks

Perhatikan tabel 3.3 berikut Tabel 3.3 a berisi data mengenai banyaknya baju dan celana yang dibeli Indra dan Irfan. Sedangkan tabel 3.3 b berisi data mengenai harga baju dan celana per potongnya. Tabel 3.3 Baju Celana Harga per potong Indra 2 2 Baju Rp50.000,00 Irfan 3 1 Celana Rp40.000,00 a b Berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Indra dan Irfan? Penyelesaian: G Uang yang harus dibayarkan Indra: 2 u Rp50.000,00 + 2 u Rp40.000,00 = Rp180.000,00 G Uang yang harus dibayarkan Irfan: 3 u Rp50.000,00 + 1 u Rp40.000,00 = Rp190.000,00 Selain menggunakan cara di atas, kita juga dapat menyelesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan matriks sebagai berikut: 2 2 3 1 § · ¨ ¸ © ¹ 50.000 40.000 § · ¨ ¸ © ¹ = 2 50.000 2 40.000 3 50.000 1 40.000 u u § · ¨ ¸ u u © ¹ = 180.000 190.000 § · ¨ ¸ © ¹ Operasi di atas dinamakan perkalian matriks, yaitu dengan mengalikan tiap elemen pada baris matriks pertama dengan elemen pada kolom matriks kedua, kemudian hasilnya dijumlahkan. Perhatikan bahwa banyak baris matriks pertama sama dengan banyak kolom matriks kedua. Jadi, diperoleh: Dua buah matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya. Hasil kali dua buah matriks A m u n dengan B n u p adalah sebuah matriks baru C m u p . A m u n u B n u p = C m u n Misalkan A = a b c d § · ¨ ¸ © ¹ dan B = p q r s § · ¨ ¸ © ¹ , maka: AB = a b c d § · ¨ ¸ © ¹ p q r s § · ¨ ¸ © ¹ = ap br aq bs cp dr cq ds § · ¨ ¸ © ¹ Matriks 47 Contoh 2.21 Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini: A = 3 4 2 1 0 5 § · ¨ ¸ © ¹ dan B = 3 1 2 4 5 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ Jawab: A 2 u 3 . B 3 u 2 = C 2 u 2 A . B = 3 4 2 1 0 5 § · ¨ ¸ © ¹ 3 1 2 4 5 2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ = 33 42 25 31 44 2 2 3 02 55 1 04 5 2 § · ¨ ¸ © ¹ = 27 15 22 11 § · ¨ ¸ © ¹ Contoh 2.22 Diketahui matriks A = 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukanlah: 1 a A 2 b A 3 2 A 3 + 2A 2 – 3A Jawab: 1 a A 2 = A . A = 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ = 11 16 8 27 § · ¨ ¸ © ¹ b A 3 = 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ 11 16 8 27 § · ¨ ¸ © ¹ = 49 102 51 151 § · ¨ ¸ © ¹ Catatan Jika A suatu matriks persegi atau matriks kuadrat, maka: A . A = A 2 A . A = A . A 2 = A 3 A= A . A 3 = A 4 ... A . A . A. ... . A = A . A n-1 = A n 48 Matematika SMAMA Kelas XII Program Bahasa 2 A 3 + 2A 2 – 3A = 49 102 51 151 § · ¨ ¸ © ¹ + 2 11 16 8 27 § · ¨ ¸ © ¹ – 3 3 2 1 5 § · ¨ ¸ © ¹ = 49 102 51 151 § · ¨ ¸ © ¹ + 22 32 16 54 § · ¨ ¸ © ¹ – 9 6 3 15 § · ¨ ¸ © ¹ = 62 128 64 190 § · ¨ ¸ © ¹ Contoh 2.23 Jika A = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ , B = 2 1 1 § · ¨ ¸ © ¹ , dan C = 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ . Tentukanlah: a ABC dan ABC b AB + C dan AB + AC c B + CA dan BA + CA Jawab: a ABC = 1 0 2 0 2 1 1 ª º § ·§ · « » ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ ¬ ¼ 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 2 2 2 § · ¨ ¸ © ¹ 3 2 1 3 § · ¨ ¸ © ¹ = 6 4 4 10 § · ¨ ¸ © ¹ ABC = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 2 3 2 1 1 1 3 ª º § ·§ · « » ¨ ¸¨ ¸ © ¹© ¹ ¬ ¼ = 1 0 0 2 § · ¨ ¸ © ¹ 6 4 2 5 § · ¨ ¸ © ¹ = 6 4 4 10 § · ¨ ¸ © ¹ Jadi, ABC = ABC